现代数学教育的重要领域

第一节　数学交流：现代数学教育的重要领域

进入21世纪以来，教育改革比以往任何时候都更受到专家和百姓的重视。数学作为基础教育的核心课程，它的改革与发展直接影响着教育的质量、人才素质的培养。

数学教育改革的主要发展趋势一是有关教学内容的变化与发展；二是有关数学教学目的的变化和发展。其中数学教育目的变化和发展是数学教育改革与发展的重要问题之一。近年来关于数学教育的目标，基本上都阐述了两个方面的内容。其一是使学生掌握社会生活必备的数学知识与技能；其二是具备良好的数学素质。概括地讲，数学素质应包括数学意识、解决问题、逻辑推理和信息交流四个部分。

数学交流的提出，是对数学和数学教育的功能进行反思的结果。数学交流作为数学素质的一部分，正在我国数学教育理论界引起了一定的注意。并逐步认识它的重要价值。数学的内容、思想、方法和语言都是人类文化的重要组成部分，数学素养在民族素质中起着不可替代的作用，并与其他素质相辅相成。数学是一种语言，它不仅仅能够简洁而确切地表达和交流思想，而且能够用这种语言进行思维活动。因此，数学教育作为一种特殊教育的活动，我们要确立数学交流能力培养的观念。作为数学交流，学习数学的首要任务是会使用数学语言表达思想，不断地进行言语活动。如用符号语言列方程解应用题，用函数语言描述运动模型，用逻辑语言写出证明，用计算机语言指挥计算机等。因此，数学教学应该帮助学生形成书面的和口头表达的流畅性、思维的条理性，帮助学生学会以各种条理清晰的论据来表达自己的分析，并在表达中表现出与其数学水平相当的数学风格。培养学生数学交流能力，促进学生综合素质的提高。

一、数学交流的概念及其类型

数学交流（maths＇communication），是运用表达数学概念、关系、方法、问题、思想的数学语言来传递信息与情感的过程。从数学的社会性来讲，数学思想只有被“数学共同体”所接受才能算是正确的。因此，在数学教学中，为了对数学知识作出解释，教师必须用数学语言符号，同时学生也必须理解这些语言符号，于是就存在一个数学学习共同体成员之间彼此解释各自的想法、相互理解对方思想的问题。因此，数学教学就是共同体成员之间所进行的讨论交流活动。

以发展的眼光看，在学校数学学习中，可以包括三种不同类型的交流活动：人与人的交流、人与机器的交流和人与物的交流。

（一）人与人之间的交流

人与人的交流包括两个方面：学生与教师的交流和学生与学生的交流。

学生与教师的交流包括学生听取教师讲课，教师听取学生发言，也包括教师起主导作用的师生之间的讨论。这种交流是在校学生学习数学的主要方式，同时也是教师了解学生，研究学生的思维过程，发现学生学习中存在的问题的有效途径。学生能否迅速、准确地理解教师用数学语言表达的数学内容是衡量学生课堂学习效率高低的重要标准。

学生与学生的交流是指学生运用数学语言就数学的内容，思想、方法，解题策略，以及学习数学的情感、体验等所进行的交流。这种交流有利于激发学生学习数学的兴趣，调动学习数学的积极性和主动性，开阔思路，促进数学创造性思维的发展。

（二）人与机的交流

人机交流是指人与计算机之间的交流。信息时代的到来，计算机的普遍使用，将使信息技术以人们意想不到的速度进入数学教育领域，学生将越来越多地通过计算机来学习数学。采用合适的数学软件，可使计算机变成一部“活”的数学课本。一方面，通过计算机，学生可以接受、储存、检索和加工用数学语言表达的信息，另一方面，也可以通过计算机表达自己对数学的认识和感受。例如，学生可以针对所讲内容提出问题，计算机可以提供多种解决问题的办法，也可以对学生的回答进行判断，并给出正确答案和解释。这样就可以做到“因人施教”，加强教学的针对性，提高学习效率。可见，人与计算机交流的发展将会引起数学教育的重大变革。我们需要思考，在21世纪，我们将以什么样的形式组织课堂教学，教学遵循什么样的原则，以及教什么样的数学和怎样教的问题，其中包括计算机在数学教学中的地位和作用。

（三）人与物的交流

这种交流一般包括两种方式：学生听、读数学资料（包括教材、课外读物和音像资料）和学生表达（包括书面表达和演示）自己对数学的认识。

数学交流不拘泥于人与人之间的交流，听、读数学资料和书面表达对数学的认识也是数学交流的一个重要方面。听、读数学资料也应该成为在校学生学习数学、扩大数学知识面的重要手段之一。听、读数学资料涉及到资料的可读性问题。数学资料特别是教材，是否符合学生的年龄特征，是否符合学生的认知规律和思维习惯，能否引起学生的听、读兴趣，这是影响人与物交流的重要因素。要想发展学生的这种交流能力，首先必须提高数学资料（主要是数学教材）的可读性。

表达是指学生能够准确、合理地运用数学语言表达（无论是利用纸笔还是通过演示）他们对数学的认识，这是评价学生数学能力高低的重要指标。

二、数学交流是一个正在兴起的研究领域

对国内外数学交流的有关研究，发现国外有起步早、研究深的特点。较早提出“数学交流”的是1981年英国“学校数学调查委员会”向政府提交的《Cockorft报告》。这里提出的“数学交流”主要出于对数学的教育价值的考虑。但真正把“数学交流”作为学校数学教育目的提出的，是美国数学教师理事会（NCTM）1989年3月发表的《中小学数学课程与评估标准》，其中明确指出：把学生培养成为有数学素养的社会成员的一条重要标记就是使他们学会数学交流。通过十几年的实践，《中小学数学课程与评估标准》正在深入人心。特别是2000年《学校数学的原则和标准》指出，个人努力与合作学习相结合，能促进对数学的理解。强调学习中的交流与讨论。其主要观点是：交流可以有助于强化数学思维，有效地组织思维活动，同时通过向老师和同学表达数学知识。不同数学表达（口头的、文字的、符号的等）可以使学生体会到数学语言的优越性。在英国颇具特色的数学教材SMP中，也提到应以帮助学生提高读、写、交流数学的能力。其观点是：数学交流是与儿童所学的知识有关的，所借助的表达工具是数学语言。一方面，交流依赖与各数学知识内容；另一方面，交流的内容是从具体到一般的逐步抽象。除了美英以外，法国、日本、新加坡、澳大利亚等国家对数学交流提出了相应的观点。在国内数学交流正在逐步受到重视，进行数学交流的研究也在逐步增多。2003年《普通高中数学课程标准（实验）》在课程目标中提出“提高数学表达和交流能力。”《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在课程目标中同样也提出“学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。”可见数学交流作为一条重要课程目标，已经是世界数学教改的一种潮流。

（一）国外有关“数学交流”的观点

我们从各国数学课程标准来看对数学交流的理解。

美国的1998年《标准（讨论稿）》的标准八就是“交流”，其目的是为了加强对数学的理解。主要包括四个方面的内容：

1．组织和强化他们的数学思维以便与他人交流；

2．连贯而清楚地向同伴、老师及其他人表达数学想法；

3．通过思考他人的想法和策略扩展他们自己的数学知识；

4．将数学语言作为一种数学表达的精确方式来加以使用。

也就是说交流可以有助于强化数学的思维，有效地组织思维活动，同时通过向老师和同学表达数学想法，并倾听他人的数学表达，可以拓宽和丰富自己的数学知识．不同数学表达（口头的、文字的、符号的等）可以使学生体会到数学语言的优越性。

在英国1995年修订的国家数学课程标准中，虽然没有在目标中列出“数学交流”，但在使用和应用数学目标之下，有一项是发展数学语言，并进行交流且贯穿于四个学段。

比如：第三、四学段（相当于小学六年级至高中年级）的数学交流内容如下：

1．理解和使用数学的语言和符号；

2．用数学的表达形式进行交流，如图表、表格、图像和计算机表示等；

3．清楚地表达学习任务，合理地使用图表、图形和符号，用以表达意义；

4．能说明、评价各种数学表示；

5．能合理地检查、改进所选择的数学表示。

从英国各学段的数学交流内容中我们可以看出，数学交流是与儿童所学的知识有关的，所借助的表达工具是数学语言。一方面，交流依赖于各数学知识内容，另一方面，交流的内容是从具体到一般的逐步抽象。在低学段，主要借助于简单、直观的数学语言；而到了高学段，开始灵活运用、选择各种形式的数学表达。

澳大利亚在其数学课程标准中，将“培养学生学会数学交流”作为一条目标．新加坡也在其标准中提出：“使用数学作为一种交流的工具。”交流的活动有：

1．有关数学概念和学习经验的全班和小组讨论；

2．解释、说明和表达，比如解释所用的方法和策略，在问题解决和探索中对结果的解释和表达；

3．解释和用直观的表征，比如模型、图像、图表、图形等。

（二）国内数学交流的观点

有关数学交流的阐述在我国尚不多见，2000年《大纲》（试用修订版）第一次提出“能用数学语言表达问题、展开交流，形成用数学的意识。”2001年《全日制义务教育数学课程标准》中，对数学交流提出了具体的要求，其中基本理念四中提出“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”进一步在课程总体目标对数学思考有具体的目标要求：“经历、实验、猜想、数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”对解决问题也有着具体的目标要求：“学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。”2003年《普通高中数学课程标准（实验）》不仅在课程目标中对数学交流有要求，更是将“数学交流”贯穿在整个知识领域中的。如在知识领域中提出了“使学生运用集合语言进行表达和交流。”在几何教学中使学生“学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。”在框图教学中，学会“与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。”等等。可见，对于数学交流的研究我国正在起步阶段，在许多方面有待我们思索、探究，共同寻求一条符合我国国情的“数学交流”之路。

三、数学交流的要素

构成数学交流有哪些成分，是我们首先要探讨的问题。根据交流所呈现的方式来分，数学交流包括口头的和书面的交流。

口头的交流主要是通过文字语言的叙述，对词语或符号重新赋予意义。比如，用口头语言来表述是“a、b的平方和的平方的倒数”。只有对符号语言有了比较清晰的了解后才能用自己的语言把它正确地表达出来。

为了更清楚地认识和区分口头、书面、活动的数学语言，我们先对数学语言给出简单的说明。

数学语言包括语义和句法两部分。所谓语义是指语言的表达式与它表示的对象之间的关系，它揭示了数学表达式的内在数学含义。句法是指语言的形式结构，而不管它的表达意义，也不管它在实际情况中表示什么。如按“项”的构成，在句法上是正确的，但却没有意义。数学语言的句法是以逻辑为其基本结构的。先定义各种符号，并在定义符号的同时规定符号之间的正确组合规则。因此，在教学中，应使学生在熟悉数学语言的句法基础上，重视对其语义内容的理解和掌握。学生常常感到将数学语言转化为口头的文字语言比较困难，除了缺乏这方面的训练外，更主要的原因是缺乏对其语义和句法的理解，与数学语言的句法相比，学生对文字语言的句法更熟悉。

书面的数学交流主要是指一种数学表达，它可以是符号的、图形的、图表的，也可以是实物的。

在数学教学中，要鼓励学生对问题给出多种数学表示。