中国古代数学的模型化道路

3.4.2.1 宇宙的代数学

成书于春秋之际的《周易》，历来被学者视为六经之首，这本著作因卜筮之名免遭秦火，得以保存至今. 其实，这本著作所阐述的是我国先哲的哲学思想、世界图景和思维模式，其背后所蕴藏的是一个没有完全成型的代数模型.

《周易》由《易经》与《易传》组成，《易经》是本体，《易传》是对《易经》的注释与评论.《易经》由64卦组成，每卦包含卦画、卦名、卦辞和爻辞四方面的内容. 卦画是由两种线段“—”和“ ”组成的图形，长横“—”称为阳爻，两短横“ ”称为阴爻，每卦由两种爻任取6次(可以重复)组成. 而这6爻卦又可分上下两部分，三爻组成的卦称为经卦，《系辞·上传》说: “易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”经卦即指“八卦”，6爻卦又可两爻两爻地分为三部分.《周易·说卦传》说: “昔者圣人之作《易》也，将以顺性命之理，是以立天之道曰阴与阳，立地之道曰柔与刚，立人之道曰仁与义. 兼三才而两之，故《易》六画而成卦. 分阴分阳，迭用柔刚，故《易》六位而成章.”体现了天地人的关系，而人居天地之中. 这个模型的精髓就是“类万物”而“通神明”的共性，表象为64卦的图式.

如果把符号“—”、先后用“1”、“0”表示，那么易卦就可与二进制数联系起来，例如

图3.4

把每一个二进制数当作向量，数字的个数看作维数，那么易卦就是6维向量，我们称它为6维布尔向量，上述两例就是

于是每一卦就是一个6维布尔向量.

布尔向量由两个元素1，0组成，即B={0，1}，规定三个运算:与(交，乘)、或、(并，和)、非(否，补)，分别用符号·、+、丿记之. 于是得到一个代数系统＜B，+，·，丿，0，1＞ ，它满足交换律、结合律、分配律、吸收率、0-1律、求补律. 它是一个模型.

3.4.2.2 中国古代数学的模型化道路

《周易·系辞上》说: “《易》有圣人之道四焉: 以言者尚其辞，以动者尚其变，以制器者尚其象，以卜筮者尚其占.”表明《易》有说理辩论，研究事物运动、设计造型制器、计算策划预测的作用. 作为六经之首，《周易》的要义，思维模式深入人心，到达社会的各个层面. 影响最深的就是《周易》的思维模式，“仰以观于天文，俯以察于地理”，“而拟诸其形容，象其物宜，是故谓之象”; “观其会通”，“错综其数，遂成天地之文. 极其数，遂定天下之象”，“知来藏往”. 就是把人观察到的事物(问题)的各方面—表成象(卦、即模型)—由卦的变化进行分析—得到结果. 用框图表成顺序就是观察采集问题→—建模假设/卦→—建立模型→—分析各种因素关系→—归纳结论→—检验应用.

纵观中国古代与中世纪的数学，无论是《算经十书》，还是宋金元的《数书九章》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》，及杨辉著作五种，乃至明朝程大位的《算法统宗》等等，无不受《周易》的影响.

从《九章算术》开始，算法倾向极为明显. 而且在十部算经里，除《周髀算经》、《五经算术》外，其他各书的体例都悉于《九章算术》，乃至宋、明时期的有些数学书，与《九章算术》还有血缘关系.《九章算术》是我国数学经典中最重要著作，为算经之首，九章，共246个问题，每个问题之后，都有一段所谓“术”. 按不同问题，共有199条术文，经刘徽作注后，使中国古典数学理论发展到了一个新的高度: 他发挥了关于证明的思想，创造出数形结合的证明方法; 概括出诸如“出入相补”原理、关于体积的刘徽原理，刘-祖原理; 创造了割圆术，发展了重差术; 提出了朴素的极限观念等.从而使中国古典数学体系得以充实和完善，强烈的算法传统是中国古代数学的重要特色.

以割圆术为例，刘徽的算法如下(如图3.5).

(1)设圆的半径为1尺，从圆内接正六边形起算，倍增正多形边数，用勾股定理依次算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形一边之长(a12，a24，a48，a96).

图3.5

(2)由a48计算圆内接正96边形面积S96.

假设PQ、PR分别为圆内接正48边形和96边形的一边，则

(3)找出S96、S192与圆面积S之关系.

因 S96-S48=48·S△PQR

将直角三角形PKR和RQS(其面积之和恰等于S△PQR)加到筝形OPRQ上，各边都这样做，则其面积超出圆的面积，因而有

S96+48×S△PQR＞S＞S96

或 S96＜S＜S96+(S96-S48)

同理可得 S192＜S＜S192+(S192-S96)

即 (寸2)

舍去分数部分，得

S≈314(寸2) =3.14(尺2)

由于半径为1尺，所以这个数字正好是圆周率π的值，后世称之为“徽率”. 它的意义，不仅在于用此法求得“徽率”，更重要的是给出了一条可不断提高圆周率精度的途径和程序.

中国古代数学的算法倾向和算法程序有如下特点:

(1)机械化: 步骤分明、没有歧义，任何人只要一步一步照着办，必然达到同样的结果;

(2)普遍性: 算法可应用于性质相同的一整类问题.

(3)牵引性: 这种算法只须有限步，从初始数据出发，逐步引到问题的解决，既具体又有效.

汉代以来的中国数学家们发展了许多重要的算法，具有强大的生命力. 著名数学家吴文俊指出，“中国数学具有两大特色: 一是它的构造性，二是它的机械化”，这两性相对于演绎法、公理化是两种不同的数学思维形式，不能相互代替，又不能相互排斥.吴文俊认为，中国古代数学，几何证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻. 而笛卡儿的解析几何不仅提供了不同于欧几里得模式证明几何定理的可能性，而且开创了可用计算来证明几何定理的局面. 吴文俊注意到，希尔伯特是第一个试图使数学全部机械化的数学家，于是，吴文俊毅然决然地从拓扑学研究转向数学机械化研究，并且首先在几何定理证明方面取得了突破，开辟了一条定理机器证明的代数化途径. 他的方法是将要证明的问题归结为纯代数问题，并有一整套高度机械化的代数关系整理程序，利用这一方法已经实现了初等几何主要定理的机器证明，初等微分几何的一些主要定理也可机械化.国际上称之为吴方法，而吴方法恰恰来自中国古代数学的借鉴.