中国古代数学

（一）中国古代数学思想的发展

中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌。根据它本身的特点，可以分为五个时期：

1．初创阶段

中国传统数学最早最伟大的成就就是十进位制的记数法和在此基础上的算术。在中国传统数学中，“算术”的真正含义就是筹算技术，即使用算筹进行数值运算的技术。算筹是中国古代特有的计算工具，《汉书·律历志》说：“其算法用竹，径一分、长六寸。”此“竹”指的就是算筹。原则上说，中国数学是随着算筹的产生而形成和发展起来的，以算筹为工具的筹算模式是中国数学的本质特性，它规定了中国传统数学发展的概貌，在很大程度上决定了中国数学的性质和思想方法，确定了中国传统数学在筹算形式下的数形理论。

2．第一次高峰时期

秦汉时期，中国传统数学的发展出现第一次高峰，它是以中国数学发展史上最早最有影响的数学典籍《九章算术》的出现为标志，《九章算术》由二百四十六个数学问题及其解答、术文组成，并按算法分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，归纳全书，包括四大算法系统和两大求积公式系统。四大算法系统是分数算法、一般比率算法、组合比率算法、开方算法；两大求积公式系统是面积公式系统和体积公式系统。统览《九章算术》，它以题解为中心，在题解中给出算法，根据算法分化与归结。这种以题解为中心的算法体系，它充分体现了中国数学特有的形式和思想内容。

3．第二次高峰时期

三国两晋南北朝时期（公元220—589年），中国传统数学之发展在理论上取得重大突破，出现了第二次高峰。在这期间，赵爽撰写“勾股方图”，用几何方法严格证明了勾股定理，而数学大家刘徽更以其独到的思维批判继承了《九章算术》，在其《九章算术注》中，刘徽“析理以辞”，觅求各部分内在的逻辑联系，不仅在数学理论上把中国传统数学推到了前所未有的高度，而且在数学方法尤其在逻辑推理与证明方面把中国传统数学发展到历史的最高水平；用比率理论统一数与式，明确论述方程组消元解法的步骤与理论；定义“正负数”，举“开之不尽”的数；“解题用图”，提出“出入相补原理”，建立勾股理论。

4．缓慢发展时期

隋唐时期，是中国传统数学发展相对沉闷的时期，尽管在数学理论与数学方法都没有多少突出的成就，但在推动数学应用的普及方面却卓有成效。李淳风、王孝通等整理、注释算经十书（《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》），隋唐统治者设立明算科开科取士，这些工作都是开创性，在一定程度上对保存中国传统数学文献和推动传统数学之普及起到了较大作用。而且，隋唐数学也不是毫无理论成就，数学家刘焯、王孝通、张遂等关于二次内插法和三次方程的研究与应用也是中国传统数学的重要成果。

5．第三次高峰时期

宋元时期，是中国传统数学的第三次高峰。秦九韶著《数书九章》，创“大衍求一术”（求一次同余元方法）；贾宪、扬辉“增乘开方”，“详解九章”，作“贾宪—杨辉三角形”；李冶撰《测圆海镜》，释“天元术”，朱世杰作《四元玉鉴》，立“四元术”；集中体现了以算法为中心的中国传统数学思想的精要，使中国数学达到极盛。

（二）中国古代数学专著

1．《九章算术》：中国算经之首

《九章算术》唐宋间又称《九章算经》、《黄帝九章算经》，是中国古代最重要的数学经典。据魏晋间刘徽《九章算术注》序载，西汉时数学家张苍、耿寿昌在秦始皇焚书劫余的残篇的基础上，对该书进行了增订删补。现代研究者认为，《九章算术》并非出自一人一世之手，而是数代人辛勤努力的结晶，最后成书当在西汉末到东汉初年。在中国，该书在千余年间被直接用作数学教育的教科书；它还影响到国外，朝鲜和日本都曾用它当过教科书。

《九章算术》共收集二百四十六个应用题，按问题的性质类别分为九章，主要部分采取了以算法统率应用题的形式。《九章算术》取得的数学成就是全面的、杰出的，称它为中国算经之首是毫不过分的。该书对以后的数学著作产生了极其深远的影响。从内容上讲，《九章算术》的九部分内容确定了中国古代数学的基本框架，形成了中国古代数学以计算为中心的特点；九章二百四十六个问题，大都来自人们生产、生活的实际需要，开创了数学理论密切联系实际的风格；全书没有任何数字神秘主义的内容，体现了朴素的唯物主义观点，并为以后的数学著作树立了榜样。从全书结构上讲，《九章算术》一般有“题”、“答”、“术”三个部分，这种以术统题的方法，逐渐形成了中国古代数学著作的一种基本形式。《九章算术》以后，中国古代数学著作主要采取两种模式，一种是以该书为楷模编写新的著作，一种是为该书作注。

2．《九章算术注》：我国古代数学体系走向成熟的标志

《九章算术》是以问题集的形式编成的，对于问题的解法和结论缺少必要的文字说明。公元3世纪的大数学家刘徽为《九章算术》作了注，弥补了原书的不足，使我国古代数学体系走向成熟。在《九章算术注》中，刘徽精辟地阐明了各种解题方法的原理，给出了简要的证明，且指出了某些近似解法的精确程度和个别解法的错误。尤其可贵的是，他开创了一些被后世长期使用的普遍数学方法，这些方法主要包括割圆术、齐同术、今有术、图验及棋验法、重差法等。

刘徽的数学贡献涉及众多领域，他对弧田面积、圆锥体积、球体积、无理数、解方程等问题都有深入的研究。他在特殊的解法基础上，抽象出问题的共性，开创了出入相补、极限逼近等流传千古的普遍思想方法；而且，他以图形和模型来说明文字，把具体操作与理论紧密结合在一起，使中国数学重实践的传统转化为有效的科学工具。所有这些表明，在刘徽生活的时代，中国古代数学的内容、方法、风格均已走向了成熟。

3．《数书九章》：中国古代数学的高峰

中国南宋数学家秦九韶的数学著作。书中共列算题八十一问，分为九类。该书在数学内容上颇多创新，中国算筹式记数法及其演算式在此得以完整保存；自然数、分数、小数、负数都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值；卷一大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数，并首创连环求等，借以求几个数的最小公倍数；在《孙子算经》中“物不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方高斯创用的同类方法早五百多年，被公认为“中国剩余定理”；卷十七市物类给出完整的方程术演算实录，书中还继贾宪增乘开方法进而做正负开方术，使之可以对任意次方程的有理根或无理根来求解，比19世纪英国霍纳的同类方法早五百多年；书中卷五田域类所列三斜求积公式与公元1世纪希腊海伦给出的公式殊途同归；卷七、卷八测望类又使《海岛算经》中的测望之术发扬光大，再添光彩。

《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。