【摘要】：设f（x）在［a，b］上连续，且在（a，b）内可导，若f′（x）满足条件：①在［a，b］上连续；②在［a，b］上只有有限个可除去间断点；此时，可定义f′（x）在间断点处的值为导数值，则f′（x）在［a，b］上也是连续的，且不会影响的值，那么，就可用Newton－Leibniz公式证明微分中值定理.设f（x）及g（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导、g′（x）≠0，且f′（x）、g′（x）满
设f（x）在［a，b］上连续，且在（a，b）内可导，若f′（x）满足条件：①在［a，b］上连续；②在［a，b］上只有有限个可除去间断点；此时，可定义f′（x）在间断点处的值为导数值，则f′（x）在［a，b］上也是连续的，且不会影响
的值，那么，就可用Newton－Leibniz公式证明微分中值定理.
设f（x）及g（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导、g′（x）≠0，且f′（x）、g′（x）满足条件①或②，则F（x）＝［f（b）－f（a）］g（x）－［g（b）－g（a）］f（x）在［a，b］上也连续，在（a，b）内可导，且F′（x）满足条件①或②，则由Newton－Leibniz公式知
又由积分中值定理得：
又因为（）.Fa＝F（b），所以，F′（ξ）（b－a）＝0，即
因此，整理得
.因F′（ξ）（b－a）＝0，所以F′（ξ）＝0.如果F（x）是常数函数，则F′（x）≡0，那么，在（a，b）内任意取ξ均能使F′（ξ）＝0，故∃ξ∈（a，b），使
成立.如果f（x）不是常数函数，则F′（x）不恒为零，而F（a）＝F（b），即
，所以，由定积分的几何意义知：F′（x）与x轴在a，b之间必有交点（ξ，0），使F′（ξ）＝0，因ξ∈（a，b），所以，∃ξ∈（a，b），使
成立.即Cauchy中值定理.
显然，当g（x）＝x时，便得Lagrange中值定理：f（b）－f（a）＝f′（ξ）（ba）.再有f（b）＝f（a），就得到Rolle定理：f′（ξ）＝0.所以，三个微分中值定理用Newton－Leibniz公式都可推出.
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