算筹求出万边形

祖冲之（429—500年）是我们中华民族文明史上最有成就的科学巨星之一，他最早把圆周率π计算到小数点后8位，是我国南北朝时期伟大的数学家和天文学家。

祖冲之出生在江苏南京，祖籍河北省涞水县。由于战乱，全家从北方迁到南方。他从小就受到很好的家庭教育。爷爷给他讲“斗转星移”，父亲领他读经书典籍，家庭的熏陶，耳濡目染，加之自己的勤奋，使他对自然科学和文学、哲学，特别是天文学产生了浓厚的兴趣，在青年时代就有了博学的名声。

祖冲之的成就是多方面的，其中最著名的是他在圆周率方面的杰出贡献。对圆周率的研究，自古以来就是数学家以及其他一些科学家们的一项主要课题。圆周率的精确度，往往在一定程度上反映一个国家或某个时代科学发展的水平。在我国2000多年前的数学著作《周髀算经》里面有一句话叫做“径一周三”，即圆周长是直径的3倍，这就是我国最早的圆周率。祖冲之小时候读过这句话，他自己做了验证，觉得和实际不符，圆周并不恰好等于直径的3倍，而是比直径的三倍还长一点。但究竟有多长，他也弄不清楚。后来，他看了很多书才知道，已经有很多数学家对这个问题进行了研究。如西汉刘歆，所用的圆周率是3.1547；东汉张衡用的是3.1622，蔡邕用的是3.125；三国时王蕃用的是3.155，刘徽用的是3.14或3.1416；东晋末年天文学家何承天的圆周率是3.1428……这些圆周率数值，都深深地铭记在祖冲之的脑海里。其中以刘徽的成果最深刻，因为他的圆周率已经精确地计算到小数点后3位或5位。

生长在3世纪中叶的数学家刘徽，用的是“割圆术”。就是在圆内做一个正六边形，每边和半径相等，然后把六边所隔开的六段弧线平分，做出一个正十二边形。这个正十二边形的边长加起来，比六边形边长的总和要大，比较接近圆周，但仍比圆周短。依次类推，24边，48边，一直到96边。他根据96边形的边长之和，得出了圆周是直径3.14倍的数值。这个数值比刘歆和张衡算得都准确，但还是比圆周要短。

祖冲之想，如果按照刘徽这个方法，把圆周不断地分割下去，做出192边形、384边形、768边形……再仔细地计算这些边形的总边长，不就可以求出更精确的圆周率吗？祖冲之就和儿子祖暅在书房的地上画了一个直径三丈的大圆，按照刘徽的方法，先在圆内做了一个正六边形，依次往下分，一直算了四五个晚上，才算到96边形。往后的计算更复杂了。祖冲之继续废寝忘食、夜以继日地苦算。春天过去了，累累的果实挂满了枝头。祖冲之父子俩仔细地算出了192边形、384边形、768边形、1536边形、3072边形、6144边形、12288边形、24576边形的每边长度以及各边的总长度，终于得出了比较精确的圆周率数值：如直径为1，圆周率大于3.1415926，小于3.1415927。如用现代数学符号来表示就是：

3.1415926＜π＜3.1415927

祖冲之取得这一辉煌成就，不知道付出了多少心血和汗水。从正六边形开始算起一直算到24576边形，需要对9位数的大数目，反复进行包括加减乘除、开方乘方等步骤的运算130次以上。这样复杂的运算过程，如果在今天就比较容易了，用纸笔算盘甚至电子计算器。但在当时条件下，这些运算工具都没有发明，祖冲之就是用一根一根被称为算筹的小木棍来进行演算的。由于无数次地摆弄和运算，因此，小木棍都被磨得光滑油亮。可见祖冲之为了求得精确的圆周率付出了多么艰苦的劳动，需要有多么坚强的毅力和决心。

祖冲之求出圆周率的小数近似值以后，又把小数化为分数进行简化计算得出了两个分数值，一个是约率为22/7，这和公元前3世纪希腊伟大的数学家阿基米德所求出的圆周率相同；另一个是他求出的密率为355/113，这是数学史上的首创。在欧洲，直到1573年，这一数值才由德国数学家奥托（Otto Valentinus）求出，但是比祖冲之要晚1100多年。过去，西方人总是以为这个数是欧洲人发现的，其实是我们中国人发现的，它的正确名字应该称为“祖率”。“祖率”是分子分母在1000以内表示圆周率最佳近似分数值。它的形式整齐优美，容易记忆。用它来进行计算，如圆的直径为10千米，所得的圆周长值误差不到3毫米。这是我们中华民族的骄傲。

1596年，德国数学家鲁道夫计算到262边形，算出了π值的35位小数。

1841年，英国数学家卢瑟福将π值计算到了208位小数，其中152位是正确的。1844年，杰出的计算家达琴将π值计算到200位小数，9年之后，卢瑟福又将π值计算到了400位小数。

1873年，英国数学家威廉·欣克采用无穷级数的方法，经过30多年坚持不懈的努力，又将π值计算到了707位小数。

1949年，世界上第一台电子计算机诞生后，几个美国青年工作了70多个小时，把π值计算到了2037位小数。比较这个新的计算结果，人们找到了欣克的一处错误。原来欣克把第528位小数的5错写成了4，由于他当时未发现，以致他后面的计算全部一笔勾销，白白地浪费了10年功夫。

1973年5月，两位法国数学家利用一台7600CDC型电子计算机，把π值精确计算到了100万位小数。

1978年，两位日本专家利用一台更先进的电子计算机，把π值更精确地计算到了800万位小数。

1984年，日本的计算机专家在超级电子计算机上工作了24个小时，又将π值精确计算到了1000万位小数，后来又计算到2.0132亿位小数。

这些数字，对于计算和应用已经没有什么实际意义，只需要取小数点后面4位数也就足够了。但是可以证明，人们的认识是没有穷尽的。

祖冲之在天文学和机械方面也取得了杰出成就。他编制了《大明历》，在这部历法中首先引入了岁差并改革了闰法。他重造了前人的指南车，使它随意转动而所指方向如一。他创造了利用水力舂米、磨面的水磨，制造了“日行百余里”的千里船。另外，他在哲学、文学和音乐方面也都有很深的造诣和成就。我们从祖冲之的伟大成就中可以总结出如下几点。

1.有良好的家庭环境熏陶。祖冲之出生在一个科学世家，家中几代人都通晓天文历法。他的祖父祖昌，在朝廷里管营造方面的工作，是一个有学问的人。小时候经常向勤学好问的祖冲之讲解日月星辰等天文学方面的知识，父亲也是一个有学问的人。祖冲之从小就喜爱数学和天文学，阅读了大量的科技文献，除了每天阅读父亲规定的《论语》《孝经》这些经书外，特别用功地读天文学书籍。读天文书就要用到数学，于是他就又对数学下了苦功夫。史书上对祖冲之勤奋好学的记载是“少稽古、有机思”，即他很小时就喜欢考察古人的著作，善于思考问题。多年苦读的结果使他博学多才，在25岁时就被皇帝召到华林学省，成为最年轻的华林学士，为他日后天文学和数学的成功创造了良好的条件。

2.刻苦钻研、灵活运用的精神。祖冲之把从远古到他生活的时代所保存的天象观测记录和有关文献，几乎都找出来进行研究。利用比较优越的条件和环境，每天刻苦地学习研究古籍资料，有时达到了废寝忘食的程度。但祖冲之又不为陈腐的典籍和不符合科学规律的教条所束缚，而是通过实际观察、考核、计算，批判地继承接受前人的科学遗产，利用其中合理的和有用的部分来充实自己。如在计算圆周率的过程中，检查一遍又一遍，计算将近1年之久，才取得了那个举世无双的π值。