一类基向量问题的处理及分析

一类基向量问题的处理及分析

杨艳萍

一、问题的处理

笔者近期处理了一道涉及基向量的向量问题，并没有使用平面向量基本定理，而是直接将仿射坐标系转换为直角坐标系，将向量问题转化为解析几何问题．下面就问题的处理作一些分析．

例1　设P是ΔABC内一点(不包括边界)，且，求x²+ y²－2x－2y+3的取值范围．

解:以AB，AC为坐标轴，如图1，建立仿射坐标系A－xy，为解决原问题，将仿射坐标系A－xy(图1)转化为直角坐标系A－xy(图2)．

图1　　　　　图2

在直角坐标系中，令，则直线l_AB的方程为:x+ y= 1，在仿射坐标系中，点P在ΔABC内(不包括边界)，等价于在直角坐标系中，点P在等腰直角ΔABC内(不包括边界)，所以x，y满足:

在直角坐标系中，令点P的坐标为(x，y)，设D(1，1)，则:

x²+ y²－2x－2y+ 3=(x－1)²+(y－1)²+ 1=PD 2+ 1

点P(x，y)在等腰直角ΔABC内，所以d＜PD＜AD=，其中d为点P到直线l_AB的距离，即，所以，

即x²+ y²－2x－2y+3∈

本例中，避开了平面向量基本定理的使用，直接将仿射坐标转化为直角坐标处理，避免繁杂的向量运算，过程简明扼要。

二、问题的分析

上面的处理过程涉及问题:为什么点P在仿射坐标平面的ΔABC内就等价于在直角坐标平面的等腰直角ΔABC内?下面我们就这种解法的合理性、依据作一些探究．本例解法的合理性主要在于仿射坐标平面内的点与直角坐标平面内的点之间的关系．

图1　　　　　图2

如上图，建立仿射坐标系和直角坐标系，由于与可以构成平面向量的一组基底，因此，对于仿射坐标A－xy平面内的任意点P'，可以用与唯一表示，记= x，在仿射坐标A－xy平面与直角坐标A－xy平面之间定义一个点到点的映射φ．

定义:φ:P'→P(x，y)

即仿射坐标平面内的任意点P'，经φ作用后对应直角坐标平面内的唯一点P，坐标为(x，y)。

对于直角坐标A－xy平面内的任意点P₁(x₁，y₁)，在仿射坐标平面A－xy内存在唯一点P'₁，满足:，即φ是仿射坐标A－xy平面到直角坐标A－xy平面点到点的一一映射。

由于

因此φ: B→φ(B)(1，0) C→φ(C)(0，1)

其中φ(B)、φ(C)分别对应直角坐标A－xy平面内的点B、点C，即B(1，0)、C(0，1)。

下面证明φ保持同素性，保持平行，保持平行线段间的比例，保持封闭图形的面积比。

(1)证明φ保持同素性

设点P'是仿射坐标平面内直线E'F'上的任意一点，记，由于P'，E'，F'=［x₂+λ(x₁－x₂)］+［y₂+λ(y₁－y₂)］点共线，所以，由φ的定义可得:

φ: E'→E(x₁，y₁) F'→F(x₂，y₂) P'→P［x₂+λ(x₁－x₂)，y₂+λ(y₁－y₂)］

由于，即在直角坐标A－xy平面内点P在直线EF上，即φ保持同素性。

(2)证明φ保持平行

由上面的证明可知，在仿射坐标A－xy平面内，若点P'不在直线E'F'上，那么在直角坐标A－xy平面内对应点P也不在直线EF上，因此φ保持平行，即仿射坐标平面内的平行直线经φ作用后在直角坐标平面内也是平行直线。

(3)证明φ保持平行线段间的比例

在仿射坐标平面内线段E'F'，G'H'满足:，

又因为与。为仿射坐标平面向量的一组基底。

所以

由φ的定义可知:

φ: E'→E(x₁，y₁) F'→F(x₂，y₂) G'→G(x₃，y₃) H'→H(x₄，y₄)则:因此

即φ保持平行线段间的比例

(4)证明φ保持封闭图形的面积比

我们先证明φ保持三角形面积比

已知在仿射坐标平面内，S_ΔD'E'F':S_ΔA'B'C'=λ，ΔD'E'F'和ΔA'B'C'经φ作用后，分别对应直角坐标平面内的ΔDEF和ΔABC，证明:S_ΔDEF:S_ΔABC=λ

由于和是一组基底都可以用和唯一表示，不妨令:

则:

同理:

因为S_ΔD'E'F':S_ΔA'B'C'=λ，所以λ=(x₂－x₁)(y₃－y₁)－(x₃－x₁)(y₂－y₁)

由φ的定义知:φ:B'→B(0，0) C'→C(1，0) A'→A(0，1)

D'→D(x₁，y₁) E'→E(x₂，y₂) F'→F(x₃，y₃)

即S_ΔDEF:S_ΔABC=λ

由于平面内任意封闭的多边形都可以分割成若干个三角形，任意封闭的曲边图形都可以用无数个三角形逼近，因此φ保持封闭图形的面积比。

三、推广应用

将仿射坐标系转换为直角坐标系，将向量问题转化为解析几何问题的方法，适用于基向量的相关问题，很方便，如:

例2　(2006年湖南高考文科)如图OM//AB，点P在射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不包括边界)，则实数对(x，y)可以是(　　)

A．　　B．

C．　　D．(

(2006年湖南高考理科)如图OM//AB，点P在射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不包括边界)，，则x的取值范围;

当x=时，y的取值范围是。

解:由仿射坐标系与直角坐标系点到点之间的关系可知:

显然x，y满足:，因此答案:(文科)C

(理科)x＜0

例3　如图设点P是ΔABC内一点，满足若，求:

(1)的取值范围;

(2) x－y的取值范围。

解:设ΔABC边BC的高为h，由于，则点P到边BC的距离，即点P在ΔABC中位线EF下方，其中E是AB中点，F是AC中点，如图建立仿射坐标系:

因此x，y满足:即P(x，y)在直角梯形EFCB内，设点D(－1，－1)

(1)由于，因此;

(2)x－y∈。

例4　求椭圆的面积。

解:分别以为x'轴和y'轴的测量单位建立仿射坐标系O'－x'y'椭圆O'和ΔA'B'C'经映射φ作用后对应直角坐标平面内的圆O和ΔABC。

由椭圆的参数方程可知:

φ的定义知:φ: P'→P(cosα，sinα)α∈[0，2π)从而圆O是一个单位圆。

根据φ保持封闭图形面积比可得:

所以

(原载江西师范大学《中学数学研究》2012年第1期)