几何学上的革命

几何学上的革命——几何与代数的统一

自从公元前3世纪世界上建立起完整的演绎体系以后，几何学得到了比较充分的发展，而且古典几何学一直都比较注重研究几何量之间的关系和几何量本身的性质。古典代数则一直只注意一些计算和定量的研究，它们之间具有比较明显的区别。

但是随着人们认识能力的提高，视野的扩大，数学已经越来越不能满足社会和生产的需要。例如，航海业的发展，向数学提出了如何精确测定经纬度的问题;造船业则要求描绘船体各部位的曲线，计算不同形状船体的面积和体积;显微镜与望远镜的发明，提出了研究透镜镜面形状的问题;随着火器的发明，抛物体运动的性质显得越来越重要了，它要求正确描述抛射体运动的轨迹，计算炮弹的射程，特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，需要用数学方法确定行星的位置。所有以上这些问题都难以在常量数学的范围内解决，实践要求人们研究变动的量。

其次，到了16世纪末，韦达在代数中系统地使用了字母，从而使代数具有了一般性。它在提供广泛的方法论这方面，显然高出希腊人的几何方法。于是，从代数中寻求解决几何问题一般方法，进行定量研究，便成为数学发展的趋势。

有了以上所述的需要和趋势，数形结合的思想及变量观念在数学家或物理学家、天文学家的著作中渐渐产生了。于是几何与代数经历了1000多年的发展，在17世纪终于有了革命性的变化，解析几何产生了。

解析几何的创始人之一——费尔玛

关于费尔玛，在本书第一部分中已经介绍了许多，而且人们对费尔玛了解更多的是他在数论领域的贡献。而解析几何的创立，人们了解更多的是笛卡尔。实际上，费尔玛和笛卡尔几乎是同时独立地创立了这一学科。

在1630年，费尔玛写了《平面与立体轨迹引论》一书，但是直到他去世14年之后，在1679年才得以出版。这部著作是费尔玛在解析几何方面的代表作。

他在书的开头写到“人们都承认古人论述了轨迹……然而，如果我们没有误解的话，对于他们来说，轨迹的讨论并非易事。我们可以由下述事实断定这一点，他们尽管论述了大量轨迹，但几乎没有明确表述过一种通则，这在以后将会看到。因此我们以一种恰当而严谨的分析形式提出这一理论，来开展轨迹研究的一般领域。”^[7]

因此可以看出，费尔玛致力于用严格的分析形式对轨迹问题进行一般性研究。他认为给轨迹一般表示只能依靠代数，因为在他之前古希腊的数学家已经从几何的角度论述了轨迹，但他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示。在费尔玛生活的时代，代数符号已经比较系统地引入到了数学中，而且费尔玛非常熟悉前人的工作，所以他在着手解决轨迹的一般表示时，就毫不犹豫地选择了代数。他不仅使代数与几何结合起来，而且他开始用变量思想进行数学研究，这也是他创立解析几何的主要思想基础。

那么，什么是解析几何呢?解析几何是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。

费尔玛对于解析几何的创立做了以下几点重要的贡献:

首先，费尔玛所用的一般方法就是坐标法，他把平面上的点和一对未知数联系起来，然后在点运动成线的思想下，把曲线用方程表示出来。这种以代数方程表示几何曲线的方法，是解析几何的精髓，费尔玛说:“只要在最后的方程里出现两个未知数，我们就得到一个轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。”^[8]

其次，费尔玛还研究了方程的次数与曲线形状的关系。他认为一个联系着未知数A和E的方程如果是一次的，就代表直线轨迹;如果是二次的，就代表圆锥曲线。例如，OA=BE就表示一个一次方程。在这里他采用了韦达的符号体系，辅音表示常数，元音表示未知数。因而，若换成现代形式则为ax=by(a、b为给定常数)。

费尔玛没有采用横坐标和纵坐标的名词，他所使用的坐标轴也没有标明方向。横纵坐标的名词是莱布尼兹首先开始用的，而现代形式的坐标系是牛顿首次采用的。

解析几何的另一个发明者——笛卡尔

笛卡尔出生在法国一个在当时社会很有地位的家庭里。在他出生的第二年，他的母亲去世了，给笛卡尔留下一笔遗产。据说，这笔遗产使得他不必在成年后为生计而从事自己不喜欢的工作，为他的科学研究提供了可靠的保障。

笛卡尔从小体弱多病，但他对周围的世界充满了好奇心，被父亲称为小哲学家。后来，他成为杰出的哲学家、数学家、生物学家和物理学家。

笛卡尔首先是一个哲学家，他写了许多哲学著作，许多书上都称笛卡尔是欧洲近代哲学的主要开拓者之一。因此，他在科学领域的贡献在科学史上有划时代的意义，为近代科学在欧洲的发展打下了良好的思想基础。笛卡尔的思想比较抽象，在这里主要介绍一下他的数学思想和解析几何。

数学家笛卡尔

(1)笛卡尔的数学思想

笛卡尔是以哲学家的身份来研究数学的，他从自己的数学研究中总结出一些获得正确知识的原则。至今对于我们每个人的学习都具有指导意义:不要承认任何事物是真的，除非对它的认识清楚到毫无疑问的程度;要把困难分成一些小的难点;要由简到繁，依次进行;最后要列举并审查推理步骤，要做得彻底，便无遗漏。他还认为，数学概念都是客观存在的，并不依赖于人是否想它们怎样。

笛卡尔进行数学研究的目标是建立一种把形和数结合起来的科学，吸取代数与几何的优点，而抛弃它们的缺点。

(2)笛卡尔的解析几何

笛卡尔的数学成果集中于《几何学》中，而《几何学》是作为他的哲学著作《方法论》的附录而发表的。因此也可看出，数学研究是他作为哲学研究的一个方面而开展的。

①在《几何学》的第一卷，他指出用代数方法解决几何作图题的实质在于“定出所求线段的长度。”他首先定义了单位线段，在此基础上定义了线段的加、减、乘、除和开方。引入单位概念之后，所有的几何量都可以通过与单位的比较而用统一的标准成为数的表示。于是，图形中各种量的关系就转化成数的关系，这是把代数与几何统一起来的关健。

②笛卡尔通过研究具体的问题，将几何曲线用代数方程表示出来了。他认为曲线与方程相对应，对任何一条曲线，只要可以找到适合于它的方程，他立即当作几何曲线来研究。继而，几何曲线是那些可用一个唯一的含x与y的有限次数代数方程来表示出的曲线，所以方程次数决定了曲线的种类。

以上我们介绍了解析几何思想的创立过程，无论是费尔玛，还是笛卡尔，他们当初提出的想法经过千万个数学家的努力才发展成为一个系统的学科，成为我们今日在课堂上和各种科学书籍去学习的对象。那么，人们为了纪念这些数学思想的提出而往往会提到他们的名字，尽管他们当时提出的解析几何与我们现在在课本上见到的有一定的距离，但是他们是这一思想的先驱，因而在人类思想史和科学史上留下了光辉的一页。因此，从小就努力培养自己勇于探索、勇于思考的思想品质是很有必要的。