四边形家族

第4课　四边形家族

数学故事

一天，聪明猪、笨笨猪和菲菲公主又来到了几何王国，准备去拜访四边形家族。只见几何王国门口两条直线正起劲地跳着舞，它们踩着欢快的节奏，不停地变换着方向和姿势，令人眼花缭乱，一会儿手拉手，肩并肩;一会儿又你中有我，我中有你。

“这不是平行线吗?”菲菲公主高兴地叫着。

“对、对，这两条直线的位置关系就是平行线，无论我们如何延长这两条直线，它们永不相交。”聪明猪耐心地对菲菲公主和笨笨猪解释到。

“你们看，你们看，这时候它们相交了。”笨笨猪激动地叫起来。

“嗯，你观察得很仔细，现在这两条直线是相交了，你们继续观察，当它们相交成90°角时，我们就说这两条直线互相垂直，看!垂直咯。垂直是相交的一种特殊情况。”聪明猪继续说到。

菲菲公主说:“真神奇，两条直线都能这样变幻无穷，那四边形家族不是更加精彩!”

于是，他们加快了脚步往四边形家族赶去，到了里面，只见桌上摆着各种长短不一的小木棒，边上有提示:请任意选择四根小木棒，摆成四边形，并说出你摆的四边形名称。

聪明猪和笨笨猪非常绅士地做了一个请的手势，“女士优先!”菲菲公主也不客气，选了两根同样长的小木棒，又选了两根稍短些的小木棒，随即摆成了一个长方形，小心翼翼地走了进去，接着笨笨猪选了四根同样长的小木棒，拼成了一个正方形说:“我最不爱动脑筋，就拼一个简单的正方形吧!”笨笨猪拿着拼好的正方形，大摇大摆地走了进去，聪明猪就选了两根同样长的小木棒，再选了两根长短不一的小木棒拼成了一个等腰梯形说:“我拼的这个四边形像个梯子，应该就是梯形吧!”说着也急匆匆地走了进去。

一进去，聪明猪就看见笨笨猪和菲菲公主正你碰我我撞你的开着玩笑，看见聪明猪进来，他们玩得更欢了，这时菲菲公主突然尖声叫了起来:“你把我的长方形碰坏了，你赔!”笨笨猪一看，果然菲菲公主手中的长方形变形了，连声说:“对不起，对不起，我帮你修好。”笨笨猪一拉，那个长方形被拉得更扁了，笨笨猪用求助的眼神看着聪明猪，聪明猪眨了眨眼睛说:“别着急，你们仔细看看，这个长方形变成了什么图形?”

“噢，这不是平行四边形吗?”笨笨猪和菲菲公主异口同声地说。

笨笨猪低头看了看自己手上的正方形，粗声粗气地说:“我的正方形也变成了平行四边形，看样子，四边形很容易变形哦!”

聪明猪拿过笨笨猪手中变形的正方形说:“其实，这个图形是菱形，它和扑克牌中的方块形状是一样的。”

“四边形容易变形也有它的好处，商店活动铁门的铁栅由许多平行四边形联结而成，可以伸缩，便于开关。”菲菲公主灵机一动说。

聪明猪拿过菲菲公主手中的长方形比划着给笨笨猪他们看:“在周长不变的情况下，变成长方形的时候，面积最大，如果变成平行四边形，面积也变小，变成更扁的平行四边形，面积甚至接近于零。”

这时，四边形家族的族长走了过来，拍了拍孩子们的头说:“你们说得很对，四边形是平面几何的基本平面图形之一，它是学好平面几何的重要基础，四边形变化无穷、奇妙无比，在计算或证明有关四边形的几何题时，有时需要将四边形通过割补、轴对称、平移、旋转等图形变换的方法把四边形‘变脸’，所谓‘变脸’，这里指的是图形的等积变形，变形的原则是:变未知为已知，变一般为特殊，变繁杂为简约，为方便解题创造条件或另辟蹊径，从而使问题化繁为简、化难为易。”

巧解趣题

从几何王国的四边形家族回来，聪明猪、笨笨猪和菲菲公主就动手实践起来，他们首先在一起讨论垂线的画法:

“对，我们可以先画一条直线，如果是过直线上一点画已知直线的垂线，就在已知直线上定好一个点，然后让三角尺的一条直角边与已知直线重合，直角的顶点与已知点重合，再从顶点起，沿着另一条直角边画直线;如果是过直线外一点画已知直线的垂线，也要让三角尺的一条直角边与已知直线重合，让三角尺的另一条直角边与已知点重合，再沿着这条直角边画一直线就行了。”聪明猪娓娓道来。

“那怎么画平行线呢?”笨笨猪又问到。

聪明猪说:“画平行线要用直尺和三角尺两样工具。可以先画一条已知直线，让三角尺的一条边与这条直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条边，然后沿着直尺滑动三角尺到指定位置，再画出另一条直线。如下图:”

“我们会画平行线和垂线了，那我们就能画出四边形家族的所有成员了。”菲菲公主说。

“那在四边形家族里，它们之间又有什么样的联系与区别呢?”笨笨猪又问到。

“我们可以列一个这样的表，你们看:”聪明猪边说边画了起来。

我们也可以用下面的图来表示四边形之间的关系。

“嗯……我想想:长方形和正方形都是对称图形，平行四边形也应该是对称图形吧，梯形中的等腰梯形是对称图形。”笨笨猪摸着后脑勺慢悠悠地回答。

聪明猪笑了笑说:“实践是检验真理的唯一标准，我们一起来动手折一折吧!”

笨笨猪拿出一张平行四边形纸，沿着不同的方向分别折了折，左右两边却总是不能完全重合，他用求助的眼神看着聪明猪和菲菲公主。聪明猪又叫笨笨猪用菱形纸折折看，笨笨猪折后马上脱口而出:“菱形是对称图形!”

“像长方形、正方形、菱形这些特殊平行四边形，都是对称图形，而一般的平行四边形却不是对称图形，为什么有些同学会误认为是对称图形呢，因为平行四边形是中心对称图形，今后我们会学到。”聪明猪耐心地说。

笨笨猪和菲菲公主连忙拿出量角器动手操作起来，笨笨猪量了两个图形后，疑惑地看着聪明猪和菲菲公主。“是不是找不到规律呀?我是这样想的，能不能从特殊到一般，你们看，长方形和正方形的四个角都是直角，那它们四个角的和就是360度，平行四边形对角相等，我们只要量出两个角的度数，就能算出四个角的度数了。”菲菲公主说。

“哦，你是说四边形的内角和有可能是360度，那我加加看，一个四边形的内角和是361度，另一个四边形的内角和正好是360度。这是怎么回事呢?”笨笨猪问。

聪明猪说:“这是因为所有的测量都存在误差，以后我们学习了三角形等知识后，就能进一步证明四边形的内角和是360度了。这些几何图形即千变万化，又有着千丝万缕的联系。”

智力提升

1.画一个长4厘米、宽3厘米的长方形。

2.绿灯亮了，小敏要从人行横道的A点横过马路，怎样走路线最短?为什么?把最短的路线画出来。

人行横道（正交）

3.在梯形里画一条线段，把它分割成两个图形。

平行四边形和三角形

两个三角形

（　）形和（　）形

（　）形和（　）形

4.数一数。

（　）个平行四边形

（　）个梯形

5.巧动手，用七巧板拼一拼。

(1)用两块拼一个梯形。

(2)用三块拼一个梯形。

(3)用一套七巧板拼一个平行四边形。

(4)你还能怎样拼?

智慧阅读

莫比乌斯环

数学上流传着这样一个故事:有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘?如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢?

莫比乌斯环

一、莫比乌斯带的发现

对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。

有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。

一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耷拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。

莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。

圆圈做成后，莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯激动地说:“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。”莫比乌斯圈就这样被发现了。

做几个简单的实验，就会发现“莫比乌斯圈”有许多让我们感到惊奇而有趣的结果。弄好一个圈，粘好，绕一圈后可以发现，另一个面的入口被堵住了，原理就是这样啊.

实验一:

如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“莫比乌斯带”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。

实验二:

如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“莫比乌斯带”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈?还是三个圈儿?都不是。它究竟是什么呢?你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不是一分为二，而是一大一小的相扣环。

有趣的是:新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了!得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

关于莫比乌斯带的单侧性，可如下直观地了解，如果给莫比乌斯带着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把莫比乌斯圈两面均涂上颜色，即区分不出何是正面，何是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴莫比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。莫比乌斯圈是不可定向的。

莫比乌斯圈还有着更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯圈上获得了解决。比如在普通空间无法实现的“手套易位问题”:人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去;也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。不过，倘若你把它搬到莫比乌斯圈上来，那么解决起来就易如反掌了。

“手套移位问题”告诉我们:堵塞在一个扭曲了的面上，左、右手系的物体可以通过扭曲实现转换。让我们展开想象的翅膀，设想我们的空间在宇宙的某个边缘，呈现出莫比乌斯圈式的弯曲。那么，有朝一日，我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发，却带着右胸腔的心脏返回地球呢!瞧，莫比乌斯圈是多么的神奇!但是，莫比乌斯圈具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。公元1882年，另一位德国数学家费力克斯·克莱茵(FelixKlein，1849年—1925年)，终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，后来以他的名字命名为“克莱因瓶”。这种怪瓶实际上可以看作是由一对莫比乌斯圈，沿边界粘合而成。

“莫比乌斯带”有点神秘，一时又派不上用场，但是人们还是根据它的特性编出了一些故事，据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上:小偷应当放掉，而在纸的反面写了:农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布:根据县太爷的命令应当放掉农民，应当关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。

县官知道执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。一日，又拿了一张纸条，要执事官一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。执事官不慌不忙地把纸条扭了一下，粘住两端，提笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑色。县官的毒计又落空了。

现实可能根本不会发生这样的故事，但是这个故事却很好地反映出“莫比乌斯带”的特点。

二、奇妙之处有三

1.莫比乌斯环只存在一个面。

2.如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、把纸带的端头扭转了两次再结合的环(并不是莫比乌斯带，在本文中将之编号为:环0)，而不是形成两个莫比乌斯环或两个其他形式的环。

3.如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的(在本文中将之编号为:环1和环2)，从此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其他的环不发生联系而独立存在。

三、六个特征

1.莫比乌斯环是通过将正反面其中的一端反转180度与另一端对接形成的，也因此它将正反面统一为一个面，但也因此而存在了一个“拧劲”，我们在此不妨称之为“莫比乌斯环拧劲”1。

2.从莫比乌斯环生成为环0需要一个“演变的裂变”过程，此“演变的裂变”过程将“莫比乌斯环拧劲”分解成了因“相通”或“相连”从而分别呈现出“螺旋弧”向下和“螺旋弧”向上两个方向“拧”的四个“拧劲”。这四个“拧劲”中的第一个和第三个的“拧劲”将正面转化为反面，而第二个和第四个的“拧劲”再将反面转化为正面，或者说是，这四个的“拧劲”中的第一个和第三个的“拧劲”将反面转化为正面，而第二个和第四个的“拧劲”再将正面转化为反面，使所生成的环0从而存在了“正反”两个面。

3.从莫比乌斯环生成为环0的过程，还使环0具有了因相互转换而最终呈现为同一个方向上的、性质不同的四个“拧劲”。“演变的裂变”过程将莫比乌斯环的“莫比乌斯拧劲”分解成环0中的四个“拧劲”，“莫比乌斯拧劲”的“能”也被生成了环0中的这四个“拧劲”的“能”，但环0中的这四个“拧劲”的“能”是“莫比乌斯拧劲”的“能”的2倍，新生成的1倍于“莫比乌斯拧劲”的“能”的方向与原来的“莫比乌斯拧劲”的“能”的方向相反。

4.从莫比乌斯环生成为环0的过程，还使环0的空间比莫比乌斯环的空间增大了一倍。

5.从环0生成环n和环n+1的过程，环0中的四个“拧劲”的“能”不会增加，但从环0的“裂变”中，每“裂变”一次会增加一个环0的空间。

6.从环0生成环1和环2以及再“裂变”直至环n和环n+1后，所生成的所有的环n和环n+1都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其他的环不发生联系而独立存在。

四、奇妙的启示

从莫比乌斯环的三个奇妙之处和莫比乌斯环、环0以及生成的所有的环的六个特征，我们得到奇妙的启示:

1.无论将莫比乌斯环放在宇宙时空的任何地方，我们同样也会发现莫比乌斯环之外的空间也只能是存在一个面，因此，宇宙时空的任何空间之处也只存在一个面。如果宇宙时空的任何空间之处只存在一个面，那么我们就可以认为宇宙时空中的任何一点与其他的点都是相通的，即整个宇宙时空是相通的，任何一点都是宇宙的中心，也是宇宙的边缘，宇宙时空中的任何物质也都是一样，也都处于宇宙的中心，也都处于宇宙的边缘。

2.宇宙时空中的任何一个点都可以通过“裂变”的方式无中生有地生成一个对立的阴阳两性。无论生成的这一个对立的阴阳两性是否需要载体呈现出来，通过“裂变”的方式，无中生有地、生成的一个对立的阴阳两性，都需要一个比原来的空间大一倍的空间，来体现这生成的、一个对立的阴阳两性。

3.只要存在“裂变”就会使原来的莫比乌斯环不再以“本来面目”存在，或者说，原来的莫比乌斯环已经不存在了。从无中生有的、生成的、具有一个对立的、阴阳两性的环0“复原”成原来的莫比乌斯环，则需要化解一个对立的阴阳两性的面。

4.从莫比乌斯环生成为环0的过程，还使环0具有了因相互转换而最终呈现为同一个方向上的、性质不同的四个“拧劲”。我们得知，任何一个肯定应该是一个具有同一个方向上的、有缺口的或说成是非绝对的否定之否定之否定之否定的矢量(有一定方向的否定)过程。

5.从环0生成环1和环2以及再“裂变”直至环n和环n+1后，所生成的所有的环n和环n+1都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其他的环不发生联系而独立存在。这说明宇宙万物之间存在普遍联系的法则，而且任何一点或一个事物都与其他所有的宇宙万物相通相连，是不可分割的、不可遗漏的。

宇宙万物从最终起源上来讲是没有任何差异的，均起源于只有一个面的空间或者说没有任何面的状态。因此也可以说宇宙万物都是从无中生有中而来，只不过是在演变的过程中呈现出差异而已。

6.在莫比乌斯环生成为环0的“裂变”过程中，无中生有地增加生成原有“拧劲”中的1倍的新的能量，也就是说在新产生的一对阴阳两性关系体的过程中的“裂变”不遵循“能量守恒原则”;而之后的所有的宇宙万物的再“裂变”只能使宇宙的时空增大，不再生成新的能量，而且在“裂变”中必然遵循“能量守恒原则”。

7.宇宙时空中的任何一个点都可以通过无中生有的方式第一次生成阴阳两性，然后再分别以刚生成的阴阳两性为基础生成第一次的阴阳两性的两个物质，第二次、第三次……直至永无穷尽。