多极点系统频率特性

时间：2022-10-21 百科知识版权反馈

【摘要】：单级系统和两级系统的分析方法，可推广到对三级以上多级系统频率特性的分析。系统传递函数中各极点性质和极点、零点频率均与各结点处的RC网络参数及信号激励的类型密切相关。因此，系统的稳定与否完全由电路结构自身性质所决定。极点决定系统频率的幅度和相位特性。

8．5　多极点系统频率特性

单级系统和两级系统的分析方法，可推广到对三级以上多级系统频率特性的分析。在此，首先对多级系统频率分析的一般方法进行系统归纳和总结。

8．5．1　多极点系统结构

1）级间耦合驱动模式与等效阻抗

根据电路原理，对于多级驱动电路，可采用电流激励阻抗并联的等效电路，也可采用电压激励阻抗串联的等效电路。本质上讲，这两种等效方式应是等价的，即两种不同形式等效电路的输出电阻应完全相同。

对于电流等效结构，设输出电流I_S为理想电流源，输出并联电阻r_o驱动负载R_L，则理想电流源所产生的理想电压源为V_S＝－I_S×r_o，该理想电压源的串联输出阻抗为R_S，驱动负载电阻R_L。在两种等效电路下，负载R_L上应获得相同的电压。理想电压源对R_S和R_L分压所获得的负载电压为

理想电流源在R_L上分流后而形成的负载电压为

根据两种等效方式在负载上得到相同的电压，有R_S＝r_o，即两种激励的等效输出阻抗相同，电流源并联输出阻抗r_o等于与之等效的电压源串联输出阻抗R_S。电流驱动并联RC网络形成极点、电压驱动串联RC网络形成极点，由于负载电容相同，因此无论采用何种等效激励方式，所形成的极点性质相同、极点频率也相同。

对于单级CS增益，当采用电流激励时，电流源输出阻抗R_S＝r_o。当采用电压激励时，根据以上等效原理，输出阻抗保持R_S＝r_o不变，此时的电压激励信号为V_S＝I_Sr_o＝g_mV_ir_o＝A_vV_i。对于V_i的激励信号，电源等效的串联输入阻抗降低到R_S/A_v＝r_o/A_v＝1/g_m。

2）多级系统传递函数

无论是开环或闭环电路的水平级连，还是Cascode垂直级连，电路的基本特征都是增益级相乘、相位移相加。系统传递函数中各极点性质和极点、零点频率均与各结点处的RC网络参数及信号激励的类型密切相关。因此，系统的稳定与否完全由电路结构自身性质所决定。

对于图8－25所示的两级放大多极点电路结构，各增益级采用电压源等效模型，输出电阻为R_O、输出电容为C_o，其所获结果与采用电流源等效电路的分析结果完全相同。在电压源激励模式下，任意单一环节的传输特性为

式中：Z₁——电阻阻抗；

Z₂——电容容抗。

各增益环节级联后，在忽略Miller电容前馈作用的条件下，电路只有一条前向主通道。若放大器特性理想，则输入电阻无穷大，输出电阻为零。非理想单级放大器具有非零输出阻抗，并且每级具有有限的低频增益A_i0值。因此对于两级增益系统，在非理想电压源激励下，存在输入、中间增益级以及输出共3个极点，其传递函数为

图8－25　非理想激励下的两级放大电路

实际的级联环节由于存在Miller电容引起的非主前馈通道，可采用Miller电容等效原理将前馈通道的电抗分别等效到输入和输出端，然后采用简单级连环节传递函数相乘的原理求。此类方法忽略了前馈通道引入的RHP零点。一般而言，在忽略输入高频极点的条件下，n级增益环节通常包含n个LHP极点和m个RHP零点，且m≤n，则传递函数一般形式为

式中，z_i为各级前馈Miller电容形成的RHP零点，通常都远大于各极点频率p_i。

若前馈电容增加一电阻，则z_i可改变为LHP性质。各结点由于输出阻抗和电容均不相同，造成各极点频率的差异，其中频率最低的极点定义为系统主极点，其余各极点则为次极点。究竟那个结点位置的极点为主极点，依赖于具体的电路结构和状态。因此，当电路静态工作点变化时，电路的极点性质（主极点、次极点的性质和位置）会发生显著变化，并使电路设计与应用的难度明显增大。

8．5．2　多级运放中的极点分析方法

极点决定系统频率的幅度和相位特性。无论开环还是闭环，其极点均为传递函数中分母高阶多项式的根。由于高阶方程的求根很困难，并且实际电路多为二、三阶系统，因此可采用近似方法以加速极点求解，同时不过分降低求解精度。

不失一般性，以二阶系统的极点为例进行分析，二次项1＋b₁s＋b₂s²＝0的解为

式中的系数比x决定了极点的实数与复数性质。同时，在x很小的条件下，由于1－（1－x）^1/2≈x/2，1＋（1－x）1^/2≈2－x/2＝2，即－0．3≤x≤0．3时，实极点的近似解为r₁＝－1/b₁，r₂＝－b₁/b₂。

这就是电路设计中极点分离法的基本条件与相应结果。在｜x｜＞1的范围内，极点变为共轭复极点，而在｜x｜的其他范围内，由于则实极点一定可写成如下简便形式

系数α和β在不同的x区域内有不同的值，由此可快速得到特征方程的解。根据极点不同的近似，产生以下不同的近似分析方法。

1）极点分离法

极点分离法的基本要求，是包括系统次极点在内的各个极点相互之间的距离足够远。以三阶系统为例，包含p₁、p₂、p₃3个极点频率并忽略零点的系统其传递函数为

若满足极点分离的假设，即p₁《p₂《p₃，则特征方程近似为

比较对应项系数得到p₁＝1/b₁，p₂＝b₁/b₂，p₃＝b₂/b₃。再回到初始的假设条件p₁《p₂《p₃，极点分离状态所要求的方程系数应当满足b₁₂》b₂，b₂₂》b₁b₃。这要求b₁的系数尽可能大，b₂系数适中，而b₃系数为最小。

2）主极点法（Dominant Pole）

主极点法是极点分离的一个特例，仅要求主极点远离所有次极点，即p₁《p₂、p₁《p₃，而不考虑次极点的相互关系，即p₂和p₃之间可以比较接近。当主极点p₁远离其他极点时，在主极点p₁频率以外的高频区域，s/p₁》1，则特征根多项式可变化为

根据主极点假设，在b₁s＝1的主极点附近，由于｜b₂s²｜《1＝b₁²s²，｜b₃s³｜《1＝b₁³s³，即b₂《b₁²，b₃《b₁³。

主极点法是最常用的一种分析方法，由于对次极点之间的关系不作要求，因此高阶sⁿ项系数b_n只需满足b_n《b₁ⁿ条件即可。

3）降阶法/升阶法

在特定条件下，当忽略高频下寄生电容效应的影响时，N阶特征方程可降为N－1阶特征方程，两者之间计算的极点存在误差。升阶法则与之相反，考虑高频下寄生电容效应的影响后，特征方程的阶数增加一阶以上。为减小降阶法的影响，只能忽略高频极点的影响。

降阶法的本质是忽略一个大于GBW的高频极点，与之对应的是，升阶法的本质为考虑一个GBW以外的高频极点的影响。变化的均为高频LHP实极点频率，并体现在s项最高阶项系数的变化。当频率s增加到b₂s²＝1时，若b₃s³仍然很小，即1＝（｜b₂s²｜）^3/2》｜b₃s³｜，对应于b₃《b₂^3/2，或b₂₃》b₃²。此时可忽略b₃对应的高阶项而得到低阶系统。

以上消除3阶的判据可推广到k阶降阶设计。降阶法在s高频段的分析会引入误差。与此相反，升阶法则提高了高频下极点及频率特性的分析精度。

需要指出的是，以上3种近似分析方法对开环和闭环均适用，即在特定的条件下通过某种近似分析方法求出系统零极点，判定系统的稳定性并完成相关设计。但遗憾的是，对于闭环系统以上极点分离的近似条件在很多场合下都不成立，因此无法通过近似求解闭环极点的方式完成系统稳定性的分析与设计。在进一步的分析中，将介绍一种由Routh定理给出稳定性的定性分析方法，而定量的设计则采用滤波器等效设计的方法。

8．5．3　多级系统频率特性

以三极点开环增益系统为例，忽略高频零点的微弱影响，则开环系统频率传递函数为

其频率响应如图8－26所示在p₁《p₂《p₃的主极点近似下，－3dB带宽仅由主极点频率p₁确定。每增加一个极点，至少增加45°的相位移，并最多可增加90°的相位移；此外，幅度特性增加一个－20dB/dec的衰减。显然，级数越多，相位迟滞越大，稳定性越差，两级以上系统就有可能导致闭环工作的不稳定。对于各种放大级数，其相位移的范围如下：

（1）单级放大：若只存在单极点，最大相位移90°，PM＝90°；

（2）两级放大：若只存在两极点，最大相位移180°；设相位交点频率为p₁₈₀，由于p₂＜p₁₈₀，则在次极点p₂处的相位移为90＋45＝135°；

（3）三级放大：若只有3个极点，最大相位移270°。当p₃＞10p₂时，p₃忽略后退化为两级增益系统，此时，p₁₈₀≈10p₂；否则，当p₂＜p₃＜10p₂时，则因此相位交点频率p₁₈₀为相近两高频次极点频率的几何平均。

图8-26　多极点、零点系统频率响应

假设在附加180°相位移下，增益裕度要求环路增益应尽量小于1。则在反馈系数为F的闭环负反馈下，反馈系数越大，环路增益越大，相位交点频率下的环路增益大于1的几率也越大，稳定性越差。F＝0则恢复到开环状态，而开环增益通常是稳定的。因此，在反馈系统的稳定性分析中，通常考虑F＝1最差条件下的稳定性设计，当F＝1闭环稳定时，对于F＜1的闭环系统也一定稳定。对于多极零点系统，即使在单位增益条件下其相位移小于180°即PM＞0；但在PM＝0即相位移为180°的条件下环路增益大于1，即增益裕度不满足条件，系统同样无法稳定。理论上，稳定的电路系统要求同时满足相位裕度和增益裕度的条件。

以下分析增益裕度与低频增益和极点的关系。在相位交点频率下，系统由负反馈变为正反馈，则正反馈闭环系统增益为

稳定性设计要求的条件为FA_oL（p₁₈₀）＜1，由于A_CL（0）＝1/F，则有

由此得到A_oL（p₁₈₀）＜A_CL（0）。

以上条件表明，在正反馈频率下的开环增益，至少应低于低频时的闭环增益，才能满足闭环稳定性所需的增益裕度条件。由于F＝1、A_CL（0）＝1/F＝1，由此相位交点频率下的开环增益必须小于1，等效于增益交点频率发生在正反馈相位交点频率之前。

忽略零点的影响，在确定相位交点频率p₁₈₀的条件下，可完成三级放大器的频率响应特性的分析。当p₃》10p₂时，则p₁₈₀≈10p₂。而当p₃接近p₂时，相位交点频率被压缩至两者的几何平均。因为在此频率下，两高频次极点总的相位移为

利用arctan（x）＋arctan（1/x）＝π/2的性质，加上低频p₁主极点贡献的π/2相移，则总的相位移达到π，因此p₂与p₃的几何平均构成了在p₂＜p₃＜10p₂条件下的相位交点频率。代入条件，则在相位交点正反馈频率下的开环增益为

考虑到p₁₈₀》p₁，则相位交点频率下的开环增益近似为

上式成立的限制条件为p₃＜10p₂。当p₃＞10p₂时以上关系不再准确，相位交点频率达到饱和的10p₂点。考虑－10dB的增益裕度，根据式（8－78）的条件及A_CL（0）＝1/F，应有A_oL（p₁₈₀）F≤10^－0．5。结合上式要求，及F＝1条件得到

GBW·F·10^0．5≤3．2GBW≤p₂＋p₃　　　　　（8－82）

闭环系统由增益裕度稳定性给出的限制要求如下：

（1）闭环反馈系数F越小，以上关系越容易满足，因此应考虑到F_max＝1时，满足以上限制关系；

（2）非主极点频率越大，主极点频率越小，导致的GBW越低，以上关系越容易满足，这也是主次极点分离补偿原则的基本出发点；

（3）增益裕度越大，式（8－82）中GBW的系数越大，以上次极点条件越难满足；相反，增益裕度越小，则越容易满足；

（4）当增益裕度为0dB时，次极点满足的最低限制要求为p₂＋p₃＞GBW。这意味着当存在更多的高频次极点时，增益裕度的要求容易满足，而仅存在1个p₂次极点时，满足增益裕度条件需要更大的p₂次极点频率，这一点与相位裕度的要求一致；

（5）零点对频率特性有影响，零点可导致相位移的变化和相位交点增益的提高，增益裕度条件满足的难度增加，只有零点频率高于10GBW时可忽略其影响。

在F＝1、－10dB增益裕度下，以上条件简化为p₂＋p₃＞3．2GBW。因此，从增益裕度的角度考虑，希望有高频非主极点p₃的存在，其位置远离GBW之外，压缩p₂频带以外的增益和噪声。而从减小相位移的角度出发，p₃也是越高越好，通常将p₃放置在大于3GBW之外的位置。

进一步考虑相位裕度，对于最小要求的PM＝45°相位裕度，对应的相位移为180°－45°＝135°，定义在此相位移下的频率为p₁₃₅。显然，若两个非主极点频率相距很远，即p₃》p₂，此时退化为两级增益系统，则p₁₃₅＝p₂，在不考虑零点补偿的前提下，有

考虑相位裕度后，开环增益的0dB点提前到p₁₃₅，因此在存在极高频p₃的条件下，至少有若p₂＝GBW，p₁₃₅频率下的开环增益小于1，相当于PM＞45°。

对于PM＝60°的相位裕度，有

其中

则由开环增益为1的条件，在PM＝60°的相位裕度下，有

考虑p₃的相位迟滞影响后，p₂频率还应适当提高。p₃高频极点越靠近p₂其影响越大，极限影响发生在两个非主极点位置相同的状态，即p₃＝p₂。此时，两极点对相位的贡献相同，只要其中一个贡献45°/2＝22．5°的相位移，就达到了总体135°即PM＝45°的限制。在此条件下，根据p₁₃₅/p₂＝tg（45°/2）＝0．414 2的条件，有

在次极点频率p₂》p₁以及忽略零点的条件下，若p₂＝p₃，45°的PM需要p₂＝p₃＞2．1GBW；对比p₃》p₂，相同的PM下仅需的p₂＞0．71GBW。结果发现，在相同的相位移或PM相位裕度下，高频次极点p₃相对p₂越大，相位交点频率下的开环增益越小，越有利于提高相位裕度。

同样，计算两重合高频次极点形成PM＝60°相位裕度的条件，由p₁₂₀/p₂＝tan（30°/2）＝0．268，得

以上结果表明，在两高频次极点重合的条件下，PM＝60°的相位裕度至少需要3．5GBW以外的高频次极点。在以上各种讨论中，只有很少的状态要求p₂＜GBW，通常状态下都要求p₂＞GBW。而且当RHP零点存在时，对p₂等频率的下限要求更高。需特别指出的是，当p₂＞GBW时，才有GBW＝p₁A_v0。而一旦p₂＜GBW，则实际的GBW＜p₁A_v0。因此，在一般条件下总是要求p₂＞p₁A_v0，以实现较大的带宽。