在多孔介质中的有效扩散系数

在稳态条件下，气体在水中的扩散作用可用Fick第一定律描述：

式中：Jd——扩散通量，指单位时间内通过单位横截面积的溶质质量，kg／（m2·s）；

Daq——溶质气体在水中的扩散系数，m2／s；

dc／dx——x方向上的浓度梯度。

非稳态条件下，Fick第二定律可表述为：

CO2在多孔介质中的扩散作用也可以用Fick定律来描述（Krooss，1988）：

Jd＝－Degrad（c）（4－36）

式中：De——CO2在多孔介质中的有效扩散系数；

Jd——扩散通量；

grad（c）——CO2在地下孔隙溶液中的浓度梯度。

由于CO2在纯水中的扩散并没有考虑到多孔介质，即孔隙度以及孔隙曲折度等因素的影响，因此，CO2在地下含水层中的有效扩散系数De一般远远小于其在水中的扩散系数Daq。

有效扩散系数De及其在水中的扩散系数Daq存在如下函数关系（姜元勇等，2011）：

式中：Φ——介质孔隙度；

τf——介质曲折度。

式中：le——溶质在孔隙中迁移的实际距离；

l——溶质在孔隙中迁移的直线距离。

曲折度无法实地测量得到，是一个依赖于模型的参数，而孔隙度Φ比较容易得到，所以工程实践中常采用如下经验公式来确定有效扩散系数（Grathwohl，1998）：

De＝DaqΦm（4－39）

式中：m——经验参数，通常在1.3～4.5范围内。

对比公式（4－37）及式（4－39），可得到τf＝Φ1－m。

多孔介质中孔隙度随深度的变化可由下式表述：

Φ＝Φ0exp（－bh）＋Φ1（4－40）

不同岩性式（4－40）的参数不同，对于页岩来说，式中Φ0＝0.55，Φ1＝0.05，b＝0.85 （km－1），对于砂岩，Φ0＝0.4，Φ1＝0.05，b＝0.5（km－1）。正常沉积压实后地层的孔隙度随深度而呈指数降低，但是CO2注入地层后可能发生构造抬升，孔隙度随深度变化不一定符合上述公式。

前面我们讨论了CO2在水中的扩散系数Daq，可知：

Daq＝D0［（T／TS）－1］γ（4－41）

式中：D0＝14.115×10－9m2／s，γ＝1.673，TS＝228.9K。公式中的温度T可用深度h代替，取地表温度T0为298K，地温梯度公式为：

ΔT／Δh＝0.03（K／m）（4－42）

因此，

联立公式（4－40）、式（4－41）、式（4－42）得：

通过公式（4－38）、式（4－39）、式（4－43）即可算得CO2在多孔介质中的有效扩散系数De。