逻辑学家的最新成果

逻辑学家的最新成果_科学与方法

逻辑学家试图回答前面所考虑的事情。为此，有必要改造逻辑斯谛，特别是罗素，在某些方面修改了他的有独创性的观点。由于没有涉及争论的细节，我乐于回到两个对我的心智来说是最重要的问题：逻辑斯谛的法则证明它们富有成效和确实可靠吗？它们真的提供了一点也不求助直觉而证明全归纳原理的手段吗？

关于富有成效的问题，似乎库蒂拉特先生存有天真的幻想。在他看来，逻辑斯谛给发明提供了“高跷和翅膀”，在下一页这样写道：“十年前，皮亚诺出版了他的《公式汇编集》第一版。”翅膀已经提供十年了，而结果还未涌现出来，怎么会那样呢！

我极为敬重皮亚诺，他做了好多事（例如他的“填满空间的曲线”，也许现在被抛弃了）；但是，与大多数无翼的数学家相比，他毕竟没有飞得更远、更高、更快，他同样只不过是徒步行进而已。

相反地，我看到逻辑斯谛只是给发明家套上了镣铐。它无助于简洁——与之相距甚远，如果确立1是数需要27个方程，那么要证明真正的定理需要多少方程呢？如果我们和怀特海（Whitehead）一起，把个体x分为唯一的数即x的类，然后分为其唯一的数即其唯一的数是x的类的类，我们称前者为ιx，称后者为ιιx，尽管这些分类也许是有用的，你认为它们能够大大加快我们的步调吗？

逻辑斯谛迫使我们说出通常听任被理解的一切；它使我们一步一步地行进；这也许更有把握，但却比较缓慢。

你们逻辑学家给我们的不是翅膀，而是幼儿学步用的牵引带。于是，我们有权利要求这些牵引带防止我们跌倒。这将是他们的唯一借口。当债券不生大量利息时，对于一家之长来说，它至少应当是一种投资。

应该盲目地遵循你们的法则吗？是的，要不然，只有直觉能够使我们在它们之中进行区分；不过，它们必须是确实可靠的；因为只有在确实可靠的权威面前，人们才能够盲信。因此，对你们来说，这是必要的。或者你们将是确实可靠的，或者根本不是。

你们没有权利对我们说：“的确我们犯了错误，但是你们也错了。”对我们来说，错误是不幸的，是极大的不幸；对你们来说，这是自取灭亡。

你们也不可以反问：算术的确实可靠防止了加法的错误吗？运算法则是确实可靠的，可是我们看到这些错误在于他们没有应用这些法则；但是，在检验他们的运算时，立即可以看到他们错在何处。在这里，情况根本不是这样；逻辑学家应用了他们的法则，而他们还是陷入矛盾之中；这是如此真实，以致他们正准备改变这些法则，并“牺牲类的概念”。假如这些法则是确实可靠的，那为什么要改变它们呢？

你们说：“并未答应我们立即解决一切可能问题的请求。”嗬，我们没有向你们要求这么多的东西。假如你们对面临的问题没有给出答案，我们当然无话可说；可是，相反地，你们给我们两个答案，这些答案是矛盾的，从而至少一个是假的；正是这一点，才是失败之所在。

罗素企图调和这些矛盾，在他看来，这只能“通过限制甚或牺牲类的概念”来完成。库蒂拉特先生在发现他的尝试的成就时补充说：“在其他人失败的地方，如果逻辑学家成功了，那么彭加勒先生将忆及此语，并把解答的荣誉给予逻辑斯谛。”

但是，非也！逻辑斯谛存在着，它有它的法典，这个法典已推出四个版本；或者更恰当地讲，这个法典就是逻辑斯谛本身。罗素先生正在准备证明两个矛盾的推理中至少有一个违背了法典吗？一点也没有；他正在准备改变这些定律，并取消若干定律。如果他成功了，我将把解答的荣誉给予罗素的直觉，而不给予皮亚诺的逻辑斯谛——他将取消逻辑斯谛。

对逻辑斯谛中采用的整数的定义，我提出了两个原则性的反对理由。库蒂拉特先生就第一个反对理由说了些什么呢？

在数学中，存在一词意味着什么呢？我说，它意味着摆脱了矛盾。库蒂拉特先生对此发生争执。他说：“逻辑的存在是与没有矛盾完全不同的另一种东西。它在于类不是空的这一事实。”说a存在，按定义即是断言类a非空。

无疑地，断言类a非空，按定义就是断言a的存在。如果两个断言既不表示人们可以看见或触到a的存在——这是物理学家或博物学家赋予它们的意义，也不表示人们可以在不引入矛盾的情况下构想a——这是逻辑学家和数学家赋予它们的意义，那么这两个断言中的一个像另一个一样，便被剥光了意义。

在库蒂拉特先生看来：“不是无矛盾证明存在，而是存在证明无矛盾。”因此，要确立类的存在，就必须用范例确立存在着属于这个类的个体：“但是，有人会说，如何证明这个个体的存在呢？为了可以推导出个体作为其一部分的类的存在，难道没有必要确立这个存在吗？好了，有必要；不管这一主张多么自相矛盾，我们永远无法证明个体的存在。个体正因为它们是个体，才总是被视为存在者……我们从未表达个体存在着，绝对地讲，只不过从未表达它在类中存在。”库蒂拉特先生发现他自己的主张是自相矛盾的，他肯定将不是唯一的人。不过，该主张必须有意义。这无疑意味着，个体——它单独地在世界上，我们对它未做任何断言——的存在不能包含矛盾；就个体是单独的而言，它显然不包容任何矛盾。好了，就让它是这样吧；“绝对地讲”，我们将姑且承认个体的存在，不过仅此而已。依然要证明个体“在类中”存在，为此总是有必要证明断言“属于这样的类的这样的个体”自身内既不矛盾，也不与所采用的其他公设矛盾。

库蒂拉特先生继续说：“因此，坚持认为只有我们先证明定义没有矛盾，定义才是有效的，这种看法是专断的和误入歧途的。”人们不应该以比较自豪和比较有力的言词主张矛盾的特许权。“无论如何，提出证据的责任落在了那些认为这些原理是矛盾的人的身上。”在相反的东西被证明之前，人们假定公设是可以和谐共存的，正如在未拿到证据之前，假定被告无罪一样。不用说，我不同意这种主张。但是，你们说，你们要求我们的证明是不可能的，你们不能要求我们跳过月亮。请原谅我；对你们来说那是不可能的，但是对我们来说并非不可能，由于我们承认归纳原理是先验综合判断。这个原理对你们与对我们一样，恐怕都是必要的。

为了证明公设系统不隐含矛盾，就必须应用全归纳原理；这个推理模式对于该系统来说不仅没有什么“稀奇古怪”之处，而且它是唯一正确的模式。并非“靠不住的”是，它一直被利用着；要找到它的“范例和先例”并不难。我引用过两个这样的例子，都是从希尔伯特的文章中借来的。他并不是利用这个推理模式的唯一的人，没有这样做的人是错误的。我责备希尔伯特的原因并不在于他求助于该模式（像他这样一个天生的数学家不可能看不见证明是必要的，而且只有这一种证明是可能的），而在于他在不承认递归推理的情况下求助于它。

我指出了希尔伯特文章中的逻辑斯谛的错误。今天，希尔伯特被逐出教会，库蒂拉特先生不再认为他是逻辑斯谛的狂热信徒；于是他问，我是否在正统宗教中发现了同样的缺点。没有，在我读过的书页中，我没有看到什么缺点；我不知道在他们所写的300页的论著中我是否能够找到缺点，我并不期望读这些东西。

不过，当我们希望应用数学时，他们必定会犯这种毛病。这门科学没有把对它自己的核心的永久沉思作为唯一的目标；它与自然有关系，某一天它将涉及到自然。于是，它必须摆脱纯粹字面的定义，停止开空头支票。

回到希尔伯特的例子上来吧：争论之点总是递归推理和了解公设系统是否没有矛盾的问题。库蒂拉特先生无疑会说，此刻这并没有涉及他，但是它也许将引起像他一样不主张矛盾特许权的人的注意。

如上所述，我们希望确立，无论在多少次演绎之后，只要这个数是有限的，我们将永远不会遇到矛盾。为此，必须应用归纳原理。按定义，归纳原理要应用到每一个数上，我们在这里能够通过有限的数来理解每一个数吗？显然不能，否则我们便不得不导致最使人为难的结果。为了有权利建立一个公设系统，我们必须肯定它们不是矛盾的。这是大多数科学家都承认的真理；在读库蒂拉特先生的最近的文章之前，我无论如何应该记下这一点。但是，这表示什么呢？这意味着我们必须确信在有限数的命题之后不遇见矛盾吗？所谓有限数，按定义是具有递归性质的一切特征的数，这样一来，如果缺乏这些特征之一——例如，假如我们碰见矛盾——我们将一致说，所考虑的数不是有限的。换句话说，我们意味着我们必须确信不遇到矛盾吗？其条件是，在正要碰到矛盾时，我们一致同意停下来。陈述这样的命题就足以宣布它不适用了。

这样一来，希尔伯特的推理不仅采取了归纳原理，而且它假定这个原理不是作为简单的定义，而是作为先验综合判断给予我们。

总而言之：

证明是必要的。

唯一可能的证明是递归证明。

只有我们承认归纳原理，只有我们认为它不是作为定义，而是作为综合判断时，这才是合法的。

现在，审查一个罗素的新专题论文。这篇论文是为了战胜已经频繁提到的康托尔二律背反所引起的困难而写的。康托尔以为他可以构造无穷的科学；其他人沿着他开辟的道路前进，但是他们不久就与不可思议的矛盾相撞。这些二律背反已经很多，但最显著的是：

1．布拉利-福尔蒂二律背反；

2．策默罗-柯尼希（）二律背反；

3．理查德（Richard）二律背反。

康托尔证明了，序数（所讨论的问题是超限序数，这是他引入的新概念）能够按线性级数排列；也就是说，两个不相等的有限序数中，一个总是小于另一个。布拉利-福尔蒂证明情况相反；事实上，他本质上是说，如果人们能把所有的序数按线性级数排列，这个级数便会确定一个序数大于所有的其他序数；此后，我们可以加上1，再次得到一个还会更大的序数，这是矛盾的。

稍后，我们将回到策默罗-柯尼希二律背反，它具有稍微不同的性质。理查德⁽¹⁾二律背反如下所述：考虑一下用有限个数的词可以定义的所有十进制数；这些十进制数形成一个集合E，很容易看到，这个集合是可数的，也就是说，我们能够从1到无穷给这个集合中的各个十进制数编号。设编号已完成，且如下定义数N：若集合E中的第n个数的第n位是

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，

则N的第n位将是

1，2，3，4，5，6，7，8，1，1。

正如我们看到的，N不等于E的第n个数，而且当n是任意的时，N不属于E，但N却应该属于这个集合，因为我们是用有限个数的词定义它的。

我们不久将看到，理查德先生本人以其远见卓识对他的悖论做了说明，这个说明在细节上做了必要的修正后，延伸到其他同类的悖论。罗素还引用了另一个十分逗人的悖论：不能用少于100个英语单词组成的语句定义的最小整数是什么？

这个数是存在的；事实上，用同类语句能够定义的数显然是为数有限的，因为英语词在数目上不是无限的。因此，在它们之中，将有一个数小于其他一切数。另一方面，这个数不存在，因为它的定义隐含着矛盾。事实上，这个数是用斜体字语句定义的，该语句由少于100个英语单词组成；按照定义，这个数不能用同类的语句定义。

面对这些矛盾，罗素先生的态度如何？在分析了我们刚才讲过的那些矛盾并引用了其他矛盾后，在给予它们以使埃庇米尼得斯（Epiménides）⁽²⁾苏醒的形式后，他毫不迟疑地得出结论说：“一个变元的命题函数并非总是决定类。”命题函数（也就是说定义）并非总是决定类。“命题函数”或“范数”可以是“非断言的”。这并不意味着这些非断言命题决定空类、零类；这并不意味着不存在满足定义且能够是该类中元素之一的x的值。这些元素存在着，但是它们没有权利结合成一个联合体而形成类。

但是，这仅仅是开始，还需要知道如何辨认一个定义是否是断言的。为了解决这个问题，罗素在他命名的以下三种理论之间犹豫不决：

A．锯齿形理论；

B．限制大小理论；

C．无类理论。

按照锯齿形理论，“当定义（命题函数）十分简单时，它们便决定类，只有在它们是复杂的和含糊的情况下，它们才不再如此。”现在，谁来决断定义是否可以认为是简单的，足以受到人们的欢迎呢？关于这个问题，还没有答案，尽管没有人诚恳地供认对此完全无能为力：“能使我们辨认这些定义是否是断言的法则恐怕是极其复杂的，它们不能以任何似乎可能的理由毛遂自荐。这是一种缺陷，它可以通过独出心裁或利用还没有指出的差别来补救。但是，迄今在寻找这些法则的过程中，除免去矛盾外，我还不能发现任何其他的指导原则。”

因此，这种理论依然是很含糊的；在这个暗夜中，只有一线光明——锯齿形这个词。罗素所谓的“锯齿形”，无疑是把埃庇米尼得斯论据区别开来的特征。

在限制大小的理论看来，如果类过分被延伸，它就不可能有存在的权利了。也许它是无限的，可是它也不应该如此之多。不过，我们总会再次遇到同样的困难；在哪一个精确的时刻，它开始变得如此过多呢？当然，这个困难未被解决，于是罗素转到第三种理论。

在无类理论中，他不许讲“类”这个词，这个词必须用各种迂回的说法来代替。对于仅仅讨论类和类之类的逻辑斯谛来说，这是多么大的变化啊！有必要开始改造整个逻辑斯谛。试设想一下，若禁止逻辑斯蒂在其中是类的问题的所有命题，那么如何看待逻辑斯谛的专页呢。在这些空虚的专页当中，只会留下一些散乱的残余。粗野的开拓性工作定位在混乱的荒原上。

尽管情况可能是这样，我们看到罗素如何犹豫不决，他如何把他迄今采纳的基本原理提交修正。需要有标准来裁决一个定义是否太复杂或太广泛，这些标准只能够诉诸直觉来辩护。

罗素最后倾向的正是无类理论。尽管情况可能是这样，还必须改造逻辑斯谛，不清楚的是，其中的多少能够被拯救。不用再说，唯有康托尔主义和逻辑斯谛处于考虑之列；对于某些事物有用的真正的数学可以按照它自身的原则继续发展，而不必为在它之外掀起的风暴伤脑筋，它由于其平常所取得的成就而一步一步地前进着，这些成就是决定性的，从来也不会被抛弃。

在这些不同的理论中，我们应当选择什么呢？在我看来，答案似乎包含在我上面讲过的理查德先生的信中，该信可在1905年6月30日的《科学综合评论》上找到。在提出了我们所谓的理查德二律背反后，他对它作了说明。请回忆一下，我们已经说过这个二律背反。E是能用有限个数的词定义的所有数的集合，但并未引入集合E本身的概念。

现在，我们用有限个数的词定义了N，不过确实是借助集合E的概念定义的。这就是N不是E的一部分的原因。在理查德先生挑选的例子中，结论是以十分明显的方式呈现出来的，在查阅该信本身的文本时，这种明显性好像还是很强烈的。不过，同一说明也适用于其他二律背反，这一点很容易证实。因此，可以被视为非断言的定义是包含循环论证的定义。以前的例子充分地表明我就此意味的东西。这就是罗素所谓的“锯齿形”吗？我提出这个问题，但不想回答它。

现在，让我们审查一下自称的归纳原理的证明，尤其是怀特海和布拉利-福尔蒂的证明。

首先，我们将谈谈怀特海的证明，并且利用一下罗素在他的最近的论文中所恰当地引入的某些新术语。所谓递归类，即是每个类都包含零，而且若它包含n，则也包含n＋1。所谓归纳数，即是每个数都是所有递归类的一部分。在怀特海的证明中起主要作用的这一后来的定义，在什么条件下是“断言的”，从而是可以接受的呢？

按照已经讲过的东西，关于所有递归类，必须理解为归纳数概念没有进入其定义中的所有类。否则，我们将再次陷入产生二律背反的循环论证之中。

现在，怀特海没有采取这种预防措施。因此，怀特海的推理是靠不住的；正是同一推理导致了二律背反。当它给出假的结果时，它就是不合法的；在由于机遇而导致出真的结果时，它依然是不合法的。

包含着循环论证的定义什么也未定义。下述说法是无用的：我们确信，不管我们给我们的定义赋予什么意义，至少零属于归纳数的类；问题并不在于了解这个类是否是空的，而在于它是否能够被严格地划界。“非断言的”类并不是空类，而是其界限没有决定的类。毋庸赘言，这个特殊的反对理由依然使适用于所有证明的普遍反对理由有效。

布拉利-福尔蒂给出另一种证明。⁽³⁾但是，他被迫假定两个公设：第一，至少总是存在着一个无限类。第二个是这样表述的：

第一个公设并不被已证明的原理更明显。第二个不仅不明显，而且如怀特海已证明的，它为假；此外，任何新手都能一眼看出这一点，倘若公理是用可理解的语言陈述的话，因为它意味着，用几个对象能够形成的组合数小于这些对象数。

策默罗所作的著名证明依据下述假定：在任何集合中（或者在集合的集合物的每一个集合中亦可），我们总是能够随意地选取一个元素（即使集合的这个集合物可能包含着无限的集合）。这个假定已被应用了无数次而没有陈述，但是一旦陈述出来，就发生了疑问。有些数学家，例如波莱尔（Borel）先生坚持反对它；另一些数学家则赞美它。让我们根据罗素最近的文章看一看，他是怎样思考它的。他没有讲出结果，但是他的思考却十分富有启发性。

首先，举一个形象化的例子：设我们有整数那么多双鞋，这样我们便能够从1到无限给双编号，我们将有多少鞋呢？鞋的数目将等于双的数吗？如果在每一双鞋中，右脚鞋与左脚鞋可以区分，情况就是如此；事实上，只要我们把数2n－1给予第n双鞋的右脚鞋，把数2n给予第n双鞋的左脚鞋就足够了。如果右脚鞋与左脚鞋正好一样，情况就不同了，因为类似的操作变得不可能了——除非我们承认策默罗的假定，由于这时我们可以随意地在每一双鞋中选取被看做是右脚鞋的鞋。

真正建立在分析逻辑原理基础上的证明将由一系列的命题组成。一些原理作为前提将是恒等式或定义；另一些将从前提一步一步地推导出来。但是，尽管每一个命题和紧接着的命题之间的结合物是直接自明的，好像也无法一眼看到我们是如何从开头到达最后的，于是我们可能被诱使把最后的东西看做是新的真理。不过，如果我们相继用其定义来代替不同的表述，如果这种操作进行得尽可能远，那么最终将仅仅留下恒等式，从而一切都将还原为庞大的同义反复。因此，逻辑依然是无结果的，除非我们通过直觉使之富有成效。

这是我很久之前写的东西；逻辑斯谛所持的意见相反，并认为通过实际证明新真理而证明了它。用什么手法呢？在把刚刚描述的程序用于新真理的推理时，即用它们的定义代替所定义的名词时，我们为什么看不见它们像通常的推理那样分解为恒等式呢？正是因为这种程序无法应用于它们。为什么不能应用呢？因为它们的定义不是断言的，呈现出我上面已指出的这种隐藏的循环论证；非断言的定义不能代替所定义的名词。在这些条件下，逻辑斯谛不是不结果的，它产生二律背反。

正是对于实无穷存在的相信，诞生了这些非断言的定义。让我说明一下。在这些定义中，出现“所有”一词，这在上面引用的例子中已经看到。当“所有”一词是无限数目对象的问题时，它具有十分精确的意义；当对象为数无限时，要具有另一种意义，还要求存在实（给定的完备的）无穷。要不然，所有这些对象都不能看做是先于它们的定义的公设性的东西，再者，如果概念N的定义依赖于所有对象A，它就可能受到循环论证的影响，即使在概念N本身没有介入的情况下在对象A中一些是无法下定义的。

形式逻辑的法则仅仅表达所有可能分类的性质。但是，要使它们可以应用，那就必须使这些分类是永远不变的，而且我们在推理的过程中无须修正它们。如果我们只是把有限数目的对象加以分类，那么就很容易保持我们的分类不变。如果对象为数无限，也就是说，如果人们不断地面临发现新对象，未曾料到的对象产生了，那么便可能发生这样的情况：新对象的出现可能要求修正分类，从而使我们面对二律背反。不存在实（给定的完备的）无穷。康托尔主义者忘记了这一点，他们陷入了矛盾之中。的确，康托尔主义是有用处的，但是这只有在应用于其名词已被严格定义的真实问题中才行，于是我们能够毫不畏惧地前进。

像康托尔主义者一样，逻辑斯谛也忘记了这一点，而且碰到了同样的困难。但是，问题是要知道，他们是偶然地走上这条道路呢，还是受到必然性的驱使呢。在我看来，该问题是无可怀疑的；在罗素的逻辑中，对于实无穷的确信是基本的东西。正是这一点，把它与希尔伯特的逻辑区分开来。希尔伯特采取广延的观点，正是为了避免康托尔主义的二律背反。罗素采取理解的观点。因此，在他看来，种先于属，而最高种则先于一切。如果最高种是有限的，那不会有不方便之处；但是，如果它是无限的，那就必须以无限作为公设，也就是说，认为无限是实（给定的完备的）无穷。我们没有唯一的无穷类；当我们用新条件限制概念，从种到达属时，这些条件还是为数无限的。因为它们一般表示，所设想的对象呈现出与无穷类的所有对象如此这般的关系。

但是，那是古老的历史。罗素已觉察到危险，并采取了对策。他正准备改变一切，这是很容易理解的，他不仅准备引入新原理——这些原理将容许以前禁止的操作，而且准备禁止他先前认为合法的操作。他不满足于崇拜他所烧毁的东西，他正准备烧毁他所崇拜的东西，这一点更为严肃。他没有给建筑物添加新的侧厅，他挖掘它的基础。

旧逻辑斯谛死去了，锯齿形理论和无类理论就继承权问题正在进行的争论已经达到如此程度。至于评价新理论，我们将要等待它到来。

 

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(1) 《科学综合评论》（Rerue général des sciences），1905年6月30日。

(2) 埃庇米尼得斯（创作时期公元前六世纪？）是克里特预言家、著名作家，写有宗教作品和诗。关于他的长寿（157/299岁）、他睡了57年的神奇睡眠以及灵魂离体漫游的故事，使有些学者认为他是萨满教徒一类的传奇人物。——中译者注

(3) 在他的文章“有限类”中，《都灵学报》（Atti di Torino），第32卷。