常用的逻辑推理方法

第五节　常用的逻辑推理方法

常用的逻辑推理方法有归纳法、演绎法和类比法。

一、归纳推理

归纳推理或称归纳法，是从特殊性的前提得到一般性结论的推理方法。

根据归纳推理的前提与结论所作判断的范围是否相同，归纳推理分为完全归纳法和不完全归纳法。

1.完全归纳法

如果归纳推理的前提的判断范围的总和等于结论判断的范围，则这种归纳推理叫做完全归纳法。

完全归纳法是必真推理，只要前提判断为真，推理所得的结论必为真。因此完全归纳法是一种严格论证方法。尽管完全归纳法的推理前提是某类对象的多个判断，有一定局限性，但通过归纳推理，得到全类对象具有的属性，网此它将局部认识扩展到全部，从个别上升到一般，起到认识深化的作用，另外它也是发现真理的一个重要方法，应用甚广。

例如中学平面几何课本中证明定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，使用的是完全归纳法，它通过证明圆周角的3种不同位置的命题都成立，而归纳得到一般性结论成立。

2.不完全归纳法

如果归纳推理的前提的判断范围的总和小于结论判断的范围。则这种归纳推理叫做不完全归纳法。

不完全归纳法是似真推理。由于它的前提判断范围仅是结论判断范围的一部分，即使前提为真时，结论不一定为真。虽然不完全归纳法有一定局限性，但由不完全归纳法所得的结论往往是真理的先导。科学的归纳方法是发现真理的有效方法。历史上许多著名的数学猜想都是源于不完全归纳法，而且许多猜想都被证实，如前面讲述的四色问题猜想和费尔玛问题猜想都成为著名定理。

不完全归纳法的作用较之完全归纳法更大，它不但使人们的认识进一步深化，而且在发现真理的方法上更具普遍性。

不完全归纳法在运用上可分为枚举归纳法和因果归纳法两类。

（1）枚举归纳法

枚举归纳法是指根据某类被研究对象中的部分对象具有（或不具有）某一属性p，而推断出该类的全部对象具有（或不具有）属性p的归纳方法。

由不完全归纳法得“任何大于2的偶数可以表示为两个奇素数之和”。这是著名的哥德巴赫猜想，它来自枚举归纳法。

（2）因果归纳法

因果归纳法是依据某类对象的某一属性p，因条件A在，一系列变化中对p的出现和变化有关键性的影响，从而推断条件A是该对象具有属性p的原因所使用的推理方法。

人们在长期的实践中，对不同的因果关系作深入研究，总结出5种确定因果关系的归纳方法：求同法，求异法、求同求异法、共变法和剩余法，合称“穆勒五法”。这些方法被广泛应用于科学研究和数学猜想之中。

①求同法

依据某类对象的某一属性中，在几种不同的情形下都出现。而在各种条件中，只有一个条件A是共同的，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。

②求异法

依据某类对象的某一属性p，只在其中一种情形（不妨设第一种情形）出现，而在另一种情形不出现。在这两种情形中，除第一种情形特有条件A外，其他的条件各情形都相同，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因或部分原因。

③求同求异法

依据某类对象的某一属性p，在一系列情形中，凡有条件A的都有属性p，凡没有条件A的都没有属性p，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。

④共变法

依据某一类对象的某一属性p，在一系列情形中，其中只有一个条件A变化，其条件保持不变，发生变化的条件从数量或程度影响属性p的出现，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。

⑤剩余法

依据某类对象的某一属性p，在一系列情形中，一组条件产生一组属性，如果除去条件A，属性p不出现，其余的条件均能确定余下的属性，从而推断条件A是被研究对象具有属性p的原因。

海王星的发现，是人类成功地运用剩余法的一个光辉例子。在1781年，人们发现了太阳系中第六颗行量——天王星，并用数学编制行星的运行表。可是实际的观测数据表明，天王星的运行与计算的结果差异很大。为解决这一矛盾，对影响运行轨迹的众多条件，进行了逐一检验，排除。最后，人们开始怀疑这是因为天王星之外还有一颗未知的行星，其引力使天王星的运行偏离于编制的轨道，到1844年和1845年两位青年天文学家和数学家——英国的亚当斯和法国的勒威烈，按存在一个新行星的假设下，各自独立地根据万有引力定律和天王星的观测资料，进行大量计算，推出那颗未知行星的运行轨道和方位，1846年，果然由德国天文台按他们预示的位置找到了那颗行星——海王星。由此可见，归纳法在发现真理上有着巨大作用。

演绎推理或称演绎法，是从一般性较大的前提推出一般性较小的结论的推理方法。

演绎推理属必真推理。当前提为真，按照演绎推理所得的结论也必为真。

应该指出，演绎推理成为必真推理是有条件的，它要求一般性较大的前提与一般性较小的结论有着内在联系，也就是前提判断的范围应该包含了结论判断的范围，才可能成为必真推理。

为了使演绎推理成为必真推理，人们创造了便于应用这种推理的格式——三段论

1.三段论

由两个前提推出一个结论的演绎推理叫做三段论，其中两个前提分为大前提和小前提，大前提是一个较大的一般性原理，小前提是一个与大前提有密切联系的特殊判断，结论则是大前提和小前提的逻辑结果。

常用的三段论分为直言三段论和假言三段论。

当三段论的两个前提为直言命题时，这种三段论称为直言三段论。

直言三段论的逻辑结构基本形式是：

大前提：一切M都是P，

小前提：S是M，

结论：S是P。

这是一条恒真命题。因此，三段论推理形式是一条必真推理。它为演绎推理的可靠性提供了严格的理论基础。

直言三段论的基本形式可以派生出另外3种形式

①一切S不是P，

S是M，

S不是P。

②一切M是P，

部分S是M，

部分S是P。

③一切M不是P，

部分S不是M，

部分S不是P。

派生而得的三种推理形式。通过比较推理规则可知，在实质上，它们与基本形式没有区别，派生的三种形式仅是为了便于应用和理解，它还可以派生出另外一些形。式通常我们把原来的基本形式和派生的三种形式合称为直言三段论四种形式。

当三段论的前提中包含假言命题时，这样的三段论称为假言三段论。

假言三段论的基本推理式有两种：肯定式，否定式。

三段论在数学演绎推理中起着十分重要的作用，特别是初中平面几何的证明，更是要求三段论格式规范，论证严密，以达到培养逻辑思维能力的目的。在实际运用，为简便，一般省略大前提，但层次必须分明。

2.归纳与演绎的关系

归纳与演绎是相互联系，互为补充的两个推理方法。

（1）归纳作为演绎的基础，演绎作为归纳的前导。

数学体系的任何推理，都基于一定原始概念和公理，这些公理来源于人们长期实践中的归纳，离开了这些归纳事实，一切演绎成为无源之本。

数学的抽象是多级抽象，数学的归纳也是多级归纳，高层次的归纳总是以已知真实判断为前提，而这些前提又来自演绎的结果、演绎产生的矛盾往往是归纳的起因。

（2）归纳为演绎提供科学假说，演绎为归纳提供理论依据。

归纳由特殊到一般，有高度的概括性，有揭示事物规律的作用。虽然它的结论不一定可靠，但科学的归纳，提供了科学假说，像一盏明灯指引前进方向，如四色问题，经历了几百年的研究，产生了许多数学方法和理论，促进了数学的发展。

演绎推理是归纳推理的继续，为归纳推理的局限性，由演绎推理得到补充，演绎推理的恒真性为论证科学假说的正确性提供有力保证。

尽管演绎推理所得的结论十分可靠，但演绎推理受它的前提所限，它不能论证超越前提所规定的范围，亦即永远不能超出公理体系所描述的范围，因此，它不可能创新一个新体系，这样的局限性，需要由归纳推理去补充。

恩格斯指出：“归纳和演绎正如分析与综合一样，是必须互相联系着的，不应当牺牲一个而把另一个棒到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。”依此教导，反省我们的基础教育，偏重演绎而忽然归纳的教学方法，不是值得改进吗？

3.数学归纳法

数学归纳法是与归纳法有密切联系的一种数学证明方法，是完全归纳法的一种补充。数学归纳法遵循着归纳法的那种从有限多个对象的考察，推断出一般性结论的思想方法。数学归纳法能解决无限多个对象的归纳问题，实现由有限向无限转化，它的理论依据在于自然数的本质属性——皮亚诺公理体系中的归纳公理。数学归纳法可以说是归纳公理变换命题的一种数学表现形式。它是人类用有限来刻划无限的有力工具。是将无限过程用有限间的递进给予解决的方法。数学归纳法是演绎法的一种特殊形式，不是归纳法。

数学归纳法的形式有多种，分第一数学归纳法、第二数学归纳法和反向数学归纳法。

（1）第一数学归纳法

第一数学归纳原理：

设p（n）是关于自然数n的命题，若

1.当n＝1时，命题p（1）成立。

2.假设当n＝k时，命题p（k）成立，可以推出p（k＋1）成立。

则p（n）对一切自然数n都成立。

根据数学归纳原理的证明方法，就是数学归纳法。

原理中的1，2两部分，分别是数学归纳法的基础（初始值）和归纳。两者缺一不可。

应用数学归纳法证题，必须运用第二部分的归纳假设条件，否则这样的证明不成为数学归纳法证明。

第一数学归纳法还有两个基本变形：

推论1　设p（n）是关于自然数n（n≥n₁）的命题，若

1.当n＝n₁时，命题p（n₁）成立，

2.假设n＝k时，命题p（k）成立，可以推出p（k＋1）成立，则p（n）对一切不小于n₁的自然数n都成立。

推论2　设p（n）是关于自然数n的命题，若

1.当n＝1，2，3…l时，P（1），p（2），…p（l）都成立。

2.假设n＝k时，命题p（k）成立，可以推出p（k＋l）成立，则p（n）对一切自然数的n都成立。

推论1指出初值n＝1，可以推移至n＝n₁，推论2指出推证跨度由1变为l，但必须验证初值p（1），p（2）…p（l）成立。

（2）第二数学归纳法

第二数学归纳原理：

设p（n）是关于自然数n的命题，若

1.当n＝1时，命题p（1）成立。

2.假设当n≤k时，p（n）都成立，可以推出p（k＋1）成立。

则p（n）对一切自然数n都成立。

（3）反向数学归纳法

反向数学归纳原理：

设p（n）是关于自然数n的命题，若

1.p（n）对于无穷多个自然数n成立。

2.假设当n＝k＋l时，p（k＋1）成立，可以推出p（k）成立，则p（n）对一切自然数n都成立。

三、类比推理

其他推理或称类比法，是根据两个或两类事物在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。

类比推理的形式如下：

对象A具有属性a，b，c，d，

对象B是有属性a，b，c，

所以对象B具有属性d。

类比推理是以比较为基础的。

由于类比推理是对两类特殊的对象作比较，从而得出某一类特殊对象具有某一属性的推理方法，因此，类比法是由特殊到特殊的推理方法。

类比法得到的结论不一定可靠，故它属于似真推理。

1.类比推理的类型

（1）简单类比

数学的类比是通过两类数学对象的比较、抽象、概括，从其中一类对象的判断，得到另一类对象的新判断的一种推理。如果类比较为直观、流于形式，那么这样的类比就是简单类比，由于简单类比难以深入揭示类比的两类对象的内在联系。这样的判断可靠性差。

（2）普遍类比

如果类比从较大范围作深入比较，揭示两类比较对象之间的内在相似，这样的类比就是普遍类比。普遍类比的科学性越高，类比的结果越可靠。例如波利亚提出的类比形式：

A类似于B，

B真，

A更可靠。

这种类比形式十分明了、简洁，深刻指出类比结论可靠程度。实际上，它是类比形式的变形，按类比形式可写成：

关于对象B的命题为真，

类似于B，有关于对象A的命题，

所以，关于对象A的命题为真。

类比法和归纳法一样是一种发现真理的方法，常用于提出假说和猜想，正如波利亚指出“类比法是一个伟大的引路人”。

数学史上类比法的一个光辉典范是欧拉解决贝努里提出的一个级数求和问题：求

贝努里提出的问题，直到l705年他去世时仍未解决，过了30年，欧拉用类比法猜得结果为。充分表现欧拉的类比的天赋。

欧拉所采用的类比，实际上是从有限向无限过渡，他把多项式恒等的性质

类比到无限多项的多项式中去，得

这种类比往往是一种“误区”，幸运的是欧拉成功了。因为所求的级数是绝对收敛级数。正如波利亚指出“在严格的逻辑意义下，欧拉的步骤是不允许采取的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来作类比，而类比告诉他可以这样做。”

欧拉对类比得到的结果，曾进行大量的数值计算检验，发现这结果十分可靠，他确信结论是正确的，最后他给出了严格的证明方法。

2.类比推理的作用

（1）类比是科学发现和发明源泉之一

唯物辩证法指出，事物是相互联系和发展的。一部分事物间的性质极其相似，它为类比提供了物质基础，比较法是人类认识事物的基本方法，由比较得到事物间的内在联系，为类比提供了客观依据，类比则是人们对客观事物思维的能动反映，它为科学假设和猜想提供思维模式，因此，类比法成为人们发现真理的动力。

（2）类比有利于知识的系统整理和扩展

提出科学假设是类比法的创造性功能的表现，除此，类比法还有整理性的作用，类比可以把知识分类整理，以达到系统认识，并促进认知的发展。

3.类比推理的局限性

（1）结论的不可靠性

类比是似真推理，前提与结论没有严格的逻辑依赖关系，是一种猜想。它不能作为数学的严格论证方法，而且有些类比有错误的导向。因此类比结果都必须经过严格证明才能成为正确的数学命题。

（2）类比对象的相似性

类比时先要对两类对象进行比较，只有当对象具有相似性才能类比，不能盲目类比。类比的范围受类比内容和形式的限制，正确使用类比方法才能克服类比的结论的或然性，而成为一个合理的推理。

四、逻辑推理方法的特征

逻辑推理方法广泛应用于数学推理之中，它们有着许多共同特点，其中比较突出的有：

1.抽象性和概括性

逻辑推理是重要的思维形式，具有普遍的指导意义，归纳、演绎、类比等常用的逻辑形式以及其推理规则，高度概括了人们的正确思维规律，指引人们发现真理和检验真理。它们的概括性使逻辑推理应用甚广，贯穿数学发展的始终。数学的抽象使得数学中逻辑推理随之而抽象。数学抽象程度越高，推理形式越抽象，揭示事物物的本质越更深刻。因此，逻辑推理有抽象性和概括性的特点。

2.个别与一般的统一性

归纳、演绎和类比在思维的进程中，分别是从特殊到一般，从一般到特殊和从特殊到特殊。这只是从一个侧面反映思维过程的特点。但从另一个侧面，即从思维前后联系过程，可以看到它们的思维特点反映了特殊与一般的统一性，明显地，归纳、演绎的两个推理都是特殊与一般的密切联系和相互转化。从形式上看，类比是从特殊到特殊的思维过程，但从内容上看，特殊中隐含着一般，类比的结果常常是科学的假说和猜想，是一般性的概括，并非局限于某一特殊类型和特殊对象的属性。因此，特殊与一般的统一是逻辑推理的又一共同特点。

3.格式的规则性

人们在运用逻辑推理实践中，总结出一套行之有效的固定格式。这些格式较好地引导思维方向，形成正确推理特别是演绎推理的三段论，推理格式严格、逻辑性强，是严格按照推理规则进程的推理。归纳推理和类比推理虽是似真推理，结论不一定可靠，但只有符合推理格式才能得到更接近客观实际的科学假说和有价值的猜想，因此，遵循一定格式的思维形式是逻辑推理的共同特征。