时间几何学

爱因斯坦的重力法则控制着几何量——弯曲，与此相反，牛顿法则控制着力学量——力，为理解在相对论中世界几何化的起源，我们必须回过头来看一些东西。

处理空间性质的科学叫作几何学，迄今，几何学在它的领域内都未包含时间。但是到了现在，时间和空间相互连接如此紧密，因此必须要有一门科学——有些扩展了的几何学来包括它们两个。三维空间仅是沿四维空间—时间切开的一个断面，而且是不同观察者沿不同方向所切割的断面。我们肯定不能主张，沿一个特别方向切开的断面的研究是几何学的合适主题，对略有差异的断面的研究是属于一个完全不同的科学，由此世界的几何学如今包含时间以及空间。让我们来考察时间几何学。

你们可能还记得，虽然空间和时间是混合的，但在两个事件的空间关系和时间关系之间有一个绝对的区别。三个事件将形成一个空间三角形，如果三条边相应于空间关系——即如果三个事件之间相对而言绝对在他处的话。这应该是一个瞬间空间三角形，一个持续的三角形是一种四维棱柱。

三个事件将形成一个时间三角形，如果三条边相应于时间关系——即如果三个事件是绝对的或先或后的话（有可能构造混合三角形：两条边为时间关系，一条边是空间关系，反之亦然）。空间三角形一个著名的法则是任意两条边的和大于第三边，对于时间三角形也有一个类似的法则，不过意义迥然不同，即三条边中的两条边（不是任意的两条边）之和要小于第三条边。要画这样一个三角形很困难，但那却是实际的事实。

我们十分相信，我们掌握了这些几何学命题的精确含义。首先考察空间三角形，这个命题是关于三角形边的长度的，不由得使我回忆起我与两个学生讨论如何测量长度（第二章相对性中之相对量及绝对量一项）时所想象的讨论。好在现在没有不清楚的地方，因为三个时间的三角形确定了世界的一个平面断面，而且也仅在此情形下三角形是纯粹的空间。该命题便可如此表示：

如果你们用尺子测量从A到B、从B到C，那么所得到的读数之和大于用尺子测量从A到C所获得的读数。

对于时间三角形，必须采用一个能测时间的仪器来测量，那么命题可如此表示：

如果你们用时钟测量从A到B、从B到C，那么所得到的读数之和小于用时钟测量从A到C所获得的读数。

为了用时钟测量从事件A到事件B，你必须调整时钟，类似调整尺子使之沿着AB线。这类似的调整是什么？无论对哪种情形，目的都是使A和B两者与尺子或时钟直接相邻。对时钟而言，调整意味着在经历过事件A之后，它必须以合适的速度运动以便恰在事件B发生的瞬间到达B的位置，因此时钟的速度是被规定了的。还有一点应该注意，用尺子从A量到B以后，可以把尺子反转从B量到A，所得到的结果相同。但是你们不能使时钟掉头，即不能沿时间往回走，这很重要，因为它决定着哪两边小于第三边。如果你们选择了错误的一对边，那么时间命题的阐述就涉及一种不可能的测量而变得毫无意义。

你们还记得那个旅行到辽远的星球，但返回时依然古怪年轻的旅行者（第三章时间中之英国天文台台长之时间一节）吧。他是一架测量时间三角形两条边的时钟，他记录的时间比待在家里的观察者所记录的时间要短，而观察者就是一架测量第三条边的时钟。需要我为称呼他为时钟辩解吗？我们所有人都是时钟，我们的面容表示着过去的时间，这种对比不过是一个关于时间三角形几何学命题的例子（反过来，它是爱因斯坦的最长轨道法则的一个特别例子）。有关结果在普通力学上非常好理解，根据业已讨论并由实验证实的法则，旅行者体内的所有粒子由于他的高速度之故而增加质量，这使得粒子们更加迟缓，如果按照地球上的计时法，旅行者生活的就更缓慢了。然而，结果合理，也是能够解释的这个事实，并无碍于其作为时间几何学命题时较低的真实度。

我们使几何学扩展，使之包含时间和空间，不仅仅是对欧几里得几何增加一个额外的维度，因为尽管时间命题与空间命题类似，但时间命题不同于欧几里得单独为空间所给出的命题。事实上，时间几何学与空间几何学之间的差异不是非常深奥，数学家单独用根号负一的记号轻而易举地忽略了这一差别。我们依然把扩展了的几何学叫作（确实不严谨的）欧几里得几何，或者，如果有必要强调差别的话，我们就称它为双曲几何学。非欧几里得几何学一词意指一个更深刻的变化，即涉及我们现在用于表示重力现象的空间和时间的弯曲关系。我们从欧几里得空间几何学开始，当附加了时间维度时，我们采用相对简单的方式加以修正，但这样做依然没有计入重力。只要是可以观察到重力效果的地方，就表明扩展的欧几里得几何学就不会十分正确，而真正的几何学是非欧几里得几何学——它适合于弯曲地带，正如欧几里得几何学适合于平坦地带一样。