欧几里得几何学

亚历山大阶段是古希腊数学发展的“黄金时代”，这时期的数学研究出现了追求推理论证和密切联系实际的倾向。欧几里得（约公元前330年—前275年）在古代丰富的数学知识和数学思想方法的基础上，对客观世界的空间关系进行了高度的抽象，使古老的“测地术”形成一门理性科学——几何学，成为古希腊科学的主要标志。

在《几何原本》中，欧几里得首先严格定义了点、线、面、圆等基本概念，接着精心选择了无法再少的10个命题，并采用亚里士多德关于公理和公设的区分（即公理适用于一切科学，而公设只适用于几何学），把它们列为不证自明的5个公理和5个公设，然后从这些定义、公理和公设出发，循序渐进、有条不紊地推演出467个命题，构成了一个完整的逻辑演绎体系。

欧几里得给出一些基本概念的定义如下：^[9]

点是没有部分的。

线只有长度而没有宽度。

一线的两端是点。

直线是它上面的点一样地平放着的线。

面只有长度和宽度，面的边缘是线。

平面是它上面的线一样地平放着的面。

平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。

当包含角的两条线都是直线时，这个角叫作直线角。

当一条直线和另一条横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫作直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。

大于直角的角叫作钝角。

小于直角的角叫作锐角。

边界是物体的边缘。

图形是被一个边界或几个边界所围成的。

圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等，这个点叫作圆心。

圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆周截得的线段，且把圆二等分。

半圆是直径和由它截得的圆弧所围成的图形，而且半圆的心与圆心相同。

直线形是由直线围成的，三边形是出三条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的。

在三边形中，三条边相等的，叫作等边三角形；只有两条边相等的，叫作等腰三角形；各边不等的，叫作不等边三角形。

在三边形中，有一个角是直角的。叫作直角三角形；有一个角是钝角的，叫作钝角三角形；有两个角是锐角的，叫作锐角三角形。

在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫作正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫作长方形；四边相等，但角不是直角的，叫作菱形；对角相等且对边也相等，但边不全相等且角不是直角的，叫作斜方形；其余的四边形叫作不规则四边形。

平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。

欧几里得承认的五条公理如下：^[10]

等于同量的量彼此相等的。

等量加等量，其和仍相等。

等量减等量，其差仍相等。

彼此能重合的物体是全等的。

整体大于部分。

欧几里得给出了五个公设如下：^[11]

任意一点到另外任意一点可以画直线。

一条有限直线可以继续延长。

以任意点为心及任意的距离可以画圆。

凡直角都彼此相等。

同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

欧几里得第5公设，是现行平面几何中的平行公理——“过给定直线外的一点，至多存在一条直线与给定直线不相交”——的原始等价命题。

《几何原本》共十三篇。第一篇讲直边形，包括全等定理、平行定理、毕达哥拉斯定理、初等作图法等；第二篇讲用几何方法解代数问题，即用几何方法做加减乘除法，包括求面积、体积等；第三篇讲圆，讨论了弦、切线、割线、圆心角、圆周角的一些性质；第四篇仍讲圆，主要讲圆的内接和外切图形；第五篇是比例论；第六篇运用已经建立的比例论讨论相似形；第七、八、九、十篇继续讨论数论，第十一、十二、十三篇讲立体几何，其中第十二篇主要讨论穷竭法，这是近代微积分思想的早期来源。全部十三篇几乎包括了今日初等几何课程中的所有内容。《

几何原本》集希腊古典数学之大成，构造了世界数学史上第一个宏伟的演绎系统，对后世数学的发展起了不可估量的推动作用。同时，它又是一本出色的教科书，以至毫不变动地被使用了2000多年，至今中学教材中的几何学内容仍与《几何原本》的内容基本一致。在西方历史上，也许只有《圣经》在抄本数和印刷数可与之相比。我国明代杰出的科学家徐光启于1607年与传教士利马窦合作译出了《几何原本》的前六卷，这是我国最早的译本，“几何”一词与“几何原本”这一书名，都是徐光启第一次使用的。