在18世纪之初，一个英国人——伊萨克·牛顿和一个德国人——威尔海姆·戈特弗里德·莱布尼兹，投入了一场激烈的战斗。他们从未谋面，很明显也没有用拳头和刀子。但科学史家丹尼尔·布尔斯丁（Daniel Boorstin）将他们的争斗命名为“世纪景观”(1)。恩斯特·卡西尔（Ernst Cassirer）在颇有声望的《哲学评论》中，称它为“现代思想史上最重要的现象之一”(2)。
人们通常把这场激烈的战斗描述为为谁先发明微积分的争斗。从根本上来说，它既不为财，也不为色，听起来一点都不像那种你死我活的故事，但它持续了好多年，并且痛苦越来越深。
究竟是为了什么这事闹得如此之大？首先，它牵涉了人类有史以来最杰出的两位天才。我们更为熟悉的一位天才是伊萨克·牛顿，这里不需要做任何介绍。稍不熟悉的是威尔海姆·戈特弗里德·莱布尼兹，一位德国的哲学家、数学家，他在符号逻辑和微积分，还有其他好几个领域，特别是宇宙论和地质学，都建立了很重要的草创之功。
其次，在开始的时候，很少有同时代的人能理解或延续他们的微积分研究工作，但很快，大家就明白，这是解决很多自然科学和数学问题的一个新方法，有效且通用，而这些问题在此之前都是无法解决的。
这场争端也产生了一些难以预料的奇怪后果。例如，它在现代科学论文写作规范的发展上扮演了重要的角色——特别是那些引用了别人的成果和清楚明白地吸收前人成果的论文。
另外，由于这两人的追随者富有侵略性的行为，使得这场争端火热了一个多世纪。甚至在英国和汉诺威领导人对英格兰王权旷日持久、陷入胶着的争夺中，这场关于微积分发明权的争斗也扮演了一个“角色”。在汉诺威人对自身优势的声明中，莱布尼兹的追随者说，莱布尼兹对微积分的发明是其中一项。牛顿的支持者嘲笑了汉诺威的声明。一位名叫约翰·凯尔（John Keill）的英国人，认为这些声明是企图偷窃牛顿的天才成果。
微积分之争就是这样一场战斗：牛顿使用了一些很强硬的斗争策略——有些追随者也许会用更激烈的词汇，牛顿看起来也是大获全胜。这个结果给莱布尼兹的晚年生活蒙上巨大的阴影，但是如果他活得足够长，他会看到一个完全意外的结果。虽然莱布尼兹在这场战斗中输了，但我们可以公正地说，他实际上是赢了——尽管你很难从他们两人在今天的名望来了解这件事。
当微积分从牛顿和莱布尼兹这样的天才人物脑中喷发而出时，没有别的东西能比它更复杂、影响更深远。费马求最大值、最小值的方法已经为通向微分的路作了一个直接的铺垫，它是微积分研究过程中一个重要的步骤。然而，像牛顿这样的智者，在这个数学分支里，他究竟怎样为其数学研究工作打下基础，没有人能确切地说出来。我们确切知道的是他广泛阅读了那个时代的数学著作。他阅读过并融会贯通、彻底演算过的书中有一本是笛卡儿的《几何》，他也研究过欧几里得几何，据说他认为欧氏几何很琐屑无聊。
他研读过的其他作者有：硕果累累的苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）、伽利略、牛顿在校时的亲密导师伊萨克·巴罗（Isaac Barrow）。我们有一个特别的线索：牛顿的确告诉过我们，将他引向此领域第一个发现的是对《无穷算术》（Arithmetica Infinitorum，1655）的研读，这本书是杰出的英国数学家、密码专家、传教士约翰·沃利斯（John Wallis）所写的关于解决曲线积分（求曲线下的面积）问题的著作。
当牛顿还是剑桥大学三一学院的一个学生时，他就开始了他的数学研究工作。1665年6月，他获得了学士学位。接着，一场瘟疫使学校关闭了18个月。他的家乡在距英格兰中部诺丁汉（Nottingham）东南30英里的小镇乌尔索普（Woolsthorpe）。在那里，他坚持自学。然而，在这段时间，也许他有时短暂地回到学校，做一些阅读或者实验之类的事。
显然，至少对于牛顿来说，他这段时间的强迫性自学是最好不过的事情了。这段日子里，从1665年到1666年，他为在光学、天体力学和数学（包括微积分）等领域的研究打下了基础。作为研究工作的一部分，他把沃利斯的成果扩展到了无穷级数。牛顿意识到很多数学方程可以用无穷级数来表达，并作了应用。在运用它们的过程中，他找到了曲线长度和切线的通用表达式以及处理求积问题（计算被曲线包围图形的面积）的方法。微积分运用者会公认这是该领域的起点(3)。
在这一点上，一个默默无闻的25岁左右的年轻人牛顿，已经超越了他在剑桥的老师，甚至超过了当时最顶尖的数学家之一沃利斯。直到那时，数学家们一直以为运动物体的轨迹是一系列的点，而牛顿则说它应该被看作是一个持续运动的点所画的图形。他提出，既然一个朝某点运动的点的速度是路程x除以时间t，即x/t，那么如果我们把x和t都不断减少，就会发生很有趣的事。于是，一个持续并有限的运动等于无穷小路程与无穷小时间的商。他用“流”（fluent）来称这个运动的点，并用“流数”（fluxion）来称呼它的速度，这是“流”的派生词或它的变化率。
如果牛顿今天还在工作，也许他会很快地就把某些东西发表在《伦敦数学会学通报》（Bulletin of the London Mathematical Society）这类杂志上，然后，以更完整的版本发表在普林斯顿大学的《数学年鉴》（Annals of Mathematics）上。他很可能在论文的开头就感激某些数学家，正是他们的成果使他的工作得以开展。接着，他会清楚地解释他的新成果，指出他在哪里取得了突破、是怎么取得的。通过这种方式，他的首创权明明白白地建立起来了，因为先问世的成果都会发表在同行评议的期刊里。
不幸的是，当时没有这样的期刊。这种形式的期刊发展很慢，直到19世纪中叶左右才出现。它的目的更多地是为某个发现争取首创权提供更稳固的途径，而不是在科学群体中分享这些新发现。
1669年，牛顿确实将他的早期成果写在一本小册子里，他取名为《无穷级数分析》（Analysis with Infinite Series）（通常简称为《分析》（De Analysi）），但它只以手稿的形式在少数几个同事间传阅，包括他在剑桥的老师伊萨克·巴罗。当然，它可以在早些时候以书的形式出版——这仍然是牛顿那个时代确立首创权的方式，但因为好几个原因，他没有这样做。
首先，在1666年的伦敦大火后，出版业出现了严重的衰退，技术类著作尤其遭殃。具有讽刺意味的是，巴罗多少该受些责备，因为出版他的著作的出版商破产了，于是书籍出版商们对出版数学著作特别谨慎。
即使这样，要不是命运的车轮又转了另一个弯，事情也许会有完全的转机。牛顿很不合群。我们已经看到，在他23岁还是一个学生时，他的成就已经超越了当时最杰出的数学家，只有少数几个与他通信的人意识到这一点。1669年，得益于那些未发表的手稿，他被选为剑桥大学数学卢卡斯教授（Lucasian Professor of Mathematics），这使他有充足的时间和自由继续他的工作。
他的兴趣转向其他，包括他在光和颜色里的第一批重大发现，这些也是在辉煌的17世纪60年代做出的。他一直都不愿意公开他的成果以接受外界的评论，然而他后来还是决定尝试一下。于是，在1672年，他把这些成果发表在《伦敦皇家学会哲学汇刊》（Philosophical Transactions of the Royal Society of London）的一篇论文中。虽然这篇论文广受好评，但牛顿发现，他有时得把宝贵的时间投入到应对一些对他的论点空洞的挑战上。新观点出现时，通常会有这种危险。不幸的是，有一些反对意见出自几位著名的科学家，包括荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）和英国科学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）。他发觉胡克的批评尤其麻烦和讨厌。
结果，尽管牛顿继续光学研究，但他再没有在光学上发表论文，直到30多年后胡克去世，他才发表他在光学上的主要著作《光学》（Opticks）。他决定不向外界公开他的数学成果，很可能也是出于同样的因素。他似乎相信他的发现只属于他自己，而不属于世界和科学，甚至不属于子孙后代。他还可能是为了给自己更多时间修改他的发现，而选择深藏不露。
无论什么原因，这是一个在以后的年头给他带来大麻烦的决定，这个决定也让数学史家们摸不着头脑。
然而，到17世纪80年代，牛顿已经在机械力学、引力和物体的运动研究方面颇有进展，在他的朋友兼同行埃德蒙·哈雷（Edmund Halley）的强烈建议下，他决定把这些成果付梓出版。1684年至1685年，牛顿开始认真地撰写将成为他最著名作品的《自然哲学的数学原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy），于1687年出版。这本书简称 《原理》（Principia）为大众所知，它可能将成为科学史上最重要和最著名的著作。
在书中，他简单地提到了新发现的微积分。他也许用这个方法解决过一些他在书中要解决的问题，然后改过来，再用传统的几何形式表达出来。他这样做也许是为了能把微积分方法保密得更久一点，但也可能是那些传统几何的方法是标准的演示和证明方法。
在这些方法中，有一个决定性的示范：笛卡儿漩涡不能解决行星运动问题。不过，笛卡儿的权威让位于牛顿的万有引力宇宙观还需要好几十年。
在他的《原理》出台前，牛顿与莱布尼兹不多的几次接触总的来说很恭敬、友好。但是现在，牛顿看到了一些发表的文章，这些文章如果不会立即引起他们之间关系破裂的话，在将来肯定会。不过，在我们讨论这件事情以前，我们有必要了解一下这些文章的作者。
莱布尼兹生于1646年，比牛顿小4岁。像牛顿一样，他读过笛卡儿的《几何》和其他数学著作，并受其影响。况且，他对数学的兴趣还因早年阅读哲学著作而受到激发。6岁时，他已经在大量阅读他父亲图书馆里的书——他父亲是莱比锡大学道德哲学教授。14岁时，他已经在传统学科各领域都很博学了。
奇怪的是，虽然出生于一个中产阶级家庭，但在同时代所有的数学家、科学家和哲学家中间，莱布尼兹是唯一一个挣扎度日的人。这种境况，再加之思维活跃，使他涉猎非常广泛。到26岁时，莱布尼兹已经设计出一台能进行加、减、乘、除，甚至求根的计算机；他还为神圣罗马帝国设计了一套法律改革的方案。莱布尼兹还向路易十四呈献了一份含有袭击埃及内容的计划，这个计划一方面可以削弱奥斯曼土耳其帝国，另一方面还可以转移德国对法国入侵的视线。这个计划没有成功。在不同时期，莱布尼兹还对宗教、哲学、文献学、经济学当然还有自然科学和数学感兴趣，他也在这些领域作出了贡献。
在求知方面，他和牛顿之间有很大的区别。牛顿的主要兴趣在于用数学方法解决自然科学问题。但莱布尼兹像笛卡儿一样，希望在哲学上有重大创建，认为数学可以为他开路。他想为人类的思想创造出类似字母表的系统，里面的符号可以用来代表基础的观念，这些观念可以组合起来形成更复杂的思想—— 一种理性的微积分。
但是，无论莱布尼兹在数学领域做了什么，这些在他多姿多彩的学术生涯中都是副业，这也使得他的成就更加让人惊诧。1673年，作为美因茨大主教的顾问，因职务使然，在执行一次外交使命中，莱布尼兹访问了伦敦。在那里，他见到了皇家学会的秘书亨利·奥登堡（Henry Oldenberg），他给后者留下了深刻的印象，以至于被推选加入皇家学会。在其他的旅行中，莱布尼兹接触了这样一些人物：惠更斯、斯宾诺莎（Spinoza）、马尔皮基（Malpighi）和伽利略杰出的学生温琴佐·维维亚尼（Vincenzo Viviani）。
据一位数学史家说，在莱布尼兹1673年拜访奥登堡期间(4)，他有机会看到牛顿《论分析》的抄本，虽然这看起来不大可能。即使真的这样做了，他也许不懂它的意思。1676年，莱布尼兹再次因外交使命来到伦敦。这一次，他访问了牛顿的另一个同事约翰·柯林斯（John Collins）。我们确信，柯林斯给他看了一些牛顿的论文。
就是在这个时候，两个人有了直接的关系。可能在莱布尼兹刚开始思考微积分的问题的时候，通常被认为他不仅远远落后于牛顿，而且根本就不知道牛顿在这个领域里的成果。于是，当他1676年两次写信给牛顿时，问的都是关于无穷级数和用无穷级数求曲线所围面积的问题。牛顿非常礼貌地回了两封信，这两封信在后来发展起来的争端中起着非常重要的作用。
虽然牛顿的回信确实是围绕着来信所涉的微积分中的问题而谈，但他非常谨慎地把它们藏在精心设计的字谜中，有时他只是间接的提了一下这个方法，但从来不清楚地讲出来。正是他们两人所处阶段的不同将牛顿引向了麻烦，因为当莱布尼兹在大约8年后真的发表了微积分方面的论文时，牛顿不敢相信，莱布尼兹凭一己之力能如此快地取得这么大的进步。
尽管莱布尼兹将微积分作为推导工具的观念铭记在心，但这个观念在他的同侪间鲜有共鸣。然而，更重要的是，到那时为止，从这项成果中衍生出的数学成为一个在应用领域运用更加广泛、也更加直接的关键部分。运用牛顿的微积分，解决复杂的曲线、面积和体积问题变得更为简单。更何况，它能方便地解决以前不可能解决的变化问题，比如速度和加速度的变化、生长率和衰败率等。
最后，牛顿和莱布尼兹两人提出的方法，不仅仅只为少数特殊问题提供了解决方案（就像以前的方法所做的那样），而且还是运用广泛、更加通用的运算法则。它可以运用于代数的、先验的（transcendental，莱布尼兹发明的词）、理性的、非理性的各个方面。
在微积分发展的这些年，牛顿用了很多种符号，这在后来还引起了一些混乱。早些时候，他倾向于使用“小零”来标示时间的任意增量，比如，用0p来标示一个变量p的增量。后来，他改为更为常用的点符号，例如，
用来表示x的一阶导数（如速度），
表示二阶导数。
莱布尼兹对他的符号的选择、运用更小心，考虑也更周到。当后来人们对他们做出评价时，这就为他带来好处。对于微分，经过一些试错，他提出了非常有用的表示法：用“dx”和“dy”来表示对x和y的微分（尽可能小的差分）。对于积分方程，他提出了用“∫”来标记。对于他们两人来说，求切线需要用微分方程，计算曲线包围的面积则需要用积分。
接下来到17世纪80年代，莱布尼兹已经使自己成长为一个很有前途的数学家。1684年，他对微分的第一次论述发表在《博学学报》（Acta Eruditorum）上，论文名为《求极大值和极小值以及切线的新方法，对有理量和无理量都适用的，一种值得注意的演算》（A New Method for Maxima and Minima as Well as Tangents，Which Is Impeded Neither by Fractional nor by Irrational Quantities，and a Remarkable Type of Calculus for This）。在这里，我们第一次看到微分基本公式的清楚表述：
他和牛顿一样，认为积分不仅仅是曲线下面积的和，也是微分的逆运算。两年后，他发表了关于积分的早期成果。
正是莱布尼兹在1684年发表的关于微积分的第一篇论文，让我们看到了这场麻烦的第一波涟漪。牛顿不为大众所知，但在他的同行间很知名，也备受尊敬。正当他开始着力于写作《原理》时，微积分的第一篇论文就突然出现在他的面前。这是莱布尼兹写的，并没有提到牛顿的名字。
这不合理吗？牛顿在数学界的名声一直在他的英国同行间增长，但他还根本没有见诸书面的东西，对于大多数欧洲大陆数学家来说，他的名字鲜为人知。
无论如何，牛顿似乎完全无动于衷。实际上，他甚至在《原理》中承认：莱布尼兹“得出了同样的方法，并和我交流了他的方法，他的方法与我的几乎没有不同，除了在符号和产生量的观念上”(5)。
一些牛顿的追随者对事态如此发展却没有丝毫乐观。例如，约翰·沃利斯认为牛顿关于流数的观念正以莱布尼兹微分学的名义传到欧洲大陆。到1692年，沃利斯把自己的成果汇编成集，他极力催促牛顿允许他收入一些关于牛顿微积分的文章。结果，沃利斯在《Works》第一卷（1695）的前言里提到牛顿的微积分，在第二卷（1693）里也有一些摘录。（日期有些不确定）
不管怎样，牛顿和莱布尼兹本来还是可以保持良好关系的。比如，1693年3月，莱布尼兹第一次发表微积分方面的论文9年后，他写信给牛顿，竭力想恢复他们之间的通信。虽然有所拖延，但牛顿还是在10月给他回信了，他的措词依然很礼貌。当然，在两人的信中都没有任何对于剽窃的愤怒和指责对方的意味。
不幸的是，即使除去即将影响当事双方行为的沃利斯，在两边都还有其他的参与者。
牛顿和莱布尼兹都没有学生来继承他们的成果。但是在莱布尼兹于1684年发表他的论文后，瑞士的伯努利兄弟——约翰（Johann）和雅各布（Jacob），不仅领会了这个方法，而且还将其投入运用并传授给他人。兄弟俩还联系了莱布尼兹，并开始成为他的拥趸。在这方面，约翰特别活跃，无论是直接的还是间接的。在后一种情况下，他发起的一系列事件很有可能成为导火索，引发这场令人心碎的冲突。
1696年6月，约翰向世界上“最精明的数学家们”发出了一个挑战：求一条连接任意两点的曲线，该两点不在一条垂直线上，沿着该曲线，一物体会在它自身的重力作用下，以最快的速度从较高点下降到较低点。他秘密地给了莱布尼兹一个副本，也送了副本给沃利斯和牛顿。这是对牛顿方法的公然挑战，然而，在后来的某个时候，牛顿也确实解决了它。牛顿通过化名的方式把他的答案送给了皇家学会。然而，当伯努利最后看到它时，他马上就猜出了作者是牛顿。他说：他从“利爪认出了狮子”。
答案是：这是一条最速降线。其他人也已经指出过，但是该曲线也有摆线(6)这种形式，只有通过运用微积分，才好让人懂。莱布尼兹接下来做了一件蠢事。1699年，他对早些时候（1697年5月）给出并发表在《博学学报》上的解法补写一份评论，把这些解法当作他自己微积分的成功示范提出来。他也提到还有一些人解决了这个问题，包括牛顿，但暗示其他所有人都用了莱布尼兹的微积分。这样，牛顿看起来就像一个抄袭者，或者说像是莱布尼兹的一个学生。
伯努利也认为牛顿和其他人在某种程度上得益于莱布尼兹/伯努利团队。这是麻烦的真正开始。伯努利说，除了牛顿的圆点符号，两人的微积分方法鲜有不同，既然莱布尼兹首先发表……
牛顿和他的英国追随者都不可能对此感到高兴，但有一个追随者尤其感到恼火。尼古拉·法蒂奥·丢勒（Nicholas Fatio Duillier）是一位瑞士数学家，他搬到英国，并成为牛顿的好朋友。早些时候他与惠更斯一同工作，从1687年开始，他成为皇家学会会员。对他有各种各样的描述：杰出的数学家、冒险家、预言家、神秘家、流氓。在赋予他的冗长头衔中，丢勒认为“杰出的数学家”是一种人身侮辱。
应该做些什么？牛顿的追随者一般会考虑做这样的事：在这么晚的时候，既然在谁先发表的问题上已经输给了莱布尼兹，最好的办法就是指出莱布尼兹在欧洲大陆的荣誉名不副实，他的表述不如牛顿的，或许甚至是从牛顿那里抄袭来的。
丢勒发表了一篇分析最速降线问题的长篇论文，送给了皇家学会。但是，很明显他对约翰·伯努利和莱布尼兹合起伙来非常恼怒，对于微积分的原创问题，他写了一些具有高度煽动性的语句：“通过这个学科自身的证据，我完全明白了牛顿是它的首先发明者，而且早于其他人很多年；无论它的第二个发明者莱布尼兹是否从牛顿那里借用了什么，我宁愿把这个问题付诸判断‘哪些人看过牛顿的信件和他的原始手稿’。无论牛顿愈加的谦逊沉默，还是莱布尼兹在各种场合不厌其烦地宣称他发明了微积分，都不能欺骗任何人，只要他像我做过的那样——去调查那些记录。”(7)
原话就是如此。丢勒并没有在事实上指控莱布尼兹剽窃，但他已经白纸黑字写下了莱布尼兹至少有可能“借用”，如果这不是暗示“剽窃”的话。
事件热了起来。
丢勒的攻击是在牛顿的默许下进行的吗？没有确切的证据表明这一点。牛顿气愤至极，以至于他纵容这样的攻击？有些人说不是这样的，因为他还没有愤怒到极点。另外有一些人认为，没有牛顿的同意，丢勒发表这样的攻击是不大可能的。别妄加猜测了，我们该就此打住！
接下来发生的事更有趣。显然，莱布尼兹愤怒了，但他依然认为牛顿应该是无辜的，既然牛顿已经在《原理》第一版中承认了他在微积分上的研究成果。（警觉的读者会疑惑为什么我提到“第一版”。少安毋躁，且看下面分解！）
莱布尼兹在《博学学报》上就他本人的行为发表了一份辩词。对此，丢勒试图发表一份回应，但编辑们拒绝接受，理由是这份期刊不容许卷入私人争端。这场争斗的性质正变得越发明朗。值得注意的是，莱布尼兹帮助过这本期刊的创建，对它的编辑活动有一些影响。这可以用来解释：为何他的辩解发表了，而丢勒的回应却不能。
就此，争端潜伏了好几年。
到17世纪90年代，牛顿的兴趣正从自然科学和数学（不必提哲学、宗教、炼金术和玄学）转向政治和管理领域。1695年，他参与了关于国家货币改革的讨论，一年后，被任命为皇家铸币厂的监造员。新的职务需要牛顿搬到伦敦，也需要他的生活在很多方面做大的改变。他虽然在科学方面继续钻研，但投入的精力少多了，因为他很看重他在铸币厂的职责。1699年，他被提升为厂长。
至此，在他富有魅力且活泼的侄女凯瑟琳·巴顿（Catherine Barton）的帮助下，他经常和达官富豪们聚饮会谈。他的侄女（很有可能）和他同住在伦敦舒适的街区。
牛顿对皇家学会更感兴趣了，开始有规律地参加会议。他展示了一个六分仪的改进设计和一个在海上测量精度的装置。但他再次与胡克发生矛盾。1701年，一次会议上，他宣读了一篇关于化学的论文，并在后来发表了。在这一年末，他辞去了在剑桥的教授职务。为了表达对牛顿在职务上所作贡献的赞赏，剑桥大学选举他为大学在议会中的代表。在议会中，他没做多少事，但他在皇家学会一直很活跃。
1703年，胡克死了。他是牛顿竭力想回避的人，牛顿也因为他，过了30年才发表自己在光学上的成果。这一年，牛顿被推举为皇家学会的主席，并连年当选，直到去世。这两个事件将对他和莱布尼兹都影响深远。
忠实于自己的诺言，牛顿最终发表了他在光学上的成果。这是他发表的第二个重大成果。但这一次，他很显然开始把莱布尼兹当对手来对待，因为他收入了在微积分方面的两篇论文。其中一篇是《论求积》（On Quadrature）。1691年他开始写这篇论文，但一直没有写完。最后，它在1704年公布，但仅仅是作为他的伟大著作《光学》的附录。
《论求积》在历史上很有趣。某种程度上，它是一个再声明，也是对1676年给莱布尼兹第二封信的扩充，里面有对送给莱布尼兹的扑朔迷离字谜的解释。
到现在为止，我们基本上都是从牛顿的角度出发来看当时的情形。但是，莱布尼兹的声望也在快速增长中。例如，1699年，法国科学院制作了一份8位外籍院士的名单。牛顿排在名单的第七位，而莱布尼兹则排在第一位。换句话说，牛顿名声的增长，在欧洲大陆要比在英国慢得多。另一方面，莱布尼兹也许对来自牛顿的挑战感到不安，或许这是他下一步所做所为的关键因素。
一年后，莱布尼兹匿名评论了牛顿的《光学》。他称这本书造诣颇深，但该书的两个数学方面的附录有错误。真是糟透了！在文字上比较一下，就更糟了。这种书面比较让我们想起了本书前一章费马的信。莱布尼兹声称，牛顿在《原理》和其他作品中巧妙地用了他关于流数的观点，这不是问题。但他接着说，牛顿这种做法，正如霍诺热·法布里（Honore Fabri）在他的《几何学大纲》（Synopsis of Geometry）中用前进运动来代替卡瓦列里（Cavalieri）的方法一样。
卡瓦列里是伽利略的一个学生，也是一位优秀的数学家。实际上，莱布尼兹是从卡瓦列里的论著中学到求曲线下面积的方法的。而另一方面，法布里水平稍逊，他抄袭了卡瓦列里的想法。这似乎暗示牛顿用他自己的流数代替了莱布尼兹的微积分。确实，牛顿就是这样理解这个用来作类比的例子的。他也很快怀疑莱布尼兹就是这些评论的作者，把这当作一个不直接但有很强启发性的暗示，暗示莱布尼兹是最初的发明者，而他牛顿在某种程度上利用了莱布尼兹的成果，或许还抄袭了莱布尼兹的成果。
莱布尼兹真的有意发出这么直接的攻击吗？A·鲁帕特·霍尔（A. Rupert Hall）仔细研究过这个事件，他争辩说：“我并不真的认为莱布尼兹在用这种最狡猾、阴险的方式表达对牛顿强烈的、酝酿已久的仇恨，就像后者所设想的那样。莱布尼兹是在非常仓促的情况下……在这篇评论中，他无意发泄自己内心的怀疑和不平——它们自然流露出来，却产生了毁灭性的后果。”霍尔总结道：“故意嘲弄对手，智者也会受伤害，莱布尼兹聪明过头，用历史事例来类比，正印证了这句话。”(8)后来，莱布尼兹本人坚持说他无意暗示剽窃。
无论如何，一场令人不安的休战持续了好几年。然后，两人中的一个追随者再次煽风点火，这一次是约翰·凯尔（John Keill）。他是詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）的一个苏格兰学生，他成为牛顿的一个重要的拥护者。在一篇本来并不起眼的、发表在《哲学汇刊》（1708年10月）上的论文中，凯尔有这样一段陈述：“流数毫无疑问是牛顿首先发明的，读过沃利斯发表的关于此事信件的任何人都能很容易地证明这一点；但是在后来，莱布尼兹博士用化名和不同的标记方法，在《博学学报》上发表了同样的算法。”(9)
开始的时候，很显然，牛顿还不愿意寻求正面交锋，他对这篇惹事生非的论文很恼火。然而，凯尔通过精心操作，把莱布尼兹的评论和他的论文一并送到皇家学会，牛顿的愤怒从凯尔身上转回到莱布尼兹那里，凯尔作为牛顿拥护者的地位得到巩固。
因为多种原因，莱布尼兹直到1710年才看到凯尔的这篇文章，于是又有了一些来回的交锋。或许是受到来自伯努利的激将法，莱布尼兹接下来犯了一个重大的战术错误。他直接请求皇家学会做出某种表示，公开地澄清事实。在一封写给皇家学会的信（1711年2月21日）中，莱布尼兹抗议说，在沃利斯的《成果》出现“流数”这个词之前，他从来没有听说过它；在牛顿1676年给他的信中也找不到这个词。总之，这种指控“既荒唐又可鄙”。
莱布尼兹这样做之所以是一个战术错误，有几个原因。首先，这些年这两位人物的关系一直在恶化。而现在，双方真的恼火了。莱布尼兹的问题是他在自投罗网，他所请求的正是牛顿任主席的学会。真的！他把信寄给了皇家学会的秘书长汉斯·斯隆（Hans Sloane），牛顿怎么可能置身事外？况且，汉诺威家族存在有继承王位的威胁，英国人对此极端仇视，而莱布尼兹与汉诺威家族大有瓜葛。皇家学会这个名字本来应该是让莱布尼兹有所犹豫、顾忌的。对于皇家学会的成员（他们倾向于做牛顿的支持者）来说，任何跟汉诺威家族有联系的人都是极不受欢迎的。
这件事很重要，牛顿因而决定全力支持凯尔对莱布尼兹打一场官司。抱歉，我的意思是，在学会内成立一个正式的、无偏见的委员会，目的是调查并回应莱布尼兹的指控。但是，事情发展成牛顿和他的同事去大量收集证据。1713年2月，这些证据被汇集起来并作为一份报告发表，冠名为《通报》（Commercium Epistolicum）。报告以匿名的方式发表，但知情人都能看出牛顿涉足其中。
不用说，这份报告偏袒了牛顿。
这一年的晚些时候，莱布尼兹用《快报》（Charta Volans）作回应，(10)据推测这是另一篇匿名的论文。文中，他表达了对《通报》的蔑视，并直接指控牛顿和他的追随者剽窃莱布尼兹的微分，而且，他们在运用微分时还犯了严重的错误。
换句话说，事情没有缓和，而是在变糟。现在，凯尔发表了一篇文章，登在1713年5-6月份的《拉艾文学杂志》（Journal Literaire de la Haye）上。这是一本法国的文学杂志，于是这场争斗进入公众的视野。同一年，约翰·伯努利对牛顿的《原理》发表了一些数学上的批评。伯努利还同时指出：牛顿的一些评论是“炒剩饭”。
莱布尼兹不甘落后，发表了他自己的《微分的历史和起源》（History and Origin of the Differential Calculus，1714），就英国数学家声称他的方法来自牛顿作了自己的答复。
接着，1714年，在《哲学汇刊》上，一篇《通报》的评论发表了，还是匿名，仍然是牛顿写的(11)。
在其他的一些声明中，我们发现，牛顿试图表明他的微积分优于莱布尼兹的。“有人声称，用字母o不科学，并认为这种做法损害了微分方法的优势。恰恰相反，牛顿先生所用的流数方法，在微分和其他方面都有优势。它更巧妙，因为在他的微积分里有一个用符号表示的无穷小量，符号为o …… 它（他的微积分）更自然，更形象……牛顿先生的方法也更实用，更确定……牛顿先生的成果不仅在有限方程领域取得成功，他又通过收敛级数方法来证实这些方法，因此，对比仅限于有限方程的莱布尼兹先生的方法，牛顿的方法在更通用方面无与伦比。”(12)类似的话还有很多。
争端通过另一种方式在扩大。早些时候（1710年），莱布尼兹批评过牛顿的万有引力理论和与其相关的超距作用观念，指责它们神秘兮兮的，故弄玄虚。现在（1716年），他再次猛烈出击，开始攻击并嘲笑牛顿的哲学观念。例如，牛顿认为宇宙可以被设想为一只钟，在创世之初上帝已经上紧了发条。莱布尼兹争辩说：如果这只钟在没有上帝帮助的情况下就能永远运转，那么，要上帝干什么呢？
牛顿担心，行星的一些意外的不规律运动会累积起来，并最终使整个太阳系失去平衡。他认为，上帝会参与进来，并使一切恢复秩序。莱布尼兹嘲笑牛顿把上帝当作某种天文维修工的想法。莱布尼兹争辩说，上帝会创造出最完美的世界，这是上帝的本性。另外，莱布尼兹和其他人还指出过牛顿的《原理》对反基督教的影响——这是令人不安的。
这两位人物在他们的时空观上也有决然不同的观念。奇怪的是，莱布尼兹的观念在某些方面比牛顿先进。牛顿的绝对空间观和莱布尼兹的相对空间观不可避免会发生冲突，我们知道在这一点上谁最终输了。对于太阳系，后来皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）证明太阳系是稳定的。当然，这在当时只会让牛顿恼火。
于是又有了一些来回的交锋，但成效甚微。
1716年11月14日，莱布尼兹去世。这场争端到头了吗？没有。牛顿还是认为有必要让它继续，一些莱布尼兹的追随者也这样认为。1722年，牛顿安排出版了《原理》的第二版。原本料想它应该是第一版完全的复制，但这次是拉丁文版本，在开头部分还有所增添。人们也猜测它是凯尔编辑的，但实际上牛顿才是幕后指使者。因为第一版很难得到，所以这一版成为后世学者的基本参考文献。开头增添的部分是一篇精心演绎的文辞，清楚而精确地陈述了牛顿事件，也清楚地呈现了对莱布尼兹的伤害。
还有一个小问题。一个世纪后，一位名叫奥古斯图·德·摩根（Augustus De Morgan）的学者比较了这两个版本，他清楚地看到牛顿修改、增添并删除了原文中的一些东西——当然，这对牛顿有利。牛顿如何愤怒开始清晰地展现出来。莱布尼兹死后大约12年时《原理》的第三版出版了，牛顿删去了所有提到莱布尼兹的内容！正如他辩解的，第二发明人没有任何权利。得益于牛顿在皇家学会的尊崇地位，得益于作为人类所有时代最重要的数学家之一牛顿日益增长的声誉，他的陈述几乎成为事实。
让我们回想一下丢勒和其他牛顿的追随者所用的方法。阻止莱布尼兹作为微积分的真正发明人的声誉增长，最好的，也许还是唯一的方法就是，坚定地展示微积分是牛顿首先发明的，牛顿的微积分方法更有优势；同时，暗示莱布尼兹甚至可能从他那里抄袭。我们已经看到《通报》中对牛顿微积分优势的声明。这是牛顿的观点，他有权发表他的观点——但这还不够。
注意莱布尼兹首次发表微积分的时间是1684年。像牛顿一样，他似乎不急于发表。虽然莱布尼兹没有像牛顿那样等上近40年，但他的确珍藏了9年。今天对发表东西的狂热在当时看起来并不普遍。或许，那个时代的人都希望在论文付梓之前进一步地完善、修改。
总而言之，在微积分的发展上，牛顿是占先的：1665—1666年；莱布尼兹：1673—1676年。然而，显然是莱布尼兹先发表：1684—1686年；牛顿：1704—1736年。
这有助于我们在这场首创权争端中做出某些论断吗？当然，牛顿和他的追随者相信他应该获得所有的荣誉，因为毫无疑问是他首先提出该方法的，但是问题绝对没有这么简单。
首先，确实是莱布尼兹最先发表，而且结果也是：他的成果在牛顿的成果之前被人接受并得到应用。莱布尼兹的符号也更有优势，是我们今天仍愿意使用的。所以，尽管牛顿宣称他的微积分更优越，但后人不同意。
正如我前面提到的，牛顿在数学上第一个重要的作品是作为附录出现在《光学》这本书上的。它的全名是《关于曲线图形的种类和数量的两篇论文》（Two Treatises of the Species and Magnitude of Curvilinear Figures）。他本来已经早在17世纪60年代中期就研究出了该项成果，但直到1704年，它才被公之于众。
同样，牛顿另一个关于微积分方法的作品《流数法和无穷级数》（Method of Fluxions and Infinite Series）写于1671年，但直到1736年才出版，拉丁文版的还要晚。
换句话说，当牛顿的作品发布时，莱布尼兹已经成了他的劲敌。牛顿和他的追随者可以做出一大堆或真或假的声明。他们可以说牛顿在17世纪60年代中晚期就已经发明了微积分；还可以说他早年就已经在用点标注法，然而他也有可能直到看过莱布尼兹的一些作品后才开始使用。一些历史学家主张，实际上牛顿直到17世纪90年代才开始用点标注法(13)。
在《通报》中，牛顿声称他早在1676年就已经写下在求曲线所围面积方面的论文，后人研究发现这不是事实。他实际上是在1691年写的。
《通报》中另一个声明是：在1672年12月10日，莱布尼兹看过一封牛顿关于切线问题的信，在这封信中，流数的方法讲得足够明白，“任何聪明人”都会利用它提出微积分。后世学者公认这样几点：首先，不是每个聪明人都会在这个没什么价值的暗示基础上得出微积分方法；其次，莱布尼兹从来没有看到过这封信(14)；最后，牛顿知道这一点，至少他应该知道这一点。
沃利斯也参与了对莱布尼兹发起的阻击战中，也许这是不经意的。当他在17世纪90年代把关于牛顿微积分的一些材料收入他的《成果》中时，他在文中说他发表的是牛顿给莱布尼兹信中的内容。这根本就不是事实。实际上，他汇编的文集不是建立在原始文稿基础上的，而是建立在各种为迎合牛顿而改写过的各种抄本的基础上。
换言之，大多数流传至今我们“所知道”的牛顿早期成果，都是在莱布尼兹成为威胁后再创造出来的。这并不顺理成章地意味着它们都是假的，但我们必须认识到，它们经过了添油加醋。
在既有动机又有合理性的情况下，谣言飞得特别快。当这场争端热起来后，双方都指控对方剽窃。
当然，双方都有动机。双方的人都感到他们的声誉受到威胁，他们都受到了中伤，最后他们愤怒了，要么自己做了不该做的事，要么纵容别人也这样做。
至于合理性：莱布尼兹看过牛顿的一些论文。况且，牛顿的一些同事一直都在跟进他的工作进展，而他们中的某些人跟莱布尼兹有接触。所以莱布尼兹有可能窃取牛顿的成果。但这绝不是说他就真的这样做了。
牛顿一方一直在抱怨柯林斯给莱布尼兹看过牛顿的一些论文，这是个事实。但是，即使这样，这些论文里包含有多少牛顿的微积分，还不能确定。现在大家认为里面的微积分只是很少，至少牛顿用得很少。莱布尼兹看到的和用到的更多与无穷级数有关，而不是与牛顿在微积分方面的先进成果有关。
牛顿用过莱布尼兹的成果吗？这种可能性更不确定。正如我们所看到的，很显然，对在后来篡改事实以达到自己目的这件事上，牛顿和他的同事没有悔意。但是后来研究该事件的人们作出很多思考和调查后，得出基本的共识是：尽管两个人都被指控有无礼和肮脏的行为，但他们都没有任何形式的剽窃。这就是说，他们在没有任何直接借用对方成果的情况下，独立地提出了各自的微积分。
牛顿的名声广为传播花费了一些时日，尤其是在欧洲大陆，但他的名声还是传开了。同时，在牛顿的努力下，莱布尼兹的光辉日益暗淡，在他们各自的晚年，他们的处境迥然相异。牛顿被奉为偶像，并受封为爵士。当他1727年去世时，他被授以国葬。至今，他的尸骨还埋在西敏寺中央一个引人注目的地方。
莱布尼兹的处境就大不相同。对他来说，看起来什么事都不顺利。1714年，当他的主人、汉诺威的竞选者成为英国的乔治一世（George Ⅰ）时，莱布尼兹甚至在他自己的朝廷都不得宠。在所有的外交努力中，他站在争端的失败一方，所以这种结局对他来说是肯定的。另外，他试图劝说罗马天主教廷把伽利略的《对话》（Dialogue）从禁书目录里剔除，也没有成功。他曾希望统一天主教会和新教教会，更是没有成功。
当1716年莱布尼兹在汉诺威去世时，他的很多计划都没有完成。看起来，在他辛勤效劳了近40年的朝廷里，他也几乎没有一个朋友。他的葬礼只有他生前的助手一人参加。他的一位朋友在论文集中写道：“莱布尼兹的葬礼更像是给一个强盗安排的，而事实上，他是他祖国的荣耀。”(15)
作为对这个可怜人声誉的最后一击，法国讽刺作家伏尔泰（Voltaire）在他的《老实人》（Candide）中，狠狠地对莱布尼兹做了一番嘲弄。它成为伏尔泰最著名的单一作品。虽然18世纪的生活和思想充斥着残忍的讽刺，但这本书是专门针对莱布尼兹的。故事的主人公是贡第德（Candide），他的导师是莱布尼兹的学生潘格罗斯（Pangloss）。尽管遭受了多不胜数的既悲惨又好笑的霉运，潘格罗斯仍坚持认为，对这个可能是最完美的世界来说，一切都是最应该发生的。（当然，“可能是最完美的世界”这个观点的出台，莱布尼兹也有份。）伏尔泰是牛顿思想的热衷宣扬者，他为牛顿思想在欧洲大陆的传播做了很多工作。让我们回想一下莱布尼兹的一个愿望：他希望他的微积分能够解开人类行为的秘密。对这个想法伏尔泰也作了嘲讽。
莱布尼兹配得上任何荣誉吗？牛顿认为不能，在他的晚年，他更是这样认为。
在这里，牛顿错了，至少有两个理由。首先，他也许还没有意识到他提出的微积分确实是个先进的方法。换言之，直到莱布尼兹和他的追随者展示了这个方法的应用，牛顿才明白他们有了一个能够普遍应用的通用方法。
然而更重要的是，争端开始后那些年发生的事。虽然后来在两人之间再也没有直接的争端了，但这场争端的反响极大，影响深远。简言之，英国数学家坚持忠于他们的科学领袖，只用牛顿的微积分和他的符号。但在欧洲大陆，从莱布尼兹首次发表他的微积分开始，莱布尼兹的追随者就掌握了微积分，并将它投入运用。在这方面，两位年长的伯努利兄弟尤为突出。
于是这场微积分之争有了两个重要的结果。第一个结果是两派数学家之间的关系破裂，这种状况一直持续到19世纪。本来双方通过交流，可以得到很多益处，但这样的结果阻止了这种益处的产生。
第二个结果更有意义：整个18世纪，主要在莱布尼兹微积分的基础上，欧洲大陆数学家取得了飞速进步，大大超出了那些英国数学家。在这里，我们可以下最后一个结论：莱布尼兹输了这场战役，却赢得了整场战争。
————————————————————
(1) 布尔斯丁，1991年，第413页。
(2) 《哲学评论》（Philosophical Review），第52卷，1943年，第366页。
(3) 值得注意的是：即使在很久以后，当他称之为流数的微分方法最终在1736年和1742年出版时，它仍然以《流数法和无穷级数》（Methodus fluxionum et serierum infinitorum）命名。
(4) 霍林代尔，1989年，第256页。
(5) 莫（More），1962年，第394页。
(6) 滚动的圆盘边缘的一点所经过的路径。在第4章有更多关于最速降线的内容。
(7) 莫，1962年，第575页。
(8) 霍尔，1980年，第140页。
(9) 莫，1962年，第582页。
(10) 这可以翻译成“传单”，通常由政客们发表，没有日期和地点。
(11) 这里的日期有些含混。印在文章页码上的日期是1714年。然而在英国，直到1756年，法定年度仍终止于3月25日。因此对我们来说，他们的1714年2月应该是1715年2月。同样，对某些历史资料来说，也适用这种情况。
(12) 匿名（牛顿），1714年，第139页。
(13) 霍尔，1980年，第 39页和187页；尤斯科维奇（Youschkevitch），1974年，第47页。
(14) 这方面的更多细节请参见：莫尔，1962年，第592—594页。
(15) 梅兹（Merz），1884年，第126页。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
