单泡光散射的精确解和几何光学近似

第五节　单泡光散射的精确解和几何光学近似

在声空化研究中，气泡半径R（t）的定量测量是十分重要的。通过R（t）的实验测量，不仅能对气泡运动的全过程有客观的了解，而且有助于造影剂辅助治疗和单泡声致发光的机制研究。但是，气泡运动的时间和空间参数的跨度都很大，即膨胀过程约0.5T（T为激励声周期），而压缩过程不足0.1T，最大半径为数十微米，最小半径却只有几百纳米。这使实验测定气泡半径相当困难，必须采用具有的动态测量特性的光散射方法来测量R（t）曲线。

光线在均匀介质中是按直线传播的，当光线通过不均匀介质（如含有微泡的液体）时部分光偏离原方向传播的现象称为光散射，偏离原方向的光称散射光，散射光一般为偏振光（线偏振光或部分偏振光）。光散射是由吸收、衍射、透射和折射、反射等物理过程共同作用的，任何一个单散射物体（指它的二次散射可忽略不计）被光照射后产生的散射光形态可以描述这个物体独特的物理特性，如粒径、折射率和光吸收等。

Rayleigh首先研究了线度比波长要小的微粒所引起的散射，并于1871年提出了Rayleigh散射定律：某一观察方向上的散射光强度与波长λ的四次方成反比，一定波长的散射光强与（1+cosθ）成正比，θ为散射光与入射光间的夹角，称散射角。凡遵守上述规律的散射称为瑞利散射（Rayleigh scattering，RS）；而当粒径参数时，在前向散射的小角度上可用夫琅和费衍射（Fraunhofer diffraction，FD）理论近似Mie散射理论来测量粒径，这时的散射可称为衍射散射。对线度与波长近似的微粒，散射规律不再遵守RS定律，散射光强与微粒大小和形状有复杂的关系。Gustav Mie和Peter J W Debye分别于1908年和1909年以均质球形粒子为模型详细计算了其对电磁波的散射。Mie散射理论表明，只有当球形粒子的粒径参数时，RS定律才是正确的，粒子半径R较大时，散射光强与波长的关系就不十分明显了。

RS和FD计算都较为简单，所以一般情况下对固定粒子的光散射计算都近似为这两种情况。但在笔者的单泡空化实验中，微泡悬浮在折射率为1.33的水中，使用的He-Ne激光在水中的波长为476nm，微泡的半径变化在200nm至100μm的范围内变化，粒径参数介于RS和FD之间，所以这两种近似都不可取。应使用适用于匀质粒子动态光散射的Mie理论、适用于多层粒子动态光散射的Aden-Kerker理论，以及它们的几何光学近似方法。1908年，德国人Gustav Mie在一定的边界条件下，对颗粒内部和外部区域求解电磁波的麦克斯韦方程，解出了均匀介质中各向同性的单个介质球体在平面单色光照射下的严格数学解，得出了适用于任意直径、成分和折射率的均匀粒子的散射规律，即著名的米氏理论（Mie’s theory）。Mie计算非常复杂，需借助计算机进行数值运算。在计算过程中，折射率对的影响很大，但是以复数的形式表达的实部为光的折射，虚部为光的吸收，很难进行测试。如果粒子尺寸过大，还可能引起计算时间过长和散射系数不收敛。此外，计算的核心是求散射系数an、bn及散射角函数，计算an、bn的关键是求和，它们都是复自变量球Bessel函数的函数，特别是两个Bessel函数的比值，易出现数值不稳定情况，是计算中的难点。因此，对Mie理论直接编程可能导致严重的计算错误。1969年Dave最先发表了完整的算法，他针对具有强收敛性的特点提出一种Dave倒推算法，这种算法稳定且运算速度较快，但所占内存较大，并且对于粒径很大或吸收率高的粒子，循环处理中容易出现数值溢出。之后Lentz提出连分式算法解决这一问题，拓宽了Mie算法的适用范围，但是由于算式复杂，运算速度很慢。1980年，Wiscombe在综合Dave倒推算法和Lentz连分式算法的基础上，提出了矢量结构运算，后被称为Lentz-Wiscombe算法。1983年，Bohren总结了以上各种方法，但他的编程运算基本沿袭了Dave的算法。同济大学声学院运用Mie理论来测量单泡稳态声空化的气泡运动特性。根据Mie理论的数值计算结果，取激光波长λ=633nm。不同半径的微泡的散射光强相对散射角的变化总体趋势类似，但是半径越小散射光强相对散射角越光滑，当微泡半径较大时，散射光强在小角度（前向散射，0°～60°）和大角度（背向散射，100°～180°）有明显的振荡，而在60°～80°比较光滑，一般Mie散射测量在80°附近。

在不同散射角下，散射光强与微泡半径的关系曲线：在80°散射角，光散射强度vs.微泡半径的曲线很光滑，近似成平方正比关系；而40°散射角的散射光强以80°散射角的散射光强为中心成周期振荡，这实际上是在泡壁发生的全反射光和折射入泡内再射出的光之间的干涉叠加在散射光上，这可用来绝对测量微泡在膨胀阶段半径的变化。

通常所使用的研究造影剂一般为清蛋白、半乳糖、磷酸脂、软脂酸、聚合体等壳层包裹的空气、二氧化碳、氮气、氧气、氟碳气体或者氟硫气体等高分子惰性气体的微泡。壳层厚度为10～500nm，微泡半径为2～10μm。所以有必要讨论有壳球体的光散射理论——Aden-Kerker理论。Aden-Kerker理论比Mie理论更加复杂，除折射率和粒子尺寸的影响外，散射系数an及bn。

都是复自变量球Bessel函数的函数，特别是和分母也含有Bessel函数，易出现数值不稳定情况，是计算中的难点。现有的数值计算方法与Mie理论的数值计算方法类似。当微泡壳层很薄，Aden-Kerker理论可以近似为Mie理论；而当壳层很厚时，壳层逐渐影响了散射光强对散射角的函数关系。壳层材料为清蛋白，折射率（η）=1.50，散射光波长λ=633nm，远大于微泡壳层厚度ε。同样半径的微泡有无壳层对光散射的改变不大；薄壳微泡的壳层厚度对光散射影响不大，只有当壳层厚度ε>30nm时，才会引起散射光强较为明显的变化。

严格的光散射理论结合Rayleigh-Plesset方程可以计算出声空化中微泡径向运动引起的散射光强I（t）曲线，由之前讨论得知，80°散射角附近的散射光强与微泡的半径成平方正比关系，这可以用来与实验I（t）曲线拟合来求出R（t）曲线。我们在小散射角度（30°～60°）测得的光散射信号总是叠加有一些小峰，它们是确定性的信号。这些峰是由微泡半径变化引起的散射光的干涉结果，可以用峰与微泡半径的关系来绝对测量微泡的半径。

光散射的几何光学近似理论是将散射光看作由反射光、折射光和衍射光组成，利用折射、反射和衍射定律和光线的概念探讨光在各种媒质中传播的路径，得出波动光散射理论在某些条件下的近似或极限。我们将从光散射的几何光学近似出发讨论该实验现象。已有多位研究者研究了空气中匀质以及有壳气泡的光散射场的近似方法。Ungut和Sruvastava比较了几何光学近似方法与Mie理论的异同。Schiff等人采用高能近似法（high-energy approximation method，HEAM）来计算当微泡内核和壳层的折射率接近1、前向散射角小于10°、粒径参数大于50的层状粒子散射光强。然而Chen等发现高能近似法对于折射率大于2的情况也有效，只是当粒子尺寸增大时，散射角的有效范围会缩小。Belafhal等人研究了Wentzel-Kramers-Brillouin情况中吸收性和非吸收性的类球体的光散射，提出了新的数学描述模型。Glantschnig和Chen通过几何光学近似法（geometrical-optics approximation，GOA）的近似推导出计算小水滴在前向角度上散射光强的公式。Xu和Cai结合夫琅和费衍射理论与几何光学，在前向散射（0°～60°）上综合反射光、折射光和衍射光，提出了较完整的几何近似方法以加速吸收性均质粒子和弱吸收性带壳粒子的散射光强的计算，对带壳粒子的内核、壳层和泡外媒质的折射率大小次序不同做了讨论。

采用几何光学近似方法可以给出小角度前向散射光强相对散射角、微泡半径和折射率的简单代数关系式，从而可以在散射实验中对于固定散射角和材料折射率实时反演微泡的半径变化。Hodkinson和Greenleaves已证明，当粒径参数x>15°、散射角θ>10°时，衍射变得不重要。这时，气泡的散射光可近似认为主要是由反射光及折射光组成，当反射光和折射光在某角度上相干时，就会在散射光场上叠加反射光与折射光的干涉条纹。如检测光为He-Ne激光（真空中波长为632.8nm），它在水中波长为476nm，在气泡半径约1.2μm时就可满足x>15的条件，因此对于平衡半径为2～10μm的稳态声空化微泡的膨胀相（2～100μm）而言，忽略衍射光是近似可行的。

忽略了微泡以及微泡壳层对光的吸收后，即可认为微泡和微泡壳层对光透明。如果粒子对光的吸收系数大于0.01，几何散射光学近似方法就只对散射角小于10°的前向散射有效。另外，假设入射光是平面偏振光，计算反射率和透射率时分别考虑与入射面垂直和平行的反射波和透射波。推导了严格描述无壳气泡光散射的Mie理论和严格描述带壳气泡光散射的Aden-Kerker理论，数值计算结果表明：在80°散射角附近，散射光强与半径近似成平方正比关系，可用于反演声空化造影剂微泡的动态R（t）曲线；在小散射角度（20°～60°），散射光强随半径的变化呈现周期振荡，可用来绝对定标声空化造影剂微泡的半径变化。但由于这两种理论的复杂性，无法在实验中实时反演微泡半径的变化量。

在Mie理论和Aden-Kerker理论的基础上，推导了描述无壳气泡和带壳气泡散射的几何光学近似理论，分别计算了低阶各条光线的入射角和散射角的关系，并计算了各条光线的垂直偏振光和平行偏振光的光强透射率，最后计算了光强透射率较高的光线之间的光程差。结果表明：①无壳气泡或有壳气泡的小角度散射光都可近似为全反射光和直接透射光（折射入泡内后未经反射直接折射出去的光）的干涉。②散射角一定时，无壳气泡或有壳气泡的小角度散射光上叠加的干涉条纹的个数与微泡半径成线性正比关系。③在特定散射角范围内，无论对于无壳气泡，单位条纹半径的变化量K和散射角θ成指数关系，对于有壳气泡，单位条纹半径的变化量K和散射角θ成负指数关系。这样已知微泡半径和折射率，在特定的散射角范围内，即可计算任意散射角对应的K值，从而可在实验中实时反演微泡的半径。

微泡膨胀致血管切向拉伸应力：清蛋白壳的全氟丙烷微泡外径一般为2～4μm，清蛋白壳层厚度约15nm。由于微泡的反射光与透射光之间的干涉效应，形成了微泡散射光强的周期起伏，而这些散射光干涉形成的尖峰位置，与微泡的即时半径R是一一对应的。这尖峰组成了一组空间标尺，使我们可以用光波波长来度量微泡的半径R。当激励声压108kPa时，由清蛋白壳的全氟丙烷气泡在散射角为34°、36°和38°的光散射信号可以确定微泡外径R=（22.5±3.9）μm，也证实了微泡的最大直径会远大于微血管的直径。

大量理论和实验都证明在声压约105Pa，频率约20kHz的超声作用下，初始半径约4μm的造影剂微泡可以迅速膨胀，它的直径可达到几十微米，由于微血管半径（约5μm）远小于微泡，所以在微血管内的微泡将使微血管经受多次的膨胀和急剧塌缩的非线性运动，在管壁内产生大于血管损伤阈值的切向拉伸应力，造成微血管损伤，产生血栓和微血管栓塞。由于肿瘤组织中的微血管是一种快速生长的病态微血管，它的管壁更薄，因此更容易损伤和大量栓塞，微泡空化可借此使肿瘤组织生长受抑制。有实验研究发现，单独使用20kHz超声照射，约60s后微血管出现损伤；而经小鼠尾静脉注入微泡后，超声照射约5s就出现微血管损伤。这表明由于微泡在声波作用下，使管径远小于微泡R_max的微血管经受多次的膨胀和急剧塌缩的非线性运动，在管壁内产生大于血管损伤阈值的切向拉伸应力，使微血管损伤，产生血栓和微血管栓塞。如果肿瘤组织的微血管大量栓塞，将会抑制肿瘤组织生长。

（程　茜）