第节，微分中值定理（上）

时间：2022-09-17 百科知识版权反馈

【摘要】：罗尔定理的证明：因为在上连续，所以有最大值与最小值，分别用与表示，现分两种情况来讨论：若，则在上必为常数，从而结论显然成立。由在开区间内可导，在点处可导，故由费马定理推知。拉格朗日中值定理证明：作辅助函数。显然，，且在上满足罗尔定理的另两个条件。柯西中值定理证明：因在区间上连续，在内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存在，使得，又因，，故，因此。

(1/4) 费马定理

如果在处可导且取得极值，则。

(2/4) 罗尔定理

（1）罗尔定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且区间端点处的函数值，则至少存在一点。（2）罗尔定理的证明：因为在上连续，所以有最大值与最小值，分别用与表示，现分两种情况来讨论：（i）若，则在上必为常数，从而结论显然成立。（ii）若，则因，使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点。由在开区间内可导，在点处可导，故由费马定理推知。

(3/4) 拉格朗日中值定理

（1）拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点。（2）拉格朗日中值定理证明：作辅助函数。显然，，且在上满足罗尔定理的另两个条件。故存在，使得，所以成立。从上面的证明可知道罗尔定理是拉格朗日定理当时的特殊情形。

(4/4) 柯西中值定理

（1）柯西中值定理：如果，在闭区间上连续，在开区间内可导，且，至少存在一点，使。（2）柯西中值定理证明：因在区间上连续，在内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存在，使得，又因，，故，因此。作辅助函数: 因与在上连续，在内可导，故在上连续，在内可导，而，因此作辅助函数满足罗尔定理的条件,所以由罗尔定理可知至少存在一点，使，因故上式可化为： , 定理证毕。