在19世纪中叶之前，对事实材料进行抽象是科学实践的重要活动之一。然而，随着科学认识实践活动的发展，19世纪中叶，科学思想方法上发生了一次重大的转折：首先是以完备性为原则发展数学理论，然后再寻求数学理论的物理学解释，最后通过对推论的确证来检验理论。麦克斯韦的电磁理论、爱因斯坦的相对论理论、量子力学理论等，都是很好的例证。换句话来说就是：自19世纪中叶以后，数学成为了现代科学的生长点，现代科学发展越来越确证了马克思基于实践基础之上的逻辑推理是知识生成的重要途径这一基本思想。对此，我们分析如下。
1.数学化：现代科学理论进一步发展的客观要求
我们知道，在经典科学时期，科学理论实质上是对科学观察和科学实验结果的直接抽象，这一时期，科学认识过程呈现出明显的直观性，科学理论所表达的经验内容可以直接用感官来观察或者用极为简单的仪器与技术给予测量；在科学理论建构时，科学家十分重视科学概念、科学命题同客观事实的直接对应关系，对某一现象或过程的认识归根结底意味着建立符合它们的理论模型。这时的数学，虽然对科学的发展具有重要作用，但是从本质上来看，它的作用只是描述性的，主要用于把科学事实或概念翻译成数学语言，或者是把经验抽象归纳成某种函数关系的定律，并作为进一步验证，以使科学观察和科学实验的表述具有精密科学所要求的严谨、简洁和坚定的确定性。这方面最典型的例子是傅立叶关于热传导理论的成功。(78)众所周知，傅立叶因关于热的传导理论而著名。但是，傅立叶关于热传导的第一篇论文《热的传导》于1807年提交给法国科学院时，因缺乏严谨性而被评审委员会拒绝。1811年他提交了修改稿《热在固体中的运动理论》，这篇论文被授奖，但又一次以其缺乏严谨性为由而不予在科学院的学报上发表。傅立叶继续研究，1822年他在《热的分析理论》中，终于因建立了均匀和各向同性的、固体内的热分布所遵从的偏微分方程而获成功，他的研究成果被称为“一首数学的诗”！
在现代科学时期，情况就大不相同了。现代科学已经深入物质世界中不能为感性直观所把握的宇观领域和微观领域。认识过程中直观性的消除，使得现代科学认识再也不能用直观模型或日常经验性语言来进行描述，必须引入形式语言——数学符号语言，认识主体也只能借助于相应的数学模型，从“思维的具体”中去把握认识客体。例如，在量子力学中，成对的物理量——位移和动量，永远相互影响，不可能同时测得它们的精确值，为了说明微观世界的本质，海森堡引入矩阵、正则变换、算符等数学语言，通过建立算符与矩阵的关系，提出了一套系统的、数学化的矩阵力学理论：海森堡对易关系式、物质系统的光谱关系式、海森堡的矩阵力学方程、测不准关系式等。试想，如果离开数学工具，要理解和建构关于微观粒子的理论，表达微观粒子的物理特性，是根本不可能的。这样的例子不胜枚举，像薛定谔的波动力学理论以及相对论中关于引力场中空间—时间几何性质和引力场对物体运动规律影响理论的建立等，都是很好的例证。
可见，在现代科学时期，数学既是理解和建构现代科学理论的重要工具，“基本的物理规律是以美和有力的方程式来描写的，这是自然界的基本特征之一”（狄拉克语）；同时也表明，现代自然科学要进一步发展，也必须数学化，只有借助于数学这一理性思想工具，人们才有可能进一步认识事物的本质。没有数学，就不可能理解和建构今天的科学理论！没有数学模型与物理世界相联系，理论就会出现荒谬！没有数学模型来表达既有的科学成果，科学理论也就不可能进一步发展！
2.数学：现代科学的重要生长点
由于数学是理解和构建当今科学理论的重要工具，而这些数学符号又具有丰富的物理内容，因此，在现代科学研究中，科学家就可以不求助于直接经验的体验，而由相应的有蕴涵的命题经由严格的逻辑推理，或相应数学结构的启示和类比，或引入新的数学结构来获得对客体特性更深刻的认识，从而在科学实践中取得“事半功倍”的效果。
首先，现代科学发展表明：伴随着科学数学化的趋势，适用于科学幼年时期的经验归纳法正逐渐让位于探索性演绎法，蕴涵丰富物理内容的符号化的严格推理业已成为现代科学发展的主要动力之一。例如，1927年前后，狄拉克为了克服克莱因—高登方程与量子力学的标准变换理论的不一致性，将薛定谔方程中对空间坐标的微商由二级降为一级，又将满足泡利电子自旋理论的二行二列矩阵推广为四行四列矩阵，从而得到狄拉克方程。狄拉克方程解释了电子的自旋性质（这一点连狄拉克本人也感到十分惊奇），而在这之前，这一性质是高德斯密特和乌仑贝克在1925年为解释碱金属光谱的分裂，作为特殊假设而附加给电子的。狄拉克方程也同时解释了塞曼效应、磁矩以及氢谱线精细结构的修正值，并预言了负能态和正电子的存在。其次，相应的数学结构间的类比也是现代科学发展的主要动力之一。例如，在信息论中，维纳将波尔兹曼对数定律S＝1np（S—熵；p—或然率）与信息传递公式Y＝－Klnp（Y—信息量；K—常数）进行类比，他得出：信息量实质上就是负熵，信息损失的过程与熵增加的过程十分相似，信息量的平均具有熵的各种性质。维纳由此得出了关于负熵和进化的富有启发性的思想；同样，维纳应用数学类比解决了在特殊情况下广义的狄利克雷问题的解法将满足古典的位势理论所要求的连续性条件的问题，维纳类比波莱尔关于拟解析函数的工作，一改自己的常规方法，沿着波莱尔的新思路，不再依赖于数值的大小，而是依赖于级数的收敛和发散，终于解决了这个有关位势函数边界上奇点的问题，后来证明维纳的类比推测是正确的。德布罗意提出物质波理论、薛定谔创造波动力学理论等，其关键步骤也都是在相关思想下相关数学结构的类比。再次，借助于有关数学结构的启迪，可以使科学家突破难关，取得难以预料的结果。1925年8月，狄拉克在研究海森堡第一篇量子力学论文《关于运动学和力学关系的量子论再解释》时，他感到：对于两个力学变量u与v，将它们顺序相乘得到的uv，与将它们反序相乘得到的vu不一样。这里有一个差值（uv－vu）是很难理解的。1925年10月的一个星期天，他突然意识到这个不等于零的对易子（uv－vu），与经典力学中的泊松括号之间的相似性，从而把泊松括号和对易子联系在一起的想法形成了狄拉克在量子力学工作中的出发点，不久他便完成了成名作《量子力学的基本方程》。最后，现代科学发展还表明：现代自然科学理论上的重大突破，都与某种数学方法的引入相联系，一个新的学科领域的开辟，往往必须使用一种新的数学理论作为工具。揭示大尺度宇宙空间物理性质的广义相对论的创立即是如此，因为它是以黎曼几何和张量分析理论为基础的；郎佐斯应用狄拉克提出的δ函数将矩阵力学改造成用积分方程表示的有连续值的理论的成功，从而使变换理论有了一个新的逻辑基础而成为一种完备的理论也是很好的例证。
在现代科学条件下，“从公理引向经验事实或者可证实的结论的思路也愈来愈长、愈来愈微妙。理论科学家在探索理论时，就不得不愈来愈听从纯数学形式的考虑”(79)。当代物理学家博尔茨曼也认为：“模型，无论是物理的还是数学的，无论是几何的还是统计的，已经成为科学以思维能力理解客体和用语言描述客体的工具。”(80)因此，在现代科学研究中，数学思维成了现代科学思维的一种重要形式，数学模型成了对客体内容“剪裁”的一种形式，已有的数学成就可以成为科学思维的依托。数学已不仅仅是科学的表述手段，它在一定程度上预示和规范了科学的发展方向，成为科学的生长点，这正如爱因斯坦所说的理论物理学：“迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现。我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提示合适的数学概念，但是数学概念无论如何都不能从经验中推导出来。当然，经验始终是数学构造的物理效用的唯一判据。但是这种创造的原理却存在于数学之中。因此，在某种意义上，我认为，像古代人所梦想的，纯粹思维能够把握实在，这种看法是正确的。”(81)这就是说：创造性原理存在于数学之中！也正是从这个意义上，海德格尔指出，“数学因素”知识所蕴含的基本态度，是关于“物”的知识的基本前提，是构成知识方式的本质，构成了关于“物”的知识的基础所在，各种类型的科学只有当从中能够提炼出数学因素时，才能成为真正的科学。他说：“真正的能知和知识的基本条件是认识到一切知识的基本前提和一切知识所包含的态度，一种不以知识方式建立其基础同时限定其范围的知识不是知识，而是意见。就其是对人们已经认识的东西的认识这一根本意义上来讲，数学因素是‘学术研究’的基本前提。”(82)
总之，实验结果不是以直观的方式显示结论，而是在一个人工概念系统中通过一系列推理和运算得到结论。如果没有一个相当成熟的数学框架，科学家就无从设计实验，诚如心理实验大师皮亚杰所言：“无论经验有多么精确，没有数学的框架就无法释读经验！”(83)
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