效用最大化的博弈分析

假设两家保险公司通过谈判来签订一份对双方效用都优化的风险交换协议。用保险术语来说,这是两家保险公司协商签订一份互惠交换业务的再保险合约。用博弈术语来说,这是两家保险公司的合作博弈。

假设保险公司 1 的风险状况由下列要素决定:

X1——保险公司1发生的总赔款;

F1(x1)——保险公司1发生的总赔款不超过x1的概率分布函数;

R1——保险公司1的初始资产;

P1——保险公司1收取的净保费,。

同时,假设保险公司1赋予x数额货币的效用是u1(x)。

假设保险公司2的风险状况由下列要素决定:

X2——保险公司2发生的总赔款;

F2(x2)——保险公司2发生的总赔款不超过x2的概率分布函数;

R2——保险公司2的初始资产;

P2——保险公司2收取的净保费,。

同时,假设保险公司2赋予x数额货币的效用是u2(x)。

假设保险公司1发生赔款X1和保险公司2发生赔款X2都是随机自变量。通过再保险交换风险后保险公司 1 将赔付Y(x1,x2),则保险公司 2 将支付其余的赔款,即X1+X2-Y(x1,x2)。很显然,函数Y(x1,x2)对两家保险公司的意义非常重大,只有使双方效用都得以增大的函数Y(x1,x2)才能被接受,再保险合约才能谈成。

保险公司1将寻找能与保险公司2达成一致的函数Y(x1,x2),该函数使保险公司1和保险公司2的效用最大化。

保险公司1的货币效用表达式是:

保险公司2的货币效用表达式是:

由上述表达式可以发现,在一定程度上,这两家保险公司的利益是相反的,它们将不得不进行谈判来找到一个妥协的途径。如果两家保险公司以一种理性方式进行谈判,则首先应该排除所有无效解的函数。如果有一个函数(x1,x2),但当存在另外一个能使两家保险公司效用更高的函数Y(x1,x2)时,则(x1,x2)就是无效的;如果没有函数Y(x1,x2)存在,则可以断定(x1,x2)就是给两家保险公司都能带来较高效用的有效解。根据Borch定理,Y(x1,x2)是有效解的充分必要条件是满足条件:

u'1(R1+P1-y(x1,x2))=Ku'2(R2+P2-x1-x2+y(x1,x2))

其中k是一个正的常数。由于在Borch定理的阐述中已经作了较为详尽的证明,因此,在此仅借用Borch在《保险经济学》一书中所举的特例予以说明。

假定已知保险公司1和保险公司2的货币效用函数分别是:

u1(x)=-a1x2+x

u2(x)=-a2x2+x

在这种情况下,获得有效解的充分必要条件就变成:

2a1(R1+P1-y(x1,x2))-1=2a2k(R2+P2-x1-x2+y(x1,x2))-k

由上式可以得到:

y(x1,x2)

为了简化上式,令:

因此,

y(x1,x2)=(1-h)(x1+x2)+h P1-(1-h)P2+Q

从这个表达式中可以看到,保险公司1与保险公司2形成的是一种成数再保险关系。其中,保险公司2承担的成数是h,保险公司1承担的成数是1-h,保险公司2将承担的赔付责任为h(x1+x2),保险公司1将承担的赔付责任为(1-h)(x1+x2)。就两家保险公司净保费P1、P2而言,保险公司1向保险公司2转移净保费h P1,保险公司2向保险公司1转移净保费(1-h)P2。Q是差项,可以为正数也可以为负数,表示保险公司1向保险公司2转移的净资产额。尽管保险公司1与保险公司2进行了净保费的交换,但最终赔付额与所获净保费额之间的偏差仍有可能存在,这也就有保险公司1向保险公司2转移其净资产的可能,作为偏差的补偿。

这个特例也说明,当两家保险公司风险交换是由函数Y(x1,x2)来定义且两家保险公司的货币效用函数都是二次函数形式时,则成数再保险方式是两家保险公司能够达成再保险最优的方式。

根据保险公司 1 货币效用函数的假设,保险公司1的最初效用是:

将上式重新整理可以写成:

其中,是保险公司1风险分布的方差。如果通过再保险互惠交换风险,保险公司1的赔付为Y(x1,x2),则很容易证明,保险公司1的效用变为:

其中,V2为,是保险公司2风险分布的方差。

同样道理,保险公司2的最初效用和通过再保险交换风险后的效用分别是:

从再保险风险交换后两家保险公司的效用表达式中可以清楚地看到,两家保险公司协商谈判的主题被简化为就h值达成一致。很显然,保险公司1 试图在最大可能值h≤1上达成一致,而保险公司 2 则主张h值越小越好。

如果这两家保险公司的行为理性,它们都不会接受一个使各自效用比最初效用还要低的再保险合约条件。因此,必须符合条件:

U1(0)≤U1(y)

U2(0)≤U2(y)

这两个不等式将定义双方均可接受的h值的区间。然而,在该区间内h究竟取什么值,这两家保险公司才能最终取得一致,又与谈判方式的假设有关。纳什(1950)已经给出了极好的证明,那就是在某些一般的非常愿意接受的假设条件下,理性的谈判将使双方效用最大化的h值取得一致。

[U1(y)-U1(0)][U2(y)-U2(0)]

在此用一个简单的数值例子来解释这个双方可接受的h值的结果。

令:R1=1,R2=3,

V1=1,V2=3

假定两家保险公司对风险的态度相同,并令:

a1=a2=1/8

将这些假设的数值代入最初效用的表达式,可以得到,保险公司1和保险公司2的效用分别是3/4和3/2。很明显,保险公司2比保险公司1的效用大。为了避免不必要的分数,对所有效用都乘以8(改变度量单位),因此,其解就可以写成:

U1(0)=6,U2(0)=12

如果两家保险公司达成协议,签订了一份有效的再保险合约,则将假设的数值代入协议后的效用表达式,效用将变成:

U1(y)=16-20(1-h)2

U2(y)=16-20h2

其中,h在下述区间:

0.29≤h≤0.49

并且还可以得到:

Q=1-4h

纳什解是使双方效用最大化的h值:

[10-20(1-h)2][4-20h2]

这个h值将由一个在0和1之间的唯一根的三次方程来决定。这个根约为h=3/8。相应的,保险公司1向保险公司2转移的资产Q=-0.5。

现在,假设两家保险公司已经达成共识,有效的再保险安排就是双方相互交换各自业务的一定比例。这实际上意味着两家保险公司合伙经营它们的保险业务,赔款由这两家保险公司以约定的比例分摊。但如何决定资产Q的转移不容易看出来。为此,可以简单地假定两家保险公司都同意彼此获得再保险保障只付净保费P1和P2,亦即Q=0,或者约定同意Q值是在转让的净保费上再增加一定比例的附加保费。

表3-1 列出了当h和Q选择某值时,两家保险公司通过再保险风险交换所获得的效用。表3-1中对应于每一对h和Q值都有两个数字,上面的数字是保险公司1的效用,下面的数字是保险公司 2 的效用。代表有效解的数字都在深色阴影框内。此特例中,对合约双方最优的纳什解是h=3/8, Q=-0.5,此时保险公司1的效用是8.19,保险公司2的效用是13.19。毋庸置疑,这两个效用值分别比保险公司1最初的效用值6和保险公司2最初的效用值12都有了提高。对理性的保险公司1和保险公司2来说,这个对双方效用都增加的最优再保险交易是可以达成的。表3-1显示了可能达成再保险交易的全部范围,但只有在深色阴影框中相对应的数字所代表的再保险合约才会有实际意义,因为两家保险公司都得到了比达成协议前更高的效用。

表3-1 两家保险公司签订各种再保险合约的效用

从表3-1中可以看到,保险公司1和保险公司2是可以达成对双方都有利的再保险合约,并且有一个对双方来说最优的纳什解(表中用粗体字标出)。但在再保险合约的实际谈判中,由于受客观环境和双方背景等因素影响,分出公司和接受公司是否在众多有效解中达成对最优解的共识,即选择h=3/8,Q=-0.5的效用值,还是一个需要协商的问题。很明显,只要h值和Q值的选择不同,对双方效用提高的大小是非常不一样的。这说明了最优再保险合约的达成过程也是双方的博弈过程。

从以上阐述和特例中可以看到,保险公司1与保险公司2能够达成对双方最优再保险合约至少存在三个方面的特殊性。第一个方面,保险公司1与保险公司2之间形成的是成数再保险关系,这就意味着在谈判过程中不存在再保险费的讨价还价问题。根据成数再保险的特点,保险公司1分入保险公司2业务的比例就是分享保险公司2净保费的比例;同样,保险公司2分入保险公司1业务的比例就是分享保险公司1净保费的比例。两家保险公司互相交换风险的比例确定了互相分配净保费的比例。第二个方面,保险公司1与保险公司2之间存在的是互惠交换的成数再保险关系,而不是单纯地由一方保险公司向另一方保险公司分出业务的成数再保险关系。保险公司1在向保险公司2分出自己业务的同时又接受保险公司2分入的业务,同样,保险公司2在向保险公司1分出自己业务的同时又接受保险公司1分入的业务。第三个方面,保险公司1和保险公司2追求的目标都是效用最大化,而非风险最小化。