斐波那契和世纪数学

第三节　斐波那契和13世纪数学

经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展。在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心。特别是商业的发展，带来了相当复杂的计算。这时的欧洲出现了第一批理论数学家。意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家——斐波那契。

斐波那契，又称比萨的莱昂那多。他是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从——阿拉伯教师学习计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系。经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度——阿拉伯数系相媲美。斐波那契于1200年回到家乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成《算盘书》。这是向西欧介绍印度——阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书名中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意，而应理解为“算术”或由印度——阿拉伯数系而产生的“算法”。斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题。在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范。下面简要介绍一下《算盘书》的主要内容。

《算盘书》共有15章。第1～5章介绍印度——阿拉伯数码记数法及其四则运算。他首先给出9个印度数码的写法及符号0的用途，以及如何记数。他还举例说明这种记数法的优越性。介绍了整数的四则运算及乘、除法的验算法，讨论如何把一个自然数分解为质数的乘积，以及能被2，3，5，9整除的数的特点，给出了大量的数表（乘法表、质数表等）。第6，7章介绍分数记法及其运算，混合分数（带分数）的记法按阿拉伯人的方式——分数部分写在整数部分的左边。作者指出用求最小公倍数的方法通分的优越性，阐述了把一个分数展开为几个单分子分数之和的方法，并列出有关的数表。包括商品价格、利润和利息的计算、金属合金的成色、混合物的比例、商品交换、货币转换及各种度量问题等。三位法的使用很普遍，还有较复杂的五位法（或称六个量法则），即解两个三位法的问题。在第11章讨论的混合问题中出现了类似于中国古代数学家所熟悉的“百鸡问题”，不过问题被改为“三十钱买三十只鸟”：“今有30只鸟值30个钱币，其中，每只山鹑值3个钱，每只鸽子值2个钱，一对麻雀值一个钱，问每种鸟各多少？”9世纪阿拉伯数学家阿布卡米尔的数学著作中曾出现过“百鸡问题”，一般认为是由印度传入的。有资料表明，斐波那契接触过阿布卡米尔的著作，因此中国数学史家推测，这类问题是由中国经印度、阿拉伯国家而传入欧洲的。

第12章的内容最为丰富，涉及各种类型的问题，如各种数列的求和法：算术级数、几何级数、平方数数列和递归数列等。几何级数的求和是为解决来自埃及纸草书中的问题，而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中：假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册。问题的答案由下列和式给出：

1＋1＋2＋3＋5＋8＋…＋233

其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象。在12章中，有大量的问题可以化归为解一次方程。斐波那契称未知数为res，即一堆东西，没有引进代数符号。

值得指出的是，在第12章，还有两个问题也是由中国辗转传到欧洲去的：①求一数，它能被7整除，而被2，3，4，5，6除时均余1；②求一数，它被3，5，7除时分别余2，3，2

用双设法解线性方程，讨论了几种情况，计算过程用图表给出。这里还最早用单词minus和Plus表示不足和过剩，后来这两个词变成表示加法和减法的符号。第14章介绍平方根和立方根的近似计算，立方根的计算相当于使用下列公式

第15章是问题汇编，包括大量的几何和代数应用问题，许多内容取自花拉子模的《代数学》。除了未知数用res表示以外，在《算盘书》中，还采用了其他的术语，如根——radix，未知数的平方——census，根的平方——quadratus，自由项——numeres或denarins等。这些用语都是阿拉伯文中相应单词的拉丁文译文。

《算盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名列12——14世纪数学著作之冠，对欧洲数学的发展产生了重要的影响。

除了《算盘书》外，斐波那契还有三部著作传世：《实用几何》《花絮》《平方数书》。在《实用几何》中处理了大量的几何学和三角学的题材，共有8章。内容包括面积和体积的计算、平方根和立方根的近似计算，曲面的剖分，物体的测量以及关于圆的各种计算。应用了二次方程的求解，投影方法和几何图形的相似性等方法。在当时是一种很实用的小册子。《花絮》记载的是在罗马皇帝腓特烈二世的宫廷中举行数学竞赛时提出的问题。内容多是求代数方程的解，如解方程x²＋5＝y²，x²－5＝z²及x³＋2x²＋10x＝20等，他用逼近法给出第三个方程的近似解x＝1．3688081075，精确到小数点后9位。《平方数书》是一部专门讨论二次丢番图方程的著作，其中有许多是他本人的发现。书中系统地编排了各类问题，如详细讨论了上面提到的方程x²＋5＝y²，x²－5＝z²，给出了一系列重要结果及与此相关的命题，如“x²＋y²和x²－y²不可能同是平方数”“x⁴－y⁴不可能是平方数”等。这部著作使斐波那契成为数论中介于丢番图和费马之间贡献最大的人物。

在13世纪以前，欧洲的记数法比较混乱，计算方法也十分复杂、笨拙。印度－阿拉伯数码及其计数法传入欧洲之后，使算术的面貌大为改观。但新计数法代替旧的计数法是一个漫长的过程。在斐波那契之后，又出现了一批介绍印度——阿拉伯算术的著作。在英国，有萨克罗博斯科的《算法书》；东罗马有普莱纽迪斯的《印度算术》；在法国有维尔迪厄的《算法歌》；在德国有约丹努斯的《算法论证》等。这些著作大多用拉丁文所著，后又从拉丁文译成多种文字，通行了几个世纪，对新记数法的引入和计算方法的改进起到重要作用。