正交实验设计结果的方差分析

5.2.4　正交实验设计结果的方差分析

1.因子的显著性检验

上例中采用极差分析的方法可确定各实验因素对目标影响的大小，对各个因素的作用大小进行排序，但不能回答每个因素对目标值的影响在统计上是否具有显著性。要回答这个问题，需要利用方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）和统计检验来比较各实验因素的显著性强弱。

如果问题中只考虑一个因子，这样的方差分析称为单因子方差分析。如果问题中要考虑两个因子，这样的方差分析就称为双因子方差分析。当然，还可以有三因子、四因子、更多因子的方差分析。

我们先来看单因子方差分析。

问题　设某个指标的取值可能与一个因子A有关，因子A有r个水平：A₁，A₂，…，A_r。在这r个水平下的指标值，可以看作是r个相互独立、方差相等的正态总体ξ_i～N（μ_i，σ²），i＝1，2，…，r。

在每一个水平A_i下，对指标做t（t＞1）次重复观测，设观测结果为

它们可以看作是总体ξi的样本。即

问：因子A对指标的作用是否显著？

检验因子A的作用是否显著，相当于要检验假设H₀∶μ₁＝μ₂＝…＝μ_r是否成立。

SS_i＝反映了各水平A_i的内部指标取值的差异程度，这种差异完全是由误差引起的，而SS_e正是所有SS_i的总和，所以称为误差平方和。

SSA＝t反映了各水平之间指标取值的差异程度，如果因子A的作用不显著，各水平下对应的指标差异很小，即，，…，近似相等，与差异很小，SS_A的值也比较小；如果因子A的作用显著，各水平下对应的指标差异很大，即，…，与的差异很大，SS_A的值就会偏大。因此SS_A的大小反映了因子A作用的大小，称为因子A的平方和。

可以证明，总平方和SS_T、误差平方和SS_e和因子平方和SSA之间存在如下关系

由SS_A、SS_e可以计算出统计量MSA＝（称为因子A的均方）和MS_e＝（称为误差均方），定义因子A的显著性检验统计量

若F_A＞F_{r－1，n－r}（α），可拒绝原假设，即认为因子A在1－α置信水平下作用显著；否则，接受原假设，认为因子A在1－α置信水平下的作用不显著。

2.不考虑交互作用的正交实验设计

不考虑交互作用的正交实验设计和数据处理，可按下列步骤进行。

（1）选正交表L_n（r^m）

选择的原则是：r要等于因子的水平数；m要大于或等于因子的个数；n是实验次数，要尽可能小。

例如，问题中有4个因子，每个因子都是2个水平。选正交表时，首先要选r＝2的表。这样的正交表有L₄（2³），L₈（2⁷），L₁₆（2¹⁵），…，在L₄（2³）中，m＝3，小于因子个数4，所以不符合要求。L₈（2⁷），L₁₆（2¹⁵）中的m＝7，15，…，大于因子个数4，符合要求。在符合要求的正交表中，应选择实验次数n尽可能小的那个表。最后选定正交表L₈（2⁷）。

（2）设计表头

将各因子安排在正交表的各列上方，每个因子占1列，称之为表头。在不考虑交互作用的正交实验设计中，表头上的因子可以任意安放。表头上不放因子的列，称为空白列。

（3）按照设计做实验，取得实验观测值

正交表的每一行代表一种水平组合，对每一种水平组合做一次实验。按照第k行的水平组合所得到的第k次实验，所得到的观测值记为X_k，正交表共有n行，所以，一共要做n次实验，共得到n个实验观测值：X₁，X₂，…，X_n。

（4）在正交表的每一列中，求出与各水平对应的均值，以及这一列的平方和

设我们考虑的是第j列。在这一列中，表示水平的数字1，2，…，r，每一个都重复出现次。设与这一列中的数字1对应的那几行的实验观测值之和为W_1j，与这一列的数字2对应的那几行的实验观测值之和为W_2j，…，与这一行中的数字r对应的那几行的实验观测值之和为W_rj。将W_1j，W_2j，…，W_rj分别除以，就得到与这一列中各水平对应的均值＝

从出发，求出这一列的平方和SSj＝，其中是总均值。具体算法是，把，…，看作样本就是样本均值，SS_j就是样本方差乘以n［或修正样本方差乘以］。

（5）列方差分析表，作显著性检验

其中，SS_T＝）²是总平方和。SS_A，SS_B，…，分别是表头为A，B，…的各列的平方和。SS_e＝SS_T－SS_A－SS_B－…－SS_AB－…是误差平方和。可以证明，SS_T＝，即总平方和等于各列的平方和之和，所以SS_e就是空白列的平方和之和。

f_T＝n－1是总自由度，f_A＝f_B＝…＝r－1是各因子的自由度，f_e＝f_T－f_A－f_B－…是误差自由度。

MSA＝，MSB＝，…，是各因子的均方，MS_e＝是误差均方。

可以证明，若因子A的作用不显著，则F_A＝服从自由度为f_A、f_e的F分布，即F_A＜F_fA，fe（α）；若因子A的作用显著，则统计量F_A的值会偏大，即F_A＞F_fA，fe（α）。所以，像在方差分析中一样，只要给定显著水平α，就可以用F分布检验因子A，B，…的作用是否显著。

（6）寻找最优水平组合

对每个因子，在以它为表头的那一列中，比较各水平的均值的大小，可以确定哪一个水平最优。

由于不考虑交互作用，所以只要将各因子的最优水平组合起来，就是最优水平组合。

下面看一个实际例子。

例5－3　某化工厂为提高产品的收率，进行3因子3水平正交实验。所取的因子和水平分别为

A（反应温度，℃）：分80，85，90三个水平。

B（反应时间，min）：分90，120，150三个水平。

C（用碱量，%）：分5%，6%，7%三个水平。

要求进行不考虑交互作用的正交实验设计，检验因子A，B，C的作用是否显著（显著水平α＝0.05），并且找出最优水平组合。

解：（1）选正交表。按照r＝3，m≥3，n尽可能小的原则，选用L₉（3⁴）。

（2）设计表头。将因子A，B，C安排在第1，2，3列。

（3）按照要求设计做实验，取得实验观测值。实验得到的观测值如表5－4所示。

表5－4　L₉（3⁴）正交实验表及其结果

（4）求各列与各水平对应的均值和各列的平方和。计算结果如表5－5所示。

（5）列方差分析表，做显著性检验。

表5－5　表5－4实验结果的方差分析

因为F_A＝34.33＞19.0＝F_fA，fe（α），所以因子A作用显著。

因为F_B＝6.33＜19.0＝F_fB，fe（α），所以因子B作用不显著。

因为F_C＝13.00＜19.0＝F_fC，fe（α），所以因子C作用也不显著。

（6）寻找最优水平组合。

对于因子A，因为A₁的均值＝41，A₂的均值＝48，A₃的均值＝61，其中最大，所以A₃是最优水平。

对于因子B，因为B₁的均值＝47，B₂的均值＝55，B₃的均值＝48，其中最大，所以B2是最优水平。

对于因子C，因为C₁的均值＝45，C₂的均值＝57，C₃的均值＝48，其中最大，所以C₂是最优水平。

把3个因子的最优水平组合起来，就得到最优水平组合（A₃，B₂，C₂），即反应温度为90℃，反应时间为120min，用碱量为6%。

由于因子B很不显著，即反应时间的不同对于收率没有显著的影响，为了节省反应时间，也可以考虑把反应时间缩短为90min，选用水平组合（A₃，B₁，C₂）。而因子C的作用也不是十分显著，即用碱量的不同对于收率没有太大的影响，如果希望节省用碱量，还可以把用碱量改为5%，选用水平组合（A₃，B₁，C₁）。

得到最优水平组合后，还可以在该水平组合下或在其附近再做几次实验，看看该条件是否确实最优，是否还可以改进，进一步得到更好的结果。