道路工程中常见材料模型

4.3.1　道路工程中常见材料模型

1）沥青混合料的Burgers模型

Burgers模型常用来表征沥青混合料的高温蠕变行为。ABAQUS软件自带的蠕变模型（均采用Bailey－Norton蠕变规律），主要用来描述金属的蠕变行为，不能区分出黏弹性变形及黏性流动变形。而在沥青路面车辙分析中，对车辙有影响的主要是黏性流动变形，而黏弹性变形可以逐渐恢复。因此采用Burgers模型来描述沥青混合料的高温蠕变行为更合适。

（1）Burgers模型

Burgers模型是由Maxwell模型与Kelvin模型串联组成的四单元模型（图4.9）。

图4.9　Burgers模型及蠕变变形曲线

Burgers模型蠕变方程为加载：

卸载：

Burgers模型将沥青混合料的永久变形表征为时间的线性函数，而实际上沥青混合料的黏性流动变形并不随载荷作用时间的延长而无限增加，而是随着时间的推移，黏性流动变形的增量逐渐减小，最终使黏性流动变形趋于一个稳定值，即产生所谓的“固结效应”。可见，Burgers模型没有反映出沥青混合料永久变形的固结效应。

图4.10　修正的Burgers模型

（2）修正的Burgers模型

修正的Burgers模型是在Burgers模型的基础上，对其第一黏性元件进行非线性修正（图4.10），即将Burgers模型中表征材料黏性流动变形特性的外部黏壶元件扩展为广义黏壶，且使其黏度为η₁（t）＝Ae ^Bt。

修正的Burgers模型蠕变方程为

加载：

卸载：

可以看出，采用修正的Burgers模型，弥补了Burgers模型的不足，能够反映出沥青混合料永久变形的“固结效应”，从而有效地表征了沥青混合料的变形特性。

2）级配碎石材料的k－θ模型

大量的研究表明，级配碎石材料回弹行为的影响因素有：粒料种类、级配、密实度、含水量以及所受应力状态等，其中应力状态影响最大。这种影响使得级配碎石回弹模量具有依赖于应力状态而变的非线性特性（应力依赖性模型），即

E＝K₁θ^K₂　　　　　　　　　　　　　　　（4－15）

式中　E——级配碎石回弹模量（MPa）；

　　　θ——第一应力不变量，θ＝σ₁＋2σ₃（MPa）；

　　　K₁、K₂——回归系数。

3）土的Duncan－Chang模型

1963年，Kondner根据大量土的三轴试验的应力应变关系曲线，指出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验（σ₁－σ₃）～ε_α曲线，如图4.11所示，其表达式为

式中　a、b——试验常数。

Duncan等人根据这一双曲线应力应变关系提出了目前被广泛应用的增量弹性模型，即Duncan－Chang模型。

图4.11　土的应力应变双曲线

Duncan－Chang模型为非线性弹性模型，该模型为切线模型，即是建立在增量应力－应变关系基础上的弹性模型，模型参数E_t、μ_t是应力的函数。

切线弹性模量的表达式为

E_t＝（1－R_fs）² E_i　　　　　　　　　　　　　　　（4－17）

式中　E_i——初始模量，其表达式为

R_f为破坏比，其表达式为

s为应力水平，它表示当前应力圆直径与破坏应力圆直径之比，反映强度发挥程度，其表达式为

破坏偏应力（σ₁－σ₃）_f与固结压力σ₃有关，其表达式为

体变模量B_t的表达式为

切线泊松比μ_t为

为了反映土变形的可恢复部分与不可恢复部分，Duncan－Chang模型在弹性理论的范围内，采用了卸载—再加载模量不同于初始加载模量的方法，卸载模量Eur的表达式为

在有限元计算中要给出一个在什么情况下使用E_ur的标准，实际上是一个屈服准则。当然，这里不需要像弹塑性模型的屈服准则那么严格，只要有一个粗略的规定即可。可以采用这样的标准：当σ₁－σ₃＜（σ₁－σ₃），且s＜s₀时，用E_ur，否则用E_t。这里的（σ₁－σ₃）为历史上曾经达到的最大偏应力，s₀为历史上曾达到的最大应力水平。

Duncan－Chang模型没有给出固结压力降低情况下弹性模量的确定方法，这是另一种性质的回弹。固结压力降低后为超固结土，其回弹模量与先期固结压力有关。在有限元计算中可作这样的处理：当σ₃降低时，用历史上曾经达到的最大固结压力σ₃₀计算E_i，再以式（4－17）求E_t，式中的应力水平s仍用当前固结压力σ₃，计算E_ur和计算E_t一样，也应用σ₃₀。

Depvar＝3，即为历史上曾达到的最大偏应力（σ₁－σ₃）₀，历史上曾经达到的最大固结压力σ₃₀和历史上曾达到的最大应力水平。在输入文件＊.inp中，要给出这些状态变量的初始值。

＊initial conditions，type＝solution

Set，var1，var2，var3

Duncan－Chang模型的模型参数（共9个）为：k，n，R_f，c，φ，P_a，k_b，n_b，k_ur

＊material，name＝soil

＊depvar

3，

＊user material，constants＝9

k，n，R_f，c，φ，P_a，k_b，n_b，k_ur（应采用相应的数值代替这些模型参数）

对于卸载的情况，采用E_ur计算，在E_ur的表达式中，参数n与加载时基本一致，而k_ur＝（1.2～3.0）k，对于密砂和硬黏土，k_ur＝1.2k；对于松砂和软土，k_ur＝3.0k；一般土介于上述两者之间。在Duncan－Chang模型的模型参数中，不直接给出k_ur值，而是给出k_ur/k的比值。

确定加载切线模量E_t，卸载切线模量E_ur和切线泊松比μ_t后，即可得到Duncan－Chang模型的弹性矩阵为