数学家兼教育家

希尔伯特成年以后上了哥尼斯堡大学，那时的数学专业仍隶属哲学系，老康德当年执教这座大学时也是既讲哲学又教数学，他的一个著名论断是：人的观念不是后天的（即不是从经验得到的）而是先验的。为论证这一点，康德引用了逻辑、算术和几何学中的一些概念作为例子，包括欧几里得几何原理。虽然，先于希尔伯特诞生的非欧几何学使人们对康德的上述论断产生了怀疑，他依然同意“数学王子”高斯的看法，“数只是我们心灵的产物”。在希尔伯特看来，反对康德的算术判断具有先验性质的理论是没有依据的，后者是康德的“三大判断”之一—纯粹理性判断的重要组成部分。

哥尼斯堡七桥问题

在希尔伯特时代的德国，有一条规则如今在西方已经消失，那就是，从第二学期开始学生可以到本国的任何其他一所大学修课。希尔伯特选择的是海德堡大学—德国最古老、最富浪漫情调的学府（他的大学老师里有一位来自海德堡），即使在“二战”期间，希特勒和丘吉尔也有“君子”协定，德国不轰炸牛津和剑桥，作为回报，英国不轰炸海德堡和哥廷根。哥廷根，德国中部的一座大学城，那可是产生过高斯和他的伟大弟子狄利克雷、黎曼的地方，希尔伯特显然神往已久。1895年初春，差不多刚好是高斯抵达一百年以后，希尔伯特来到了哥廷根，那年他已经34岁了，比高斯整整晚了18个年头。

尽管如此，希尔伯特的到来使这座因为高斯逝世而日渐衰落的大学恢复了青春，重新回到了充满激情的年代。在他的身边很快聚集起了一大群年轻的数学家和物理学家。与高斯的孤傲和离群索居截然相反，希尔伯特一生都保持了对散步、旅行和跳舞的爱好，这一点我们不妨与他的同乡康德做一下比较。终生未婚的哲学家始终过着一种禁欲主义的生活，当然也没有学会跳舞，他一生最远的一次旅行是到离故乡60英里以外的小镇阿恩斯多。不过，正如哥尼斯堡有一条“哲学家小道”（邻居们甚至利用康德散步的时间对表），哥廷根也有一条“数学家大路”。有所区别的是，康德总是形影孤单，而希尔伯特散步时却不乏同伴，他们在一起探讨正在研究的数学问题。

希尔伯特不仅是历史上最伟大的数学家之一，同时也是历史上最为成功的数学教育家之一。这一点有赖于一种耐心细致的品格和对教育学的浓厚兴趣，他并不十分看重学生的数学天分，而是相信绝大多数概念要经过多次熏陶才能被接受。“要保持做乘法表那样最低水平的计算能力”，“要从最简单的例子开始”，这是他一贯遵循的基本原则。每当希尔伯特提出一些新的概念，他总是试图采用生动形象的方式，寻找某个参照物以便于学生们理解和记忆。例如，他曾用下面这句自嘲的话说明纯粹的存在性命题和特殊对象之间的联系：“在这间教室中，有这么一位，他的头发根数最少。”又如，在另一门课（大概是逻辑课）上他说：“并非每个叫克特的女孩子都长得漂亮，因为这跟起名字有关，而那是任意的。”在这里，希尔伯特顺便称赞了妻子的美貌。