用微分中值定理推出牛顿－莱布尼茨公式

在高等数学（或数学分析）中，三个微分中值定理，即罗尔（Rolle）定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理，以及Newton－Leibniz公式是非常重要的.而且三个微分中值定理与Newton－Leibniz公式是可以互相证明的，弄清楚这一点，对学习微积分颇有裨益.因此，下面给出证明.

1.用Rolle定理证明Newton－Leibniz公式

设f（x）在［a，b］上连续，F（x）是f（x）在［a，b］上的原函数，在区间［a，b］内插入（n－1）个分点：a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，则［a，b］被分成了n个小区间［xk－1，xk］（k＝1，2，…，n），设Δxk＝xk－xk－1，在每个小区间［xk－1，xk］（k＝1，2，…，n）上构造函数Gk（x）＝（xk－xk－1）F（x）－［F（xk）－F（xk－1）］x；由于f（x）在［a，b］上连续，故原函数F（x）在［a，b］上也连续，在（a，b）内可导，所以Gk（x）在小区间［xk－1，xk］（k＝1，2，…，n）上连续，在（xk－1，xk）内可导，且Gk（xk－1）＝Gk（xk），所以Gk（x）满足Rolle定理的条件，故在每个小区间（xk－1，xk）内至少存在一点ξk使G′k（ξk）＝0，即（xkxk－1）F′（ξk）－［F（xk）－F（xk－1）］＝0，又f（x）＝F′（x），所以F（xk）－F（xk－1）＝F′（ξk）（xk－xk－1）＝f（ξk）Δxk（k＝1，2，…，n），因此，F（b）－F（a）＝b］上连续，令，便得即Newton－Leibniz公式.

2.用Lagrange中值定理证明Newton－Leibniz公式

设f（x）在［a，b］上连续，F（x）是f（x）在［a，b］上的原函数，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，把［a，b］分成了n个小区间［xk－1，xk］（k＝1，2，…，n），设Δxk＝xk－xk－1，由于f（x）在［a，b］上连续，所以F（x）在［a，b］上也连续，在（a，b）内可导，因此，在每个小区间［xk－1，xk］上应用Lagrange中值定理得F（xk）－F（xk－1）＝F′（ξk）（xk－xk－1）（k＝1，2，…，n）.即因f（x）在［a，b］上连续，令d＝便得

即Newton－Leibniz公式.

由于Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特例，因此，F（xk）－F（xk－1）＝F′（ξk）（xk－xk－1）＝f（ξk）Δxk可认为是对F（x）、g（x）＝x在每个小区间［xk－1，xk］（k＝1，2，…，n）上应用Cauchy中值定理得到的，故此，用Cauchy中值定理亦可推出Newton－Leibniz公式，所以，由1、2知：三个微分中值定理都可推出Newton－Leibniz公式.