灾则粮食总产量回归为万吨

第三节　虚拟(哑)变量回归

在实际社会问题研究或进行回归模型估计中，有时会遇到自变量是属性变量或定序变量，如性别、职业、正常年份与非正常年份、改革前与改革后等属性变量，如文化程度等定序变量。建立回归模型时，常需要考虑这些变量对因变量的影响。

一、基本原理

在回归分析中，当自变量是属性变量时，可先进行数量化处理。处理的方法是引入虚拟变量(0－1型变量)，即当某一属性出现时，虚拟变量取值为1，不出现时，虚拟变量取值为0。虚拟变量又称0－1型变量、哑(伪)变量(Dummy Variable)。属性变量量化处理，可有下列两种情形。

(1)定性变量只取两类(k=2)时，如性别、改革前与改革后、大与小、高低等品质变量，这时可引入一个0－1型变量。例如，y为粮食产量，x为施肥量，D为气候变量，时间为i，可令:D=1表示正常年份，D=0表示受灾年份。粮食产量的回归模型为:y_i=α₀+α₁x_i+α₂D_i+ε_i。

(2)定序变量取值有多类时，可引入k－1个0－1型变量。例如，考虑商品销售的地区影响，因素分为东、南、西、北4种情形，若令x₁=1表示东方，x₁=0表示其他方位；x₂=1表示南方，x₂=0表示其他方位；同理可定义x₃表示西方，x₄表示北方。但4个自变量。x₁、x₂、x₃、x₄之和恒等于1，这样会构成多重共线性。解决的办法是只需去掉一个变量，一般去掉首个或最后一个变量，如去掉x₄，只保留x₁、x₂、x₃，当3个变量全为0时，表示x₄=1。

以上两种方法计算的结果并不一样，一般以使用第二种方法的案例比较多。

二、个案分析

［例11.5］为研究肥胖症，某医院收集了10名男子的体重(公斤，Y)、身高(厘米，X1)和年龄(岁，X2)资料如表11.3。用该资料可建立二元线性回归方程:=－102.038+0.957X1+0.269X2。

由于F=8.883＞F(2，7，0.05)=5.59，因此，可以认为体重与身高和年龄之间存在着显著性线性相关关系。回归平方和、总平方和分别为538、750，即X1、X2对Y的回归解释了64%的总平方和。

表11.3　　　　　　　　　　体重、身高和年龄的分布关系

有时因变量与自变量并不是呈现线性关系的，当样本较大时，可以引入哑变量(Dummy Variable)。例如可以将身高(X2)用伪变量X3、X4、X5表示如下:

于是，数据就转换为表11.4。

表11.4　　　　　　　　　　哑变量多元线性回归方程基本数据

续上表

若将X2、X3、X4、X5作为自变量，则可建立含有哑变量的多元线性回归方程:

利用上表中的资料，用SPSS软件就可得到如下多元线性回归方程:

［例11.6］某县粮食总产量与气候、播种面积数据如表11.5所示，在耕作技术和粮食品种相对稳定的条件下，气候和播种面积对粮食总产量都有影响，假定它们之间对粮食总产量有交互作用效应，可建立如下联合回归模型:y_i=β₀+β₁x_i+β₂D_i+ε_i。

在以上含定性自变量的回归分析中，若假定虚拟变量与数量型变量有交互作用效应，并且虚拟变量取值为1和取值为0的两个回归方程有相同的斜率和相同的误差项方差，则可建立联合回归模型，采用最小二乘法进行模型参数估计，并进行模型检验。用最小二乘法估计的二元线形联合回归模型如下:

y=－2.661+3.164D+5.612X

　(－0.512)(6.456)(5.367)

R=0.962，F=56.369，S_y=0.7749

模型各项检验具有显著性。估计结果表明气候与播种面积对粮食总产量都有显著的影响，其中正常年份的粮食总产量比受灾年份平均多3.164万吨，播种面积每增加1万公顷，粮食总产量可增加5.612万吨。如2006年播种面积为5.6万公顷，年份正常则粮食总产量可达到31.93万吨，若受灾则粮食总产量为28.77万吨。

表11.5　　　　　　　　　　某县粮食产量与气候、播种面积数据

若采用分段回归模型估计。在含定性自变量的回归分析中，虚拟变量取值为1与取值为0时，对因变量的影响往往截然不同，亦即虚拟变量取值为1和取值为0的两个回归方程有不相同的斜率和不同的误差项方差，采用分段回归估计模型的参数，对D=1和D=0分别建立回归方程，并进行模型检验，结果与前文并不一致，虽然两个回归方程的各项检验具有显著性。所以，虚拟变量是一种数据分类的技巧，它根据事物的性质或属性把一个样本分为不同的子类，因此，在含定性自变量的回归分析中，如果样本数量比较大，采用分段回归估计模型参数的个案比较多。