系统的开环频率特性

系统的开环传递函数可以表示为若干典型环节的串联形式

G（s）H（s）＝G1（s）G2（s）…Gn（s）

对应有系统的开环频率特性

可以得到对应的开环幅频特性A（ω）、开环对数幅频特性L（ω）和开环相频特性φ（ω）：

A（ω）＝A1（ω）A2（ω）…An（ω） 　（55a）

L（ω）＝20lgA（ω）＝20lgA1（ω）＋20lgA2（ω）＋…＋20lgAn（ω） 　（55b）

φ（ω）＝φ1（ω）＋φ2（ω）＋…＋φn（ω） 　（55c）

1）系统的开环幅相频率特性

由式（55）知，系统的开环幅频特性等于组成开环系统的各典型环节的幅频特性之乘积；开环相频特性等于组成开环系统的各典型环节的相频特性的代数和。

［例5-05］ 系统开环传递函数G（s）H（s）＝，请绘制开环幅相频率特性曲线。

对应有ω＝0时，A（ω）＝∞、φ（ω）＝－90°；随着ω增大A（ω）、φ（ω）都减小；直到ω＝∞时，A（ω）＝0、φ（ω）＝－270°。根据此过程绘制，可得如图5-24所示Nyquist图。

由虚部0得Nyquist与负实轴交点的频率对应实部值为

［例5-06］ 已知系统开环传递函数G（s）H（s）＝K（T1s＋1），请绘制开环幅相频率特性曲线。s2（T2s＋1）

［解］　

图5-24 的Nyquist图

φ（ω）＝－180°＋arctan（T1ω）－arctan（T2ω）

对应有ω＝0时，A（ω）＝∞、φ（ω）＝－180°；ω＝∞时，A（ω）＝0、φ（ω）＝－180°。

在ω由0随ω增大的过程中A（ω）一直减小，而φ（ω）值均一直在变化，由－180°起最终又回到－180°。当T1＜T2时，在此过程中φ（ω）＜－180°；反之当T1＞T2时在此过程中φ（ω）＞－180°。按此过程绘制，可得如图5-25所示Nyquist图。

图5-25 的Nyquist图

图5-26给出了一些常见系统的幅相频率特性曲线，可以看出：

（1）传递函数中每增加一个非零极点，当ω→∞时，将使极坐标图的相角多转－90°；

（2）传递函数中每增加零的极点，则在ω＝0和ω＝∞时极坐标图相角都多转－90°；

（3）传递函数中每增加一个零点使极坐标图的相角在高频部分反时针旋转90°。

图5-26 常见系统幅相频率特性

［例5-07］ 对图5-27（a）中含延迟环节系统绘制开环Nyquist图。

［解］ 系统开环传递函数

对应有

幅频函数中延滞环节不起作用，相位函数中延滞环节使得相位不断地减小，最终开环Nyquist图如图5-27（b）所示。

图5-27 含延迟环节系统及其开环Nyquist图

（a）系统； （b）开环Nyquist图

2）系统的开环Bode图

系统的开环对数幅频特性L（ω）和对数相频特性φ（ω）共同构成系统开环对数幅频特性，由式（55）知L（ω）可以用各典型环节的对数幅频特性的纵坐标值相加得到，φ（ω）可以用各典型环节的相频特性相加得到。

图5-28所示是各个典型环节的以渐近线表达的Bode图，由图知各环节的幅值都是从转折频率开始离开零频线，即开始在幅值上起作用。因此在绘制系统开环对数幅频图时可依据转折频率的大小，依次加入各个环节。

图5-28 基本环节的Bode图

在系统低频段（指第一个转折频率前），只有积分、微分（可视为负积分）、放大环节在幅值上可不为零，即有L（ω）≈20lgK－20狏lgω，并有L（ω）∣ω＝1≈20lgK。而斜率为－20狏d B／dec则只与积分环节个数有关。

当频率增长时，对数幅频特性渐近线在转折频率处发生斜率变化，变化值与此转折频率上引入的环节有关，分别如表5-3所示。

表5-3 环节渐近线变化

［例5-08］ 系统频率特性G（jω）＝，绘制系统Bode图。

［解］ （1）把传递函数化为典型环节传递函数乘积的标准形式

（2）求各转折频率由小到大为ω1、ω2、ω3、…，选定坐标轴比例并沿频率轴标出各转折频率。

（3）画出对数幅频特性L（ω）的低频段渐近线。

ω＜ω1时渐近线是一条斜率为－20狏d B／dec的直线，狏＝0，1，2，…为系统包含积分环节的个数。在ω＝1时渐近线纵坐标为20lgK。

本题中系统对数幅频特性

在低频段ω＜ω1时，

L（ω）＝20lg7．5－20lgω

令ω＝1有

L（ω）＝20lg7．5

即在横坐标轴ω＝1处垂直向上取20lg7．5得到近似曲线穿过的点。因为存在一个积分环节所以经过上述点绘制斜率为－20d B／dec的直线，这段曲线即低频渐近线。

本题中系统传递函数中只包含有一个积分环节。如果系统传递函数包含有两个积分环节，低频渐近线是一斜率为－40d B／dec的直线。如果系统传递函数不含积分环节，低频渐近线是一条平行于横轴且离横轴20lgK的水平线。

（4）在每个转折频率处改变渐近线的斜率。

如果是惯性环节则斜率改变为－20d B／dec；如果是振荡环节则斜率改变为－40d B／dec；如果是一阶微分环节则斜率改变为＋20d B／dec；而二阶微分环节则斜率改变为＋40d B／dec。

本题中将低频渐近线延长至ω1＝槡2，此后振荡环节加入，故在ω1处系统渐近线经叠加后变为－60d B／dec。随后延长到下一个转折频率ω2＝2，在这以后惯性环节加入，所以在ω2处系统的幅频特性斜率变为－80d B／dec。随后延长到转折频率ω3＝3，在这以后微分环节加入，故从ω3起系统幅频特性斜率又变为－60d B／dec。由上述过程得到系统近似对数幅频特性曲线（见图5-29中实线）。

图5-29 系统Bode图的绘制

（5）对渐近线进行修正。

为得到较精确结果，需对近似曲线加以修正。图5-29中虚线就是本题系统的修正后的对数幅频特性曲线。

（6）画出每一个环节的对数相频特性曲线，然后把所有的相频特性在相同的频率下相加，即得到系统的开环相频特性曲线。

如图5-29所示，图中φ1（ω）和φ2（ω）分别为放大环节和积分环节的相频特性，φ3（ω）为振荡环节的相频特性，φ4（ω）和φ5（ω）分别为惯性环节和一阶微分环节的相频特性。将所有环节的相角在相同频率下代数相加，可画出系统完整的相频特性曲线φ（ω）。

当然也可以用MATLAB相关频率特性函数Bode（）和Nyquist（）等直接获取开环频率特性曲线。上述基于渐近线的绘制更容易理解频率特性中各环节的作用以及后述章节给出的校正方法及其实现。