物理学的近似和数学的精确

当我们着手构造物理学理论时，我们首先必须在交付观察的那些性质中选择我们将看做是原始质的性质，并用代数的或几何的符号表示它们。

在完成我们在前两章致力于研究的这第一步操作之后，我们必须实现第二步：在描述原始性质的代数符号或几何符号之间，我们必须建立关系；这些关系将作为理论借以展开的演绎的原理。

因此，现在分析这第二步操作即假设的陈述，似乎是很自然的。但是，在画出支撑房子的基础的设计图之前，在选择用什么材料建筑它们之前，了解一下结构将是什么，以及它将把什么应力施加在它的地基之上，则是必不可少的。因而，只有在我们的研究结束时，我们才能够恰当地陈述，把什么条件强加于假设的选择。

接着，我们将立即处理构造任何理论的第三步操作即数学展开。

数学演绎是中间过程；它的目标是告诉我们，在理论的基本假设的实力的基础上，如此这般的境况的汇集将承担如此这般的推论；倘若如此这般的事实被产生，那么另外的事实将被产生。例如，它将告诉我们，在热力学假设的实力的基础上，当我们使一块冰处于某一压力，那么在温度达到某一数目时这块冰将融化。

我们是在具体的形式中观察境况的，并把这样的境况叫做事实，数学演绎直接把这些事实引入它的运算中吗？它从运算中引出我们称之为推论——我们是在具体的形式中弄清它们的——的事实吗？肯定没有。用来压缩的器械、一块冰和温度计，都是物理学家在实验室中操纵的东西；它们不是属于代数运算领域内的要素。因此，为了使数学家把具体的实验境况引进他的公式，就必须以测量为中介把这些境况翻译为数。例如，必须用某一大气压数取代词语“某一压力”，他还将在他的方程中用字母P替换大气压。类似地，数学家在他的运算结束时将得到的东西也是某个数。为了使这个数对应于具体的和可观察的事实，将必须回过头来求助于测量方法；例如，为了使在代数方程中用字母T记录的数值对应于某一温度计的读数，就必须如此做。

因而，在其起点和终点，除非翻译，否则物理学理论的数学展开便无法与可观察的事实连成一个整体。为了把实验的境况引入运算，我们必须完成用数的语言代替具体观察的语言的译文；为了证实理论就那个实验预言的结果，翻译的运用必须把数值转变为用实验语言阐明的读数。正如我们已经指出的，无论在两个方向的哪一个，测量方法都是使这两个翻译的表达成为可能的词典。

但是，翻译是暗藏危险的：翻译即背叛。当一种版本是另一种版本的译本时，在两个文本之间从来也没有完全的等价。在物理学家观察它们的具体事实和在理论家的运算中用来描述这些事实的数字符号之间，存在极大的差异。今后，我们将有机会分析和注意这种差异的主要特征。就在现在，只有这些特征之一将引起我们的关注。

首先，我们将考虑我们所谓的理论事实，也就是说，在理论家的推理和运算中用来代替具体事实的数学资料的集合。例如，让我们举这个事实：温度以某种方式分布在某个物体上。

在这样的理论事实中，不存在模糊的或不确定的东西。一切都以精确的方式被决定了：所研究的物体在几何学上被定义；它的边是无厚度的真正的线，它的点是无维134度的真正的点；决定它的形状的不同长度和角度是严格已知的；对于这个物体的每一点都存在一个对应的温度，这个温度对于每一点而言是一个不与任何其他数相混的数。

让我们把用这个理论事实翻译的实际事实与它对置起来。在这里，我们不再看到我们刚刚弄清楚的任何精确的东西。物体不再是几何的固体；它是具体的块料。它的边缘无论多么尖锐，也不是两个面的几何交线；相反地，这些边缘是或大或小滚圆的和凹进的棱脊。它的点是或多或少被磨损的和被锉钝的。温度计不再给我们每一点的温度，而是一种相对于某一体积的平均温度，而该体积的范围无法过分严格地固定。我们不能断言，这个温度是某个数而排除任何其他数；例如，我们不能宣称，这个温度严格地等于十摄氏度；我们只能够断定，这个温度和十摄氏度之间的差不超过一度的某个分数，这依赖于我们的测温方法的精确度。

例如，绘图的轮廓是由极为精确的线固定的，而对象的轮廓则是模糊的、有毛边的和有阴影的。在没有用词“近似地”或“接近地”减弱的情况下，便不可能描绘实际事实，尽管无论什么都被每一个命题非常充分地决定；另一方面，所有构成理论事实的要素都以严格的精密性被定义。

我们由此得出这个结果：无限不同的理论事实可以看做是同一实际事实的译文。

例如，说在理论事实的一个命题中，某条线具有1cm、或0.999cm、或0.993cm、或1.002cm、或1.003cm的长度，这就是有系统地陈述对数学家来说基本上不同的命题；但是，如果我们的测量手段不容许我们估价小于0.001cm的长度，那么我们并未改变被理论事实翻译的实际事实的任何东西。说一个物体的温度是十摄氏度、或九点九九摄氏度、或十点零一，就是系统地陈述三个不相容的理论事实，但是当我们的温度计只精确到五分之一度时，这三个不相容的事实却对应于同一实际事实。

因此，实际事实并非被单一的理论事实翻译，而是被一种类型的包含无限不同的理论事实的一大堆东西翻译。为构成这些事实之一而汇集在一起的每一个数学要素都可能随事实的不同而变化；但是，它易受其影响的变化不能超过某一限度，也就是这个要素的测量在其内被弄模糊的误差的限度。测量方法越完善，近似也越接近，限度也越狭窄，但是它们从来也没有变得如此狭窄，以至它们成为零。