系统的闭环频率特性及特征参数

1）闭环频率特性的绘制

反馈系统的闭环频率特性

式中：G（jω）为前向通道频率特性；H（jω）为反馈回路的频率特性。

可以看出获得闭环频率特性并非容易。而通常G（jω）H（jω）是由一些典型环节组成，系统开环频率特性是很容易获得的。因此，在工程中广泛利用较易绘制的系统开环频率特性来求取系统闭环频率特性、分析和综合闭环系统。

不同于以往采用开环频率特性求闭环频率特性（如M N圆图法和尼柯尔斯图线法），现在常采用MATLAB相关频率特性函数直接获取闭环频率特性曲线。

［例5-09］ 一具有单位反馈系统的开环传递函数求其对应的开环对数幅相特性曲线和闭环对数幅相特性曲线。

［解］ 对应的闭环传递函数为

采用MATLAB绘制开环和闭环Bode图，程序如下。

MATLAB运行结果如图5-30所示。比较图中系统的开环Bode图和闭环Bode图可以看出：在低频段闭环对数幅频特性与0d B线重合，这是因为当∣G（jω）1∣时，

图5-30 系统的开、闭环传递函数

而在高频段，闭环对数幅频特性基本上与开环对数频率特性重合，这是因为在∣G（jω）1∣时，

这些特性有助于通过开环Bode图初步估计闭环频率特性。

2）系统频率特性的特征参数

系统幅频特性曲线的形状和特征参数，反映了系统的品质和性能，可用作系统设计时的性能指标。对于如图5-31所示闭环系统，性能指标主要有零频值M（0）、谐振频率ωr、谐振峰值Mr、截止频率ωb和带宽。

图5-31 系统幅频特性指标定义

（1）零频值M（0）。

M（0）表示在频率趋近于零时，系统稳态输出与输入的比值。M（0）反映系统的稳态误差，M（0）越接近1，反映系统零频时输出越接近输入，稳态误差越小。

（2）复现精度和复现频率。

若给定Δ为系统复现低频输入信号的允许误差，而系统复现低频输入信号的误差不超过Δ时的最高频率为ωm，则称ωm为复现频率，称（0，ωm］为复现带宽。Δ值越小系统复现低频输入信号的准确度越高；ωm越大意味着系统以规定的准确度复现输入信号的带宽越宽。

M（0）、ωm和Δ值决定于系统幅频特性低频段的形状，象征着系统的稳态性能。

（3）相对谐振峰值Mr和谐振频率ωr。

相对谐振峰值Mr定义为绝对谐振峰值Mmax与零频值M（0）之比，即

谐振频率ωr指谐振峰值Mr对应的频率。

对于标准二阶系统且ζ≤0．707，有

（4）系统截止频率ωb与带宽。

截止频率ωb指系统频率特性的幅值下降到零频值M（0）的70．7％时所对应的频率，也就是对数幅频特性幅值相对于M（0）变化－3d B时的频率。而频率（0，ωb］称为系统带宽。

当输入信号的频率高于截止频率时，系统的输出急剧衰减，形成系统响应的截止状态。因此，截止频率和带宽反映了系统响应的快速和滤波特性。对于标准二阶系统，令

即可求得其截止频率