《平均变化率》教学实录与反思／秦

秦　琳

这节课是导数的起始课，教材改变了以往从数切入（即数列极限→函数极限→函数的导数）的方式，而是从导数的几何意义与现实意义切入（函数的平均变化率→曲线在一点处的切线→瞬时速度、瞬时加速度→函数的导数），这样的处理适合学生的认知特点，而函数平均变化率教学的成败则直接决定导数概念的学习与理解。下面提供一个我的教学案例，供大家参考。

嫦娥二号的成功发射，实现了我们千年奔月的梦想。嫦娥二号在环月飞行时，需要在近月点实现三次变轨，也就是我们数学中研究的最值问题。

中国选手张文秀荣获亚运会链球冠军，链球飞出的方向，就涉及数学的切线问题。（多媒体展示嫦娥二号变轨和张文秀参加比赛时的视频）

这些问题都用到了牛顿和莱布尼兹创立的导数与微积分，现在我们将沿着科学家的思维轨迹开始探索的第一步——变化率问题。

反思：每一章内容的前面都有一个短小的引言，均是对本章内容的概括和介绍，然而在实际教学中却没有得到足够的重视。引言是对该章内容的集中概括，是该章内容的框架，因此引言是具有重要作用的，是绝对不能忽略的。本节课我把社会上的热点信息和引言有效的结合在一起，既概括了这章的内容和意义，又激发了学生的学习兴趣，因此这种处理方式还是不错的。

问题1：GDP的变化率

教师：首先来了解一则令人振奋的消息。（放录音）

新京报8月17日报道：日本内阁府16日公布的初步数据显示，日本二季度国内生产总值（GDP）同比仅增长0.4%，以美元计算的名义GDP约为1.2883万亿美元，低于中国同期的1.3369万亿美元。日本称，从二季度数据来看，中国的GDP已经超越日本，首次排名世界第二。记者称中国的人均GDP从2006年到2009年实现了猛增。多媒体给出表格：

教师提问：如何从数学角度刻画人均GDP的“猛增”？（学生讨论）

学生：从表格中可以看出从2000年到2006年6年间人均GDP增加了1150美元，而从2006年到2009年3年间人均GDP增加了1490美元，后3年每年人均GDP增加的速度比前6年快。

教师：能不能把你的语言叙述转化成数学表达式？

学生：

教师：式子表达的含义是什么？

学生：平均每年增加的人均GDP，从数据可以看出后3年平均每年增加496.67美元，远远大于前6年的增长速度，所以是“猛增”。

教师：说得很好，此时比值反映的是人均GDP在某段时间内变化的快慢程度。

问题2：上证指数的走势图

教师：国富则民强，人民有钱了，很多人就投入到了股市当中，但是最近股民的脸色和大盘相映成绿。请看这幅图，这是某天大盘走势图。当天晚上的财经新闻在形容13:30到14:00之间的股市时用了一个词“暴跌”。（多媒体展示股市图）

那么如何从数学角度来刻画股指的“暴跌”呢？（学生讨论）

学生：用13:20的上证指数减去15:00时的上证指数比上时间差，再用14:00的上证指数减去14:20的上证指数比上时间差，用这两个比值进行比较可以看出在14:00到14:20这段时间内股指下跌的速度快。

教师：能不能把你的语言叙述转化成数学表达式？

学生：

教师：比值是个正数，如何体现下跌呢？

学生经过短暂思考，式子应该写成：

教师：比试要注意上下的对应性，你能说说比值的含义么？

学生：第一个式子表示在13:20到15:00之间股指平均每小时下跌80.4，第二个式子表示在14:00到14:20这段时间里，股指平均每小时下跌288点。

教师：很好，是比值越大下跌的越快么？

学生一起回答：不是，是看比值绝对值的大小。

教师总结：此时比值反映了在某一时段内股指变化的快慢程度。

问题3：高台跳水

教师：对于股指暴跌业内有个形容词叫跳水，那下面我们来看一下真正的跳水。（播放跳水视频）

多媒体给出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）= -5t2+6t+10。如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？

思考计算：0≤t ≤ 0.5和1≤t≤2的平均速度。（学生思考，请一位学生上黑板板演，并将比式写在前面比式的下方）

学生板演：在0≤t≤0.5这段时间里，；

在1≤t≤2这段时间里

教师：你能说说比式的含义么？

学生：比式表示运动员在某段时间内位移随时间变化的快慢。

教师：说得很准确，从上式可知比值可正可负，而变化的速度快慢有比值的绝对值决定。

教师提问：回顾上述三个例子，我们能否用一个通式来表示函数y=f（x）从x1到x2的变化情况？

学生：

教师：很好，我们把就叫做函数y=f（x）从x1到x2的平均变化率，这个分式的分子是函数值的增量，我们用∆y来表示，分母是自变量的增量，我们用∆x来表示，所以这个式子也可以表示成，对于这个式子在应用时需要注意些什么？

学生1：虽然∆x，∆y叫做“增量”，但是通过上面三个例子我们知道∆y，∆x都是可正可负的，所以式子也可以写成。

学生2：∆y可以是0，但是∆x不能是0。

教师：两位同学说的都很好，这个式子在应用时，我们要注意分子与分母的对应性。

思考：观察函数f（x）的图像，平均变化率：表示什么？

学生：直线AB的斜率。

教师：这就是平均变化率的几何意义。直线斜率的绝对值越大，直线越陡峭，变化越快。我们通过研究直线AB的斜率来刻画曲线AB的变化情况，这就体现了我们数学当中的以直代曲的数学方法和属性结合的数学思想。

活动一：（多媒体展示）

国美和苏宁经营同一种电器，国美用6个月时间挣到20万元，苏宁用1个月时间挣到4万元．你能评价国美和苏宁两家公司的经营成果吗？为什么？

学生1：国美效益好，国美挣到了20万元，苏宁只挣到了4万元。

学生2：苏宁电器经营效果好，因为国美平均每个月挣到3.33万元，而苏宁每个月挣到4万元。

教师：大家支持谁的看法？

学生：学生2的看法。

教师总结：提高单位时间内的收益，才是最有意义的收益。学习更要注意效率。

活动二：

教师：请同学们举一些平均变化率的例子。

学生1：汽车的速度

学生2：蔬菜的价格变化

学生3：房价的变化

教师引导学生对每一个例子都套用平均变化率的公式。教师再举一个例子：亚运会刘翔110米栏夺冠，成绩是13秒09，请同学们套用公式计算刘翔的平均速度。

学生：约等于8.4米每秒。

教师：正确，这个成绩与刘翔雅典奥运会夺冠的成绩8.52米每秒还是有一定的差距，说明刘翔还没有恢复到最佳状态，我们一起祝福刘翔！

反思：我设计的这三个情景，既与生活密切相关，又与教材紧密联系，三个情境分别用表格、图像、解析式三种形式进行了呈现，这三种形式正好分别是函数的三种表现形式，从而为下面引出一般函数的平均变化率做了很好的铺垫。可以说我对这三个例子的选取可谓煞费苦心。但是美中不足的是，在处理过程中，都没有涉及变化率几何意义的表述，我应该有意识的在这方面做些引导。

例1．已知函数f（x）=2x+1计算在区间[-3, -1]、[x0, x0 + ∆x]上的平均变化率。

请两位学生板演，两位学生都是通过套公式，计算出平均变化率都是2。

教师：两位同学的结果都是2，是巧合么？如果换一个区间结果还会是2么？

学生：无论什么区间都是2，因为这个函数是一次函数，他的图像是一条直线，根据平均变化率的几何意义可知，在任何区间内它的平均变化率都是斜率2。

教师：一次函数y=kx+b（k≠0）在区间[m, n]上的平均变化率有什么特点？

学生：一次函数y=kx+b（k≠0）在区间[m, n]上的平均变化率为定值k。

教师：我们研究了一次函数平均变化率的特点，接下来我们再研究一下二次函数，现在我们返回头再去继续研究情境3中，计算运动员在这段时间里的平均速度。

学生：(m/s)　运动员在这段时间内的平均速度是0。

教师：请思考以下两个问题

（1）运动员在这段时间内是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

经过小组讨论，

学生：显然不是静止的，由于在这段时间内速度方向有向上的时候也有向下的时候，所以平均速度为0。因此我们认为用平均速度描述运动员的运动状态不是很完善。

教师：非常好，用平均速度来刻画运动员的运动状态是有局限性的。如果我们想要研究他在某一时刻的运动状态，那么就需要我们进一步研究它的瞬时速度，这就是下节课我们要研究的问题。

反思：现代教学论强调以学生的发展为本，关注学生智力与非智力因素的协同作用。教学中有10多位学生与我对话交流。交流的方式有的是一问一答，有的则是书面表达，有的是我向学生质疑，有的则是学生主动回应我的提问。无论是质疑还是回答都是平等对话，师生的思想在对话、交流、反馈中自然交流，展示了我们师生间的和谐关系。

下面请同学们静静地想一想这节课学的内容，然后和大家分享一下你的收获！（给两分钟的时间）

学生1：平均变化率的概念和几何意义

学生2：以直代曲的数学思想，数形结合的数学方法

学生3：平均变化率的实际应用

学生4：很有兴趣去研究如何求瞬时速度

教师：大家总结得很好，刚才我们计算了刘翔的平均速度，下面我们来计算一下姚明的身高变化速度（多媒体给出练习一）

学生自主完成。

布置作业：

1．《导与练》第2页“做一做”1-4题；

2．课本第10页：习题1.1A组第1题；

3．我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。从数学角度，如何描述这种现象呢？

反思：课后小结形式比较传统，可以考虑其他形式。

（1）教学理念

教师不惜花时间给学生建构函数平均变化率概念，改变了过去一个概念三项注意的做法，而是将概念的核心内涵用问题呈现，学生在问题解决过程中学习新概念。教师关注学生学习过程中的体验，正确对待学生的错误，展示了教师先进的教学理念。

（2）教学方法

教学中，教师应用“情境—问题—研究”模式教学，展示了“数学教学是数学活动的教学”。教师是活动的组织者、指导者、协作这和调控者，学生是数学建构活动的真正主人。

教师既注重知识教学，又关注思想方法教学。教师创设情境提出问题，学生围绕问题观察、思考、分析、综合、概括，应用问题解决达成对新知识的理解。教师给学生创设多种素材，学生建构的概念原型丰富，概念联结数量多，质量好，有利于后续学习联想、迁移。

（3）不足之处

1．多媒体应用

课件设计，不宜太过花哨，在吸引学生眼球的同时，也会分散学生的注意力，多媒体仅仅是教学的辅助手段。此外教学的各个环节没有必要在课件中显示。

2．教学节奏偏快，感觉一程接一程，没有喘息机会。问题虽在师生对话中解决，这种解决有时只能说明对话者解决了，不排除有部分学生解决不了。学生思维有差异，要给学生消化、感悟的时间。问题的设计不必求全，问题的呈现可以多样化。

总之，教学中教师的言语不多，师生互动也较好，师生都在轻松愉快的氛围中交流，课后的反馈检测效果不错。这是教师优化教学设计的结果，更是学生主动参与建构的结果，是变讲堂为学堂，变教师教数学为学生学数学的建构式课堂的较好范例。

以上就是我这堂课的教学实录与反思以及教研员的点评。抛砖引玉，希望能为大家再上这堂课时提供一些参考，也希望大家批评指正。