【摘要】：在高等数学（或数学分析）中，证明Newton－Leibniz公式，通常的方法是首先用函数的连续性和介值定理证明积分中值定理，再用积分中值定理证明微积分第一基本定理，然后，再借助于原函数的概念和变上限积分函数证明Newton－Leibniz公式.但由于参考文献［14］、［15］中均用微分中值定理证明了Newton－Leibniz公式，因此，我们就可用Newton－Leibniz公式和Lagrange
在高等数学（或数学分析）中，证明Newton－Leibniz公式，通常的方法是首先用函数的连续性和介值定理证明积分中值定理，再用积分中值定理证明微积分第一基本定理，然后，再借助于原函数的概念和变上限积分函数证明Newton－Leibniz公式.但由于参考文献［14］、［15］中均用微分中值定理证明了Newton－Leibniz公式，因此，我们就可用Newton－Leibniz公式和Lagrange中值定理直接证明微积分第一基本定理和积分中值定理，而且积分中值定理的中间点ξ与微分中值定理的中间点（a＜ξ＜b）是一致的.所以，弄清楚这一点，就能使微积分内容的学习处理得心应手，非常有益.故此，下面给出证明.
定理2.4.1（微积分第一基本定理）设f（x）在［a，b］上连续，则变上限积分函数
在［a，b］上可导，且
其中，.若x为区间［a，b］的端点，则Φ′（x）是单侧导数.
证 因
，而f（x）在［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上有原函数F（x），故由Newton－Leibniz公式得
，所以，
故
因F（x）是f（x）在［a，b］上的原函数，所以，
即
由＊式知变上限积分函数
的一个原函数.
显然，只要f（x）在［a，b］上可积，且在［a，b］上有原函数F（x），Newton－Leibniz公式就成立，那么，定理2.4.1的结论就成立.因此，微积分第一基本定理也可推广如下.
定理2.4.1′ 如果f（x）在［a，b］上可积，且在［a，b］上有原函数，则变上限积分函数
上可导，且
其中，若x为区间［a，b］的端点，则Φ′（x）是单侧导数.
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