非欧几里得几何学

我一直以来鼓励你们把空间—时间想成弯曲的，但是我也一直谨慎地提及，那是个物理图景而不是一个假设，那是对我们所讨论的给予我们以启示和指引的事物的图形表示。我们得自于该图的收获可以表示成更含糊的说法，空间—时间具有非欧几里得几何性。“弯曲空间”和“非欧几里得空间”在实践上是同义词，但两者确实表达了不同的观点。当我们尝试想象有限而无边际的空间时，困难的一步是把超球的内部和外部都除去。从弯曲空间转变到非欧几里得空间时，也有类似的难关——把所有的与外部及想象中的框架的关系统统舍去，而要把握存在于空间本身之内的那些关系。

如果你们要问格拉斯哥到纽约的距离是多少，有两个可能的回答：一个人将告诉你们沿海面测量的距离，另一个人将回忆起还有一条通过地球隧道更短的距离，第二个人所用的维度是在第一个人心中排除的。但是如果两个人对于距离都不一致，那么他们对几何学也不会一致，因为几何学就是关于距离法则的，忘记或无视一个维度会得到不同的几何学。第二个人的距离服从三维欧几里得几何，第一个人的距离服从二维非欧几里得几何。因此，如果你们把注意力非常专注于地球表面，以致忘记了地球内部和地球外部的存在，那么就可以说，它是非欧几里得几何的两维复本。但如果你们回想起在地球周围到处都存在三维空间，能够实现点到点之间更短的路程，那样你们就回到欧几里得几何了。你们可能会说上面第一种距离不是合适的距离，由此为非欧几里得几何学“开脱”，这似乎是对非欧几里得几何如何——通过错漏一维，产生的最为容易的方法了，但是我们也不能必然推断非欧几里得几何非此不可能产生。

在弥漫着重力的我们的四维世界里，距离服从非欧几里得几何学，这是否因为我们把注意力全部集中于四维而漏掉了通过远方地带的近道的缘故？借助六个额外的维度，我们能够回到欧几里得几何学。此时，我们通常的世界上的点到点的距离不是“真实”距离，真实距离是通过一个八维或九维空间沿更短的途径。我想，把世界在一个十维的超世界中弯曲起来，以便提供这些捷径，无疑将有助于我们形成一个它的非欧几里得几何学的性质的观念。无论如何，这幅图景暗示了描述那些性质的有用的词语。但是我们不会把这些额外的维度当作一个字面事实而接受，除非我们把非欧几里得几何学视为不计代价都必须“开脱”的事。

在这二者——在十维度欧几里得空间里弯曲的复本，或者非欧几里得几何学里没有额外维度的复本之间，何者正确？因为我害怕自己会迷失在形而上学的大雾中，我确实不愿意直接作答，但我可以即刻说自己并不严肃看待这十个维度，而是很严肃地看待世界的非欧几里得几何学，并不把它看成是一件需要“开脱”的事。我们之中许多人在学校都学过，欧几里得公理的真理性能够直观地看到，这个观点如今遭到普遍放弃。我们不再能直观地确定空间法则，正如不能直观确定遗传法则一样。如果排除直观的话，那么必须求助于实验——不受预置定论的任何先入之见束缚的、真正的、不带偏见的实验。我们以后绝不再回到实验了，因为实验使空间略显非欧几里得的缘故。非常确切的是，能够找到一个出路。通过创造额外的维度，我们能够使世界的非欧几里得几何依赖于十个维度的欧几里得几何。我相信，即使我们能够证明世界是欧几里得型的，也会使世界的几何依赖于十个维度的非欧几里得几何。没有人会严肃对待后一个提议，也没有理由能够更严肃地对待前一个提议。

我并不认为这六个额外的维度有坚定的拥趸，但是我们常常碰到把欧几里得几何以另一种方式重置到世界的企图。一个极其厚颜无耻的方案是，因为我们所测量的长度不服从欧几里得几何，因此必须对它们进行修正——调整它们，直至其服从欧几里得几何。一个经常提到的与之关系密切的观点是，空间既不是欧几里得几何的又不是非欧几里得几何的，它完全是一个规约的事情，我们可自由采用我们选择的任何几何学。[9]自然了，如果我们坚持我们自己有采用所喜欢的任何修正施加到我们的实验测量的自由，那我们便能够实验测量服从任何法则。但是这样做有价值吗？宣称任何种类几何学都可以容许，这个说法只能在如下假设下成立，即长度没有固定值，也即物理学家在谈到长度时他不（或应该不）表示任何特定的意义。我怕对于认定我的话没有特别意义的人而言，要弄清我的意思会有困难，但对于那些认为我的言词有意义的人而言，我将打消任何可能的怀疑。物理学家习惯于用一长串有效数字来表示长度，要确定这些长度的意义，我们必须找出它们是如何得到的，我们发现它们是与规定物质组成的标准范围比较得到的（我们可以停下来注意标准的物质组成的范围，可以正确地看作在我们环境的物理学考察中所最早探究的主题之一）。这些长度是我们寻求周围世界知识的门户，不管它们是否依然在世界构造的最终图景中占据显赫的地位，仍将在研究进程中显露出来，我们不做如此预判。实际上我们不久就发现单独采用的空间长度或时间长度是相对的，只有它们相结合才能预期在最终的世界构造中有所表现，即使以最卑微的能力表现。同时，通过门户的第一步带领我们到达这些长度所服从的几何学——非常接近欧几里得几何，但实质是非欧几里得几何的——正如我们所看到的，十个主弯曲系数消失了的非欧几里得几何学的明确类型。在本章中我们已表明，限制不是任意的，尽管如果同样的表示出现在其他方式定义的长度可能令人惊异，以标准物质的范围表示是长度的必要性质。我们必须停下来关注一下，如果我们对长度表示不同的意义，是否我们将发现一个不同的几何？确实应该如此。如果我们对电场力表示不同的意义，就将发现与麦克斯韦方程的方程式。因为我们的长度表示着它们所表达的意义，所以我们不仅在经验上，而且在理论推理上，都得到了我们所表达的几何学。

在处理纯数学家的批评时我延宕了时日，在他们的印象里，几何学是一个完全属于他们的主题，实验知识的每个分支都趋于把自身与特别的数学研究主题相关联。最初曾被呼为仆人的纯粹数学家如今喜欢把自己称为主人，数学命题的集合于他而言变成了研究的主题。当他意欲把原先的前提加以改变或普遍化时，他并不请求“自然”的许可，因此他能够不受实际空间测量任何限制的束缚而得到一种几何学，能够不受重力势能的和电场势能如何起作用的任何问题的束缚而得到一种势能理论，能够得到与任何物质的流体的运动性质相反的理想流体运动的流体力学。但似乎只在几何学上，他已经忘记了曾经有过一个同名的物理主题，甚而愤慨于在他的抽象数学网络以外的任何事物用这个名称。我认为，无论在语源上还是在传统上，都不能诋毁几何学是我们周围空间测量的科学，而且不管数学的超级结构现在如何比观测基础重要，说它是一个实验科学还是恰当的，这一点已经充分反映在学校里的“改良法”几何教学上了。孩子们被教授通过测量来验证特定的几何学命题是真的或者接近于真，没有人怀疑几何作为一个纯粹的数学主题自由发展的益处，而且只有当这个主题尽可能地与得自于观察和测量的量相关联，它才会在“物理世界之本质”的讨论中留下浓墨重彩的一笔。

[1]世界的柱面弯曲与重力无任何关系，就我们所知与任何其他现象也无任何关系。在圆柱表面所画的任何图形均可不经扭曲而展开成平面图形，而在前一章所引入的弯曲是对在我们熟悉的平面地图上出现的扭曲进行说明，因此它是一种球面弯曲类型而非柱面弯曲类型。

[2]这种相对于标准单位的相对性，当然是相对于第二章所谈到的观察者的运动的相对性的补充而又独立于它。

[3]只要这些随机效应不能通过材料选择和标准竿的谨慎使用完全消除，就必须进行适当的修正，但是标准竿绝不能因为它所测定的空间的本质特性而加以修正。我们对于测量温度的电压计的读数进行修正，但是如果对所采用的电压的效果进行修正就没有任何意义。随机影响与本质影响——前者需要修正，后者不需要修正，之间的差别根据测量的目的而定。测量竿用以测量空间，而空间的本质特性则是“可计量性”。如果空间具有某种其他的计量特性，那么对于测量尺所指示的数值进行修正就没有意义。涉及计量性的世界的区域也可能包含电场，因为测量竿不是用于考察电场的，所以电场就被视为随机特性了。我的意思并不是说，从更宽广的观点来看，电场对于空间区域而言，并不比它的特殊计量性不重要。如果它的任何一种性质都与其实际性质不同，那就很难说它保持着同样的区域有什么意义。这一点在这里难不倒我们，因为世界的绝大部分地域除了可计量性外，实际上是没有任何特性的，而重力法则无论理论上还是实际上在这些地方都适用。但是，似乎都期望讨论本质和随机特性的区别，因为有些人知道我们不可避免地在所有情形下都得对随机影响进行修正，把它视为采用任何修正系统的认可——这个过程只是产生了一个把测量能够告诉我们的本质特性隐藏的效果。

[4]A.N. 怀特海，《相对性原理》，序言。

[5]另一方面，量子（见第九章）具有与其相关联的一个明确的周期性，因此它必然能够相对于一个时间范围量度自身，任何考虑新量子理论的数学方程的人都可以看见与居中的记号做斗争的充分的证据。

[6]参见黑格尔《作品》．(1842 Ed) Bd.7, Abt.1, p.97.

[7]因为我不能对不在空间和时间内的轨道即测量所定位的轨道附加任何意义，但我不能假定替代轨道无意义（与可能的测量相矛盾），除非我检验过。

[8]参见本书第十一章《世界建造》中的“关系构造”部分。

[9]作为关于这个态度的最新的例子，可以参考罗素的《物质的分析》——一本我通常不与他意见不一致的书——的七八页。“尽管爱丁顿似乎认为有必要采用爱因斯坦的可变空间，但怀特海却认为有必要抛弃它。至于我呢，我看不出我们为何要赞同任何一方的观点，这问题似乎变成了一种便利的公式解释”。罗素的观点在一篇评论中为C.D. 布洛德所称道。