学生数学心智水平的特征解读

二、学生数学心智水平的特征解读

下面,采用教学录像分类编码数据的差异比较,借助S.E.B.Pirie和T.E.Kieren的数学理解成长模型,以及范希尔夫妇的几何思维水平理论,对不同教学水平的数学教师课堂中学生参与数学结论形成过程所投入心智水平的高低进行比较分析。

(一)分类编码数据的差异比较

依据表4-13“学生参与数学结论形成心智水平的分类编码标准”,对职初教师J、有经验教师Q和骨干教师S“垂直与互相垂直”教学中所有对话片段(分别为39个、50个和27个)进行编码统计,结果数据见图6-4。

说明:T表示完全由教师给出数学结论;Ts表示以教师为主师生共同建构数学结论;St表示以学生为主师生共同建构数学结论;S表示完全由学生建构数学结论。

图6-4　三位教师课堂中学生参与数学结论形成的心智水平比较

从图中可见,职初教师J在所有39个对话片段中,“完全由教师给出数学结论(T)”约占一半(49%),“由教师为主师生共同参与建构数学结论(Ts)”占31%。也就是说,在职初教师课堂中,绝大部分(约80%)数学问题的结论是以教师作为主体呈现或建构的。有经验教师Q在所有50个对话片段中,“以学生为主师生共同参与建构数学结论(St)”的比例略超过半数(52%),换句话说,在有经验教师课堂中,以学生作为主体和以教师作为主体来建构数学结论的比例大致相当。骨干教师S在所有27个对话片段中,数学问题的结论“以学生为主体师生共同建构”的比例高达56%,“完全以学生为主体建构(S)”的比例也达28%,即绝大部分(约84%)数学问题的结构是以学生作为主体来呈现和建构的。

以上分析清晰地呈现出这样一个变化规律:随着数学教师教学水平的逐步提高,“完全由教师给出数学结论”和“以教师为主师生共同建构数学结论”两者的比重逐渐递减,而“以学生为主师生共同建构数学结论”的比重逐渐递增,亦即学生作为主体参与数学结论形成的心智水平也逐步增高。

由此,职初教师、有经验教师和骨干教师在数学课堂对话中,让学生参与数学结论形成的心智水平存在着明显差异。职初教师以教师为主体呈现与建构数学结论,学生参与数学结论形成的心智水平比较低;骨干教师以学生为主体呈现与建构数学结论,学生参与数学结论形成的心智水平比较高;有经验教师则正好介于两者之间,以教师为主体和以学生为主体建构数学结论的比例基本持平,学生参与数学结论形成的心智水平处于中等。

(二)实例分析

下面,运用S.E.B.Pirie等人的数学理解成长模型和范希尔夫妇的几何思维水平理论,结合实例来解读职初教师、有经验教师和骨干教师这三类不同教学水平教师课堂中学生参与数学问题结论形成的心智水平高低。

如本章第二节实例6-2-1中,职初教师先从“基于直角”这个初始认知,通过图像表征方式制造表象让学生在头脑中存有“垂直”的表象,接着要求学生按照课本回答“什么是互相垂直”,再运用“互相垂直”的定义特性来判断具体题目。从S.E.B.Pirie等人的数学理解成长模型图来看,这个对话片段中学生的数学理解水平处于第四层水平“关注性质”即“可用某些性质来检验表象”。从范希尔几何思维水平理论来分析,该实例中学生能对照垂直定义简单地描述图形的组成要素“直线a”和“直线b”和判断图形的特征“互相垂直”,然而这种描述和判断仅凭直观就能作出正确的回答,问题情境是相对封闭的,不需要学生投入多少思维水平。所以该实例中的学生几何思维水平充其量仅处于“分析”水平(水平1)。如上所述,不论是从数学理解成长模型还是从几何思维水平理论来分析,都表明该实例中的学生投入数学问题结论形成的理解和建构程度很低,基本处于初级思维水平。由此也证实了上述“职初教师以教师为主体呈现与建构数学结论,学生参与数学结论形成的心智水平较低”这一结论。

如本章第二节实例6-2-2中,有经验教师引导学生在头脑中建立起图形表象和表征,鼓励他们从中理解、抽象和用自己的语言来描述“垂直”所具备的两个必要条件“相交”“成直角”,让他们大胆提出猜测和概括建立“垂直”概念的共同特质。事实上,学生也基本能如教师所愿完成这些学习任务。从S.E.B.Pirie等人的数学理解成长模型来说,该实例对话状态中的学生数学理解水平达到了第五层水平,即“形式化”水平。从范希尔几何思维水平理论来分析,该实例中的学生在教师逐步引导下,不仅能分解出“垂直”的组成要素是“两条直线”,而且还知道这两条直线之间存在着“相交成90度角”的属性关系。显然,学生的几何思维能力完全超越了前一层次,即“分析”水平,而主要处于“非形式的演绎”水平(水平2)。综上所述,不论是从数学理解成长模型还是几何思维水平理论来分析,都表明该实例中的有经验教师比较好地关注到学生,学生投入数学问题结论形成的理解和建构程度比较高,基本处于中等思维水平。由此证实了上述“有经验教师重视让学生参与数学问题结论的形成和建构,学生参与数学结论形成过程基本处于中等心智水平”这一结论。

如本章第二节实例6-2-3中,骨干教师从已学知识“直角”“直线”等概念出发,引导学生尝试着作出演绎和概括,实现对核心概念“互相垂直”所特有的“两条直线相交成直角”这一本质属性的理解。然而课堂教学到此远没有结束,教师又鼓励有疑惑的学生继续提出问题,并激励他们在与同学、与教师进行开放性的数学交流和辩论中,建构和生成了“在同一平面上”这个数学结论,将课堂教学推至高潮。由此,整个对话过程不仅仅是一种教学形式,更是推进学生数学思维深化的过程,立足于学生已有经验和认知起点,跳跃着数学思维的火花,洋溢着动态生成的精彩,充盈着教学对话的智慧。“什么是互相垂直”这个核心概念的结论不是由教师直接告诉给学生的,也不是让学生从课本中找到的,而是让学生基于自己的理解尝试着用自己的数学话语加以描述,在极其精彩的生生、师生对话互动中领悟和建构出来的。依据S.E.B.Pirie等人的数学理解成长模型来说,该实例中的学生数学理解水平达到了第八层水平“发现创造”,亦即学生深刻理解了“互相垂直”这一概念所含的“直线”“相交”“直角”等关键词,并能自由地想象引发新问题和生成“同一平面上”这一新结论,从而使“互相垂直”概念的界定更趋合理。从范希尔几何思维水平理论来分析,该实例中的学生不仅能理解“垂直”图形中的内在属性及其关系,还能尝试用演绎方式来证实和建构“互相垂直”的必要条件,逻辑性地推理生成全新的“互相垂直”定义,学生的几何思维达到了“形式的演绎”水平(水平3)。如上所述,不论是从数学理解成长模型还是几何思维水平理论来分析,都表明该实例中的骨干教师能很好地关注到学生,学生主动参与数学知识理解和建构的程度很高,基本处于高级思维水平。由此证实了上述“骨干教师以学生为主体建构数学结论,学生参与数学结论形成的心智水平比较高”这一结论。