问题解决教学的准则

第四节　问题解决教学的准则

有迹象表明，当教师有意识地让学生既了解一般的问题解决准则，又熟悉一些具体的问题解决的技能，同时创造机会让他们练习使用这些准则和技能时，学生解决数学问题的能力会得到大大提高。然而，来自中学数学课堂教学的调查显示，不少课堂教学花在讨论解题方法上的时间在解题教学中所占时间很少，花在讨论学生解答结果上的时间更少。因此，从调查结果看，不少课堂教学中对一般的问题解决的准则，强调贯彻得不够。因此，怎么改变这种现状，是一个值得认真研究和解决的问题。

下面，我们将介绍、讨论并举例说明如何运用问题解决教学的准则，在教学中教师对这些准则承担着双重的任务。一方面，他应该运用这些准则帮助学生解决问题；另一方面，他还应当使学生明确地了解这些准则，并帮助他们把这些准则融化在具体问题解决的行为之中。

一、查明学生理解问题

学生对问题不理解就很难保持对问题的兴趣，一般而言，人们是不会对自己一窍不通的学科感兴趣的。例如，对音乐创作理论毫无所知的人大概不会有分析交响乐的兴趣，同样，对橄榄球比赛知之甚少的人，如果没有培养起欣赏比赛的兴趣，也是不太可能去关心橄榄球运动的。

类似地，如果学生没有理解摆在他面前的问题，那么这个问题就很可能不表现为一个问题。学生必须对问题有足够的理解，以至觉得问题的解答在他们的智力范围之内，只有在那时，它才有可能表现为学生的问题。实际上，在学生看来，如果问题的解答似乎超出了他们的智力水平，那么，他们就很可能没有信心去追求问题的解答了。

有时学生对实际上有能力解答的问题，也会感到超出了他们的智力范围。在这种情况下，教师就有责任保证学生认清在什么情况下问题的解答是自己力所能及的，在学生认识到自己有能力解答某个问题以后，还有一件重要的事就是要弄明白问题的所求是什么。下述问题可以作为完成上述教学任务的指导方针。

1．学生理解问题中的术语的确切涵义吗？比如，如果遇到下列问题：已知等边三角形的中线长为一个单位，试用直尺和圆规求作此等边三角形。那么要理解这个问题，首先必须拥有等边三角形及三角形的中线等方面的知识。

2．学生考虑了所有有意义的信息吗？认出问题中的已知信息对于探索和导出有意义的知识至关重要。许多学生解题不成功，是因为他们不能确定或找出问题的已知条件。

有时，学生不能解决问题，是因为他们没有用到所有的已知信息，他们或许已经透彻地分析了一部分信息。但如果忽视了某些已知条件，那么就可能漏掉了解题的必不可少的信息。例如，假设要求学生确定顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形的性质。如果学生忽视了“梯形是等腰的”这个事实，那么他们的分析只能引导他们得出该四边形为平行四边形的结论。尽管这个结论是正确的，但它不是问题的完整答案。而如果解答者考虑了“梯形是等腰的”这个已知条件，那么，他的分析将使他发现四边形不仅是平行四边形，而且是一个菱形。

3．学生能说明问题的所求吗？显示学生理解问题的证据，包括他们能确认问题答案的性质。答案是一个数还是一个集合的元素？或是求作图形？答案可以由图像、方程式或某些别的数学对象构成。所以重要的是，在阅读完问题后，再认识其答案的性质。认识答案的性质，还能为学生着重于构思解题策略提供方向。例如，考虑下述所谓的抽屉的状态问题：设想1000个关闭着的抽屉排成一列，另外有1000个人站成一排，现在假设第一个人把每一个抽屉都打开，第二个人每隔一个地把抽屉关上（从第二个抽屉开始关），第三个人每隔两个改变抽屉的状态（如果它开着，就把它关上，如果它关着，就把它打开），第四个人每隔三个地变化抽屉的状态，这个过程继续下去，直到这1000个人全部完成了对抽屉状态的操作。问最后哪些抽屉开着？

这个问题的答案是由抽屉编号构成的集合。如果学生理解到这点，那么他们可能会使用的一种策略就是去找出这个集合的元素，由此就有希望找到一个模式，使他们能据此预测其他元素。

一般而言，当问题答案构成一个集合时，一种很有用的策略是设法产生或找出这个集合的一些元素，并希望通过这些元素得到产生其余元素的预感或线索。

尽管知道问题答案的性质，未必能保证找到可行的策略。但是，有些问题通过认识答案的性质，确实能降低解答的难度。应该鼓励学生去确定构成答案的数学实体的种类，并鼓励他们尝试猜想怎样才能产生这个数学实体。

4．学生能用自己的语言叙述这个问题吗？如果适合的话，学生能利用草图解释这个问题吗？如果学生能显示他们知道问题中涉及到的所有术语涵义，并能找出已知的信息，能确定答案的性质，还能用自己的语言叙述问题，那么教师就有切实的把握认为，学生理解了问题。

二、帮助学生搜集有意义的思维材料

为了解决问题，解题者有必要找出对解答问题有关的信息。

不成功的问题解决尝试，通常是由于没有从已知条件中导出足够的信息所致。实际上，不仅需要确定哪些是题目中已知的，而且需要弄清楚已知条件暗示了什么，即由已知的信息（有时也包括有假定的答案或解答）推出的关系，找出这些关系，是获得有意义的思维材料的方法之一。另一种方法是考虑较为简单的而又与给定问题有关的问题，这些问题也许是把题中的某些而不是全部的条件考虑进去。有意义的信息也可以通过认识或找到类似而又有成功解法的问题来获得。解题者在寻找解答过程中受阻，有时是因为他们坚持从有限的角度收集有关的信息，只从很狭窄的角度收集有关的思维内容，在这种情况下，解题者就需要“打破框框”寻找有用信息的新来源。下面我们进一步讨论并举例说明这些技能。

1．通过分析已知条件来帮助学生搜集信息

一旦所有的已知条件都被确定，教师就要鼓励学生由已知条件尽量导出一些有关信息，这是非常重要的，即使可能有些导出的信息看上去对于问题的解答并不见得有用，也应当导出这些信息。教师也许知道哪些信息是有用的，哪些信息是无用的。但对于设法解决问题的学生，有必要这样收集信息，然后再去决定哪些信息对于解题最有作用，所以学生需要训练如何获取信息，如何从中确定最有用的知识和信息。

如果教师劝阻学生不要去导出那些教师已知道对解答无用的信息，那么至少会产生三种不利的后果。第一，学生在获得信息方面不够大胆，但为了得到奖赏，他就要求助于猜测教师会怎么想；第二，不利于学生自己决定哪些信息是无用的；第三，可能会因此压抑那些具有独特潜力和洞察力的学生的解答。

例如，对于求作等边三角形这个问题，让我们确定它的已知条件能导出什么推论。已知条件是什么呢？题目给我们的是：等边三角形的中线，用直尺和圆规求作出等边三角形。那么对于等边三角形的中线，我们知道些什么呢？首先，任意三角形的中线平分与它相交的边，其次，任何三角形三条中线都交于一点，这一点分每一中线成2∶1的比。进一步还可知等边三角形的三条中线满足下述这些条件：

（1）每条中线都垂直于与它相交的边；

（2）每条中线都是角平分线；

（3）三条中线分别相等；

（4）而且，我们知道，等边三角形三边相等、三角相等，所以，每一个角都是60°。

我们还知道，利用直尺和圆规可以进行下面的作图：

（1）可以作出与已知线段或已知角相等的线段或角；

（2）可以平分已知角和已知线段；

（3）给定一条直线，过其上（或其外）一点可以作出与它垂直的直线；

（4）可以作出一些特殊角如90°，45°，60°，30°。

上述哪些信息对于解决本题是需要的呢？为了回答这个问题，一个很有帮助的方法是认为这个问题已解决，看看通过分析假定的答案能获得什么信息。设想我们作出了等边三角形，如下图所示，通过检查已知条件，我们可以进一步推出：△ABD和△CBD的三个内角分别为30°，60°，90°，这个分析有助于解决本题吗？已知一条直角边，能作出内角分别为30°，60°，90°的三角形吗？可能要用到哪几种基本作图？

在下图中，三条中线相交于O点，由几何中的三角形重心定理可知：

我们还有结论：BD＝AF＝CE，这些考虑能使得我们求出线段BO，AO和CO的长吗？怎样求作此△？如果∠FAC＝∠ECA＝30°，那么，我们能求出∠AOC吗？∠AOC和∠AOB相等吗？∠AOC和∠COB相等吗？只用直尺和圆规能作出分别与∠AOC，∠AOB和∠BOC相等的角吗？你还能设计出不同于第一种方法的解法吗？

注意，设计第二种方法，要用到一些在第一种解法中未用到的信息，那么是什么信息第二种方法要用到而第一种方法未用到呢？为什么？上述对这个问题的分析充分说明，教师对待学生的建议应该是开放的，以及在告诉学生什么信息对解题有用时应该谨慎从事。

等边三角形ABC

从已知条件和假定的答案导出信息的策略是攻克问题的有力方法。这种方法尤其适用于解答几何问题。

当然，你可能想知道到底应在什么地方开始分析假定的答案。实际上，两个分析过程是交织出现，相互促进的。正是通过它们之间的相互作用，人们获得了需要的信息。

下面举例说明这种策略在另一种场合下的运用，考虑下述问题：

两条抛物线的焦点重合于y轴上，它们的顶点都在y轴上，且位于焦点的两侧（但不必离焦点等距离），证明：这两条抛物线相交成直角。

我们第一步就是通过尝试画一个草图来理解问题。以y轴为对称轴，抛物线的一般方程是：（x－0）²＝4p（y－k），其中p是焦点与顶点间的距离。设抛物线的顶点坐标是（o，k）。因此，下图中抛物线C₁的方程是：x²＝4p₁（y－k₁）；抛物线C₂的方程是：x²＝4p₂（y－k₂）。现在，让我们来分析问题的结论，两曲线相交成直角指这两条曲线在它们的交点处的切线是互相垂直的。由此可知，交点处的两条切线斜率之积应等于－1，于是，问题变成：“我们怎样才能确定两条曲线在交点处的切线斜率之积等于－1的事实？”为了回答这个问题，我们必须求出切线的斜率。

抛物线C₁与C₂

这就提示解答者应当返回到前面由已知条件导出的抛物线方程，根据它们去确定交点处的切线的斜率。用代数方法不难求得两曲线的交点，而交点处的切线斜率则能通过求曲线方程的一阶导数来确定。通过求导和代入焦点坐标我们得到下面两式：第一条抛物线在点A的切线斜率＝－。第二条抛物线在点A的切线斜率＝＋。将二式相乘并化简，得－，解答者到此可能受阻，这个式子怎么等于－1呢？

我们使用了所有的已知信息吗？没有！我们还没有用到抛物线具有相同的焦点这个事实。这个信息是怎样使我们彻底解决本题的呢？

向学生征求信息的方式可以多种多样。比如一些较为明显的蕴涵关系可以让差生来提，或者让差生同意由其他学生自愿提的信息。教师也可以先接收某个学生陈述的内容，然后叫其他同学加以证实或否定。在获得了有意义的信息以后，教师应当避免直截了当地告诉学生哪信息有用哪信息无用。虽然不应让学生完全置于窘境之中，但让他们自己决定这问题是很重要的。

2．通过分析类似的问题帮助获取信息

有时，解答某个问题所使用的分析方法能充当分析另一个问题的基础。有些问题十分相似以至于用这个方法完全可行。为了举例说明这个方法在实际中如何运用，我们看一个几何问题：求作两个不全等的圆的外公切线。下面，我们先通过分析介绍这个习题的解法，然后我们再提供一段课堂对话，它是一段虚拟的教师帮助学生求解一个类似的问题的记录，这个类似的问题是：求作两个不全等的圆的内公切线。

作两个不全等的圆的公切线

首先考虑求作两个非全等圆的外公切线问题。下图描画了一条外公切线。根据几何定理，可知：AO⊥AB，OB⊥AB，其中A，B是两个切点。洞察力加上分析将导致我们去作过点O＇且平行于AB的线段，这样便得到一个矩形ABO＇C，于是CO＇将和一个以O为中心，以r₂－r₁为半径的圆相切。如果我们只利用两个给定圆能求出C点，那么我们就能确定点A，进而能确定点B。于是问题化为确定点C，进而可确定点A。点B的确定，则可以用两种方法，或者过点O＇作垂直于CO＇的直线，或者过A点作垂直于OA的直线。

那么，上述对类似的问题所做的分析对解答求作内公切线问题有什么帮助呢？或者说，通过回想这个类似问题的分析，能使我们获取关于内公切线问题的有意义信息吗？下面虚拟的课堂教学过程是基于该思想方法设计的。

1．第一步：引导学生弄清楚这个问题

开场白：这是一个求作两圆公切线的问题。相信大家还记得，我们前面讲过了如何求作两圆的外公切线，大家还记得我们对那个问题的分析吗？（学生肯定会回答：记得）很好，那么现在我们的问题是要求作两圆的内公切线。（通过提问引导学生复习内公切线的概念），有谁能说出内公切线的定义吗？（稍停，指定一个中上水平的学生作答，视回答的情况，作必要的补充和重复，以使学生完全弄清楚这个概念，并注意强调内公切线除了要与两圆相切外，还必须与连心线相交，以此显示与外公切线的区别）。为了有助于大家对这个问题的分析和理解，下面想请一位同学到黑板上来画一个草图（稍停，叫一位同学到黑板上作了一个如下图所示的草图）。

2．第二步：引导学生寻找解题思路

提问：有谁能告诉大家，怎样作出内公切线？（这是一个大问题，目的在于激发大家思考，这个问题不是一下回答得了的。可能有各种各样的猜想。对此，教师要有较敏锐的判断能力和较好的应变能力及反应能力，下面是一个设想的情节）

作两圆的内公切线

学生：可以这样作，先把两圆的连心线上的线段MN平分，设分点为P（学生的回答看来是根据直观作出的判断，老师容易知道，作这样的点对作公切线毫无帮助，但老师不必直接否定学生的想法，而应引导他说出自己是怎样想的，以暴露学生的思维过程）。

老师：看来有点意思，那么接下来怎么做？

学生：只要再过点P作两圆的切线PQ，PR（学生的这个回答暴露了他是基于对草图的直观理解作出的，他误以为内公切线与连心线可能交于P。这种错误，是学生在解几何题时最易患的毛病。对学生的这个错误答案，老师不应直接否定，更不应去批评、指责，而是应该设法引导他与其他同学用批评的眼光来审视这个错误答案，让他们从中受到启发和教育）。

老师：你怎么知道这两条切线会在同一条直线上呢？

学生：（想了想）我能证明这一点，我敢肯定（看来学生被直观的草图束缚了自己的思维，他也许真的想出了一个所谓的证明，那肯定是错误的。这一点老师完全能判断出，但老师不应去与学生争论，也不必花时间去听他的所谓的证明，而是引导别的同学，提出不同的意见）。

老师：也许可以证明，其他同学同意他的结论吗？（引导学生发表不同的看法，经过一番观察、分析、争论，结果发现那位学生所提出的方法只适用两圆半径相等的情形，因而使学生认识到，这个解法不行，所以应寻找别的思考角度，经过一番尝试之后，学生们感到提不出别的方法。此时，到了老师引导他们回忆上次已经解决过的类似的问题了，下面的问题应是教学过程中设计好的。）

老师：我们要求作的是两圆的内公切线，我们曾经讲过怎样求作外公切线，可以说，这两个问题有着一定的类似性。那么，那里的方法对我们有用吗？让我们回想一下我们分析那个问题的过程中，哪个步骤是关键的？

学生：当时的关键步骤是作出一个与圆同心半径为r₂－r₁的圆。

老师：对了，我认为这个信息对我们可能很重要，那么，这个信息能启发我们做什么呢？能猜一猜吗？（关键的信息抓住以后，到底有什么启发，怎么用，对此，应激发学生的思维和想象力，让他们大胆地猜想，这是培养创造性思维能力的关键。）

学生：也许它是个和，我的意思是，也许可以作一个以已知的两圆半径之和为半径的同心圆（经过老师的引导和学生的努力思考，有意义的猜想终于出现，赶紧加以肯定，并给予鼓励，并趁机追问，以求更多的发现和猜想）。

老师：那倒是个很好的想法，那么，接下来怎么做？

学生：我还不知道（可见学生的猜想是一时的灵感，还不是深思熟虑的产物，有必要继续引导，再让学生从原问题的分析中借用有用的信息）。

老师：还记得我们求作外公切线时是怎样做的吗？

学生：我们作了一个矩形（学生回忆起了这个有用的信息），现在我们也可以尝试一下，作一个矩形。

老师：我认为你们提出了一个很好的想法，那么怎么求作一个矩形呢？

学生：我想起来了，当时，在作外公切线时，是自O＇引半径为r₂－r₁的那个圆的切线，现在，我们的新圆的半径是r₁＋r₂，我们可以考虑过O＇引这个新圆的切线，得到一切点，由这一点就可以作出所求的内公切线（老师赶紧按照学生的思路，把新圆和所引切线及切点画出，得到如下图所示的图形）。

老师：很好，刚才根据同学的想法，求得了A点，连OA交圆O于B，那么再过B作OA的垂线，则此垂线与圆O相切（说明理由），此切线也必与圆O＇相切（说明理由）。

通过构造矩形来作两圆的内公切线

于是，求作两个不全等的圆的外公切线，可以按下列步骤进行：

（1）作与大圆（中心在O）同心且半径为r₂－r₁的圆，其中r₂表示大圆的半径。

（2）由小圆的圆心O＇作所作圆的切线。记切点为C。

（3）画直线OC，OC与圆O的交点记为A，点A即为切点。

（4）过点A作OA的垂线，它就是所求的外公切线。

另一种利用类似问题解法的方式是考虑与原问题有关的一些简单而又关联的问题。例如，考虑所谓的棋盘问题：标准的8×8棋盘上含有多少个正方形？如下图所示，起初一看，好像8×8棋盘只含64个方格，但进一步考虑就会发现，所含的方格数远不止64，那么到底比64多多少呢？让我们考虑一些更简单而又相关联的问题。这个棋盘上，还有些什么规格的正方形？显然，有2×2和3×3规格的正方形。

8×8棋盘上的正方形

教师可以要求学生求出棋盘上2×2规格的正方形数。通过提问帮助学生认识到，这种正方形有49个。这可以通过对上图的分析推导出来。在解决了2×2规格的正方形个数后，我们可以考虑另一个相关联的问题，3×3规格的正方形有多少个？对这个问题应鼓励学生冒点险，让他们提出猜测，然后来验证或否定猜测。可以通过直接数出这种正方形的总数去验证。直接数一数，我们可以验证共有36个3×3规格的正方形。到此，获得的信息有如下的对应关系，我们从中可以找出一个模式，并通过直接数的方法验证这个模式。

3．当学生因所用方法始终未能奏效而感到沮丧时，帮助他们换一个角度思考问题

有时，问题不能求解是因为解答者不能“打破框框”，习惯于套用某种现成的方法解题，解题者也许从已知条件中导出了大量的足够丰富的信息，或许其中还有许多知识对解题很有价值。但是，他们利用信息的方法可能不是有效的，如果解题者老是抱着这种方法不放，那么他就很有可能失去信心，并放弃不做。例如考虑下述问题：

AF和BG是单位圆0的两条互相垂直的直径（如下图所示），点C是弧AB上的任意一点。CE平行于直径BG，CD平行于直径AF，求DE的长。

你很有可能根据已知信息确定了角C是直角。这时，如果你求DE长的思路是基于将勾股定理应用于三角形CED和EOD来考虑的，那么你的尝试极有可能会失败。从已知的条件来看，这样一种思路似乎是十分合理的，但是在经过一番尝试之后，解题者应当承认使用勾股定理不会有收获，所以，解题者必须寻找别的思路。不再考虑用三角形CED和EOD，而是去考虑四边形CEOD。你或许已经观察出来了，它是一个矩形（为什么呢），对于矩形，特别是对于矩形的对角线，我们知道些什么性质？从这些考虑，看看是否能确定为什么有DE＝1。

求圆内线段长

对于前面因采用勾股定理解答本题而变得沮丧的解答者，就有必要换一个角度进行考虑。从不同的观点分析问题，有时可以先把问题搁一搁，过段时间再考虑它。这并不是说人们在尝试寻找解法时，每次遇到挫折就放弃解题。如果解题者已经有信心确定某条解题思路可行，那么就应谨防随意放弃这条思路。

根据定义，问题是具有一定的障碍性的，解答是不容易的，不仅要有敏锐的洞察力，还要有坚韧不拔的精神。对一时难以解答的问题，换一个角度思考，也许能够丰富自己的思维内容，找到成功的解法，甚至捷径。但有些问题往往需要冗长的推导和复杂的计算，解题思路可能很不简单。对于这样的问题在找到更巧妙的解法之前，不应随意放弃已找到的解法。

三、为学生营造一个有利于解题的气氛

查明学生理解问题，帮助学生获取所有有关信息并不能保证学生就能解答问题，问题的解决需要有一定程度的洞察力，这种洞察力必须经过智力上的努力才能获得，教师不可能提供这种洞察力，而只能提供一种有利于学生将自己的创造力专注于解题的气氛。教师指出学生解题的思路可行，并给足他们研究问题的时间以此可以鼓励和激发他们解题的努力。如果教师自己认识到问题的障碍性，并做到了不因学生采用无效方法而使他们处于不利境地，那么教师就可能会以正面的方式来鼓励学生，比如可以说“那是一个好的开头——继续下去”，“那样也许可行——试试看”，“我也曾被这个问题难住——你要花时间好好考虑”。你还要时常给学生提示或建议，特别需要给那些因实施不奏效的解题思路而受挫折和沮丧的学生以提示。当学生由于受挫而放弃问题，无论是他们的自我概念还是他们的数学态度都将受到损害，学生无论在数学上还是在心理承受能力上都还不成熟，那种时刻最容易使其丧失信心。当然，还有必要提醒一下，教师在给学生提示时必须小心行事，避免打击那些初看起来显得无效但实际上颇具洞察力的解题思路。教师还应当帮助学生，简洁明白地提出猜想，然后再验证猜想。先形成猜想，再验证猜想，已被证明是一种行之有效的问题解决策略。应该鼓励学生大胆去猜想，然后对猜想加以验证、否定或修正，这种活动常为数学家和数学教师解决问题时使用。遗憾的是，教师们常常总是把自己起初的一次次失败以及一次次走进死胡同的结局隐藏起来，不让学生知道。总是给学生这样一种强烈的印象，我们解题时所具有的行为是完全演绎式的。长期这样下去会误导学生，使他们感到灰心丧气。其实我们应该使学生认识到，教师使用问题解决的准则和方法以及探寻过程，同鼓励他们使用的问题解决准则和方法以及探寻过程是一样的。

鼓励学生提出猜想、验证猜想常常能导致学生发现问题的多种解法，这就能为教师提供以实例说明数学潜在动力的机会，由此也许可以减轻一部分学生的心理压力，因为这些学生往往以为他们必定能找到正确的解法。从问题定义的另一面看，要成为个人真正的问题，还必须解答者要有解答的兴趣。在问题解决教学中，教师应能利用这一点。在帮助学生理解问题，获取有价值的思维素材及给了他们适当鼓励和足够的时间以后，接下来教师必须等待学生产生自己的解法。

四、及时鼓励学生对问题及解法进行反思

在找到问题的解法后，让学生回顾一下自己经过努力所获得的成果，既会使人别有一番享受，又有启发意义。学生在努力解决问题时，经历着一定程度的紧张，一旦找到了问题的解法（或一旦学生确信问题的解法已经找到），这种紧张立即就被胜利的喜悦感所代替。学生经过长时间智力活动，终于克服了解法寻找过程中遇到的种种障碍，这种经历会使他们体会到战胜困难后的愉悦。

让学生有机会品尝自己取得的成就，能强化学生的成功感。

抓住时机利用这种积极的态度，鼓励学生去验证由归纳过程找到的解法，去寻找不同的解决思路，去研究与所解问题有关的问题，可以促进学生对所解问题有更深刻的理解。下面的每一种策略都将说明如何利用学生的成功感。

1．让学生验证未经演绎方法确定的解法

如果解题思路是用演绎的方法确定的，那么解法的验证实际上已蕴涵在演绎过程中。例如前面求作等边三角形（已知它的中线）的方法，我们使用了由已知信息和经过分析所演绎的信息。

演绎推出的信息至少说明了用于完成作图的程序的合理性。然而，通过归纳手段找到的解法，则是没有经过验证的，虽然它的验证对学生而言也许是完全可能的和可接受的。

例如，看下面的问题：在一个给定的三角形内求作一个内接正方形，使得它的两个顶点在三角形的底边上，而其他两个顶点应分别落在三角形的另两条边上。

除非考虑了下面这个更简单且与之有关的问题，否则这个问题的解答将是比较困难的。能否作出这样的正方形，使得它的两个顶点在三角形的同一边上，它的第三个顶点在三角形的另一边上，而对正方形的第四个顶点的位置没有限制？下图说明了几个这样的正方形。把点D，E，F与三角形顶点A联系起来，能观察出什么关系？对不同的几个三角形作这种图，会使你确信：点D，E，F与A是共线的，这个结果应该暗示了这个问题的解法。

几个符合条件的正方形

这个解法是基于下面这个由归纳方式建立的猜想：点D，E，F以及所有构作的正方形的第四个顶点都与已知三角形的相应顶点共线，能证实这个猜想吗？实际上要证明它只需确立下面几点的共线性：任意两个正方形的第四个顶点M和T与已知三角形的顶点A共线。那么一般能使用什么策略证明三个点的共线性呢？如果利用解析几何，就可以使用两种策略：一种是利用斜率，另一种是利用距离公式。下面我们使用斜率概念来证明。

为了利用解析几何知识，我们必须给三角形ABC的各顶点赋予坐标。显然把A点置于原点，把AB放在正X轴上是合适的。赋予K的坐标为（a，o），并假定正方形K，L，M，N的边长为b，那么L，M，N的坐标分别是什么？又赋予R的坐标为（c，o），并假定正方形R，S，T，V的边长为d，那么S，T，V的坐标各是什么？利用斜率的概念验证A，M，T的共线性，必须建立起什么关系？对这些问题的考虑将导致这个关系的证明。

当问题解决的目的是建立数学命题时，那么问题解决的教学教师实际上是在上一堂发现课。因此，完全可以这样说，问题解决的探索经历其实就是发现课。

2．鼓励学生寻找和介绍问题的不同解法

教师应该虚心接受学生发现的别的解法。人们往往容易满足于某一种解答方法，而排斥其他的方法。教师如果不能虚心地接受或让学生提出不同的解题方法就可能会窒息学生的创造性，甚至会使学生受到这样的危害，认为其他的解答方法没有根据或不正确。通过鼓励学生介绍新颖的解法，教师就获得了以实例说明数学的相互关系及其魅力的机会，同时也获得了促进学生数学方面的自我概念的机会。

有时学生们能凭着他们各自的聪明智慧，想出各种各样的解题方法，他们会乐意介绍新颖的解法，尤其是当他们的思路比其他同学甚至比老师的思路巧妙时更是如此。教师不应当美化自己解题的技能，相反，应该热情评价和鼓励学生的聪明智慧，或许还应该为自己创造了学生作出发现的机会而骄傲。如果另外的解法看起来并未显示出不同之处，那么教师就可以要求他们重新把注意力集中到这个问题的不同方面，以此来鼓励他们挖掘出不同的思路。

3．激励学生研究给定问题的变式题

向学生介绍源于给定问题的富有启发性和挑战性的问题，能激起学生数学上的好奇心，通过改变问题的某些条件，你就能设计出可供学生研究的另一些问题。例如，一旦学生解决了前面的棋盘问题，就可以向他们介绍下面这些变式问题：（1）n×n棋盘上含有多少个正方形？（2）8×8×8方体含有多少个立方体？解答过原来这个棋盘问题的学生很快就会意识到：第一个问题的答案不是n²，第二个问题的答案也不是8×8×8（＝512）个立方体（为什么），教师可能愿意把这些颇具启发性和挑战性的问题留给学生思考，并在以后再返回看看学生考虑得怎么样。上面的方法常常是激发兴趣的有效方法。

如同棋盘问题的情况一样，在一般情况下通过把二维的情形改为三维的情形也能对其他一些问题进行改编。例如，在学生已经发现平面上到给定两点等距离的点所构成的直线的方程以后，可以激励他们描述空间中到给定两点等距离的点所构成的集合。

通过修改问题的其他方面也能产生变式题。例如改变它的已知或者所要求的条件。比如求作等边三角形问题，可以把它变化成：给定等腰三角形的底边上的中线和另外一条中线，求作这个等腰三角形。进一步还可变成下面这个复杂的变式题：给定任意三角形的三条中线，求作这个三角形。还比如在讨论两个非全等圆的外公切线的作图时，所介绍的变式题实际上就是其后的求作内公切线的问题。给定问题的变式题常常是一些颇为类似的问题，这类问题有时可以借助于类似于原问题的求解分析过程加以解决。