数学家和数学教育家杨辉

杨辉是南宋时期杰出的数学家。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。除此成就之外，还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”。与秦九韶、李冶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”。

杨辉也是数学教育家。他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，他为初学者制订的“习算纲目”，是我国古代数学教育史上的重要文献。

有一天，台州府的地方官杨辉出外巡游。迷人的春天慷慨地散布着芳香的气息。楝树、花梨树和栗树都仿佛被自身的芬芳熏醉了。杜鹃在芒果枝头鸣啭，画眉鸟蹲在树枝啼声。

杨辉撩起轿帘，看那杂花生树，飞鸟穿林，真乃是一年好景，旖旎风光。走着走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的喊叫声，接着是衙役的训斥声。

杨辉忙问怎么回事，差人来报：“孩童不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道。”

杨辉一听来了兴趣，连忙下轿抬步，来到前面。他摸着孩童的头说：“为何不让本官从此处经过？”

孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了。”

“什么算式？”

“就是把1至9的数字分3行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于15。我们先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。”

杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字，从哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》书中所写的文章中提及的。

杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直至天已过午，俩人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是15，这才站了起来。

孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁你的时间了，到我家吃饭吧！”

杨辉一听，说：“好，好，下午我也去见见你先生。”

孩童望着杨辉，泪眼汪汪。杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底是怎么回事？”

孩童这才一五一十地道出了原因。

原来，这孩童并未上学，家中穷得连饭都吃不饱，没有钱读书。而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学校的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了。

杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易。便对孩童说：“这是10两银子，你拿回家去吧！下午你到学校去，我在那儿等你。”

下午，杨辉带着孩童找到先生，把这孩童的情况向先生说了一遍，又掏出银两，给孩童补了名额，孩童一家感激不尽。自此，这孩童方才有了真正的先生。

教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学。杨辉说道：“方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼》书中的？”

那先生笑着说：“是啊，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题。”

教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”

杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”

教书先生也不知出处。

杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现一条规律。他把这条规律总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。

意思是说：一开始将九个数字从大到小斜排3行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横3行，就构成了九宫图。

按照类似的规律，杨辉又得到了“花十六图”，就是从1到16的数字排列在4行4列的方格中，使每一横行、纵行、斜行4个数之和均为34。

后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。

杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。

《续古摘奇算法》上卷首先列出20个纵横图，即幻方。其中第一个为河图，第二个为洛书，其次，4行、5行、6行、7行、8行幻方各两个，9行、10行幻方各一个，最后有“聚五”“聚六”：聚八”“攒九”“八阵”“连环”等图。有一些图有文字说明，但每一个图都有构造方法，使图中各自然数“多寡相资，邻壁相兼”凑成相等的和数。卷下评说有极高的科学价值。

纵横图，即所谓的幻方。杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神秘性。这是世界上对幻方最早的系统研究和记录。

杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了其构成规律的数学家。自杨辉以后，明清两代中算家关于纵横图的研究相继不断。

杨辉一生留下了大量的著述，除了《续古摘奇算法》2卷外，还有《详解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷法》2卷。

《详解九章算法》取魏刘微注、唐代李淳风等注释、北宋时期贾宪细草的《九章算术》中的80问进行详解。

在《九章算术》9卷的基础上，又增加了3卷，一卷是图；一卷是讲乘除算法的；一卷是纂类。其中的“纂类”突破《九章算术》的分类格局，按照解法的性质，重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。

杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称作“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

杨辉三角的意义在于，其中的数列，能有效地运用于解数字系数的高次方程。无论是在几何、代数还是三角函数中，利用“杨辉三角”都能不同程度地提高解题效率。

《日用算法》，原书不传，仅有几个题目留传下来。从《算法杂录》所引杨辉自序可知该书内容梗概：以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实有，分上下卷。该书无疑是一本通俗的实用算书。

《乘除通变本末》3卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的改进上作出了重大贡献。

上卷叫《算法通变本末》，首先提出“习算纲目”，是数学教育史的重要文献，又论乘除算法；中卷叫《乘除通变算宝》，论以加减代乘除、求一、九归诸术；下卷叫《法算取用本末》，是对中卷的注解。

《田亩比类乘除捷法》，其上卷内容是《详解九章算法》方田章的延展，所选例子非常贴近实际。下卷主要是对刘益工作的引述，下征引了《议古根源》22个问题，主要是二次方程和四次方程的解法。杨辉著作大都注意应用算术，浅近易晓。

其著作还广泛征引数学典籍和当时的算书，我国古代数学的一些杰出成果，比如北宋数学家刘益的“正负开方术”，贾宪的“开方作法本源图”和“增乘开方法”等，幸得杨辉引用，否则，今天将不复为我们知晓。

杨辉不仅是一位著述甚丰的数学家，而且还是一位杰出的数学教育家。他一生致力于数学教育和数学普及，其著述有很多是为数学教育和普及而写。

杨辉在编著《乘除通变本末》3卷的时候，有着很强的计划性和目的性，于是整套教材在体系上显得非常完整。为了使人们学习起数学来，更方便更容易，杨辉还自编了“习算纲目”作为教学大纲，这在我国古代的数学教学上还从未有过。因为普及的对象是面向基层群众，杨辉在数学教材的编写上非常下工夫，除了有教学大纲之外，还有很多内容也是用人民群众容易记诵的“歌诀”形式表达出来。

杨辉便把枯燥深奥的数学知识用通俗易懂的方式传播了开来，同时也使得杨辉的数学在民间流传并保存了下来，给后人提供了宝贵的学习财富。

拓展阅读

有一次，杨辉得到一本北宋数家贾宪写的《黄帝九章算法细草》。这里面有不少了不起的成就，如“开方作法本源图”，他把贾宪的这张画忠实地记录下来，并保存在自己的《详解九章算术》一书中。为保存贾宪的数学成果做出重要贡献。