晶体几何学

描述晶体物质结构特征的方法主要有两种，一是引入晶体结构参数，二是建立晶体结构的几何投影图。为了解释晶体的衍射现象，还需要从实际晶体点阵中抽象出倒易点阵的概念。

8.1.1 晶体结构

晶体结构可分为七种布拉菲点阵类型，晶胞是晶体的最小单元，晶体结构参数主要包括：晶向指数、晶面指数、晶系及晶带等。

8.1.1.1 点阵与晶胞

晶体是由原子在三维空间中周期性排列而构成的固体物质。晶体物质在空间分布的这种周期性，可用空间点阵结点的分布规律来表示，如图8-1所示。空间点阵的结点是晶体中具有完全相同的周围环境，并且具有完全相同物质内容的等同点。

图8-1 空间点阵

连结点阵中相邻结点而形成的多面体，称为晶胞（单位点阵）。晶胞可以有许多选取方式。选取时要较好地表现出晶体的对称性，如果仅在晶胞的顶角处存在结点，这就是初级晶胞，但如果在其他位置也存在结点，则称为非初级晶胞（例如面心点阵或体心点阵晶胞）。晶胞点阵参数的定义如图8-2所示，平行于晶胞棱线的三个轴称为晶轴，三个轴的长度分别为a，b及c，轴间夹角分别为α，β，γ，这是晶胞的六个点阵参数。晶胞中结点总数，可由以下公式计算：

图8-2 晶胞点阵参数

N=Ni+Nf／2+Nc／8（8-1）

式中，Ni，Nf及Nc分别为晶胞内、晶胞面及晶胞角上的结点数。

8.1.1.2 晶系与布拉菲点阵

按照晶体对称性进行分类，可分成七个晶系，包括了所有类型的晶体，如表8-1所列。表中每个晶系中又包括几种点阵类型，它们都满足每个结点均具有等同环境这一基本条件，称为布拉菲点阵。共有14种布拉菲点阵，如图8-3所示。需要说明的是，表8-1采用的是国际通行点阵符号，图8-3则沿用的是旧点阵符号。目前这两种点阵符号都可以使用。

表8-1 晶系划分和布拉菲点阵类型（国际通行点阵符号）

常见金属的点阵结构包括：体心立方、面心立方及密排六方。其中，α-Fe，Cr，Mo，V等为体心立方点阵；γ-Fe，Cu，Al、Ni，Ag，Pb等为面心立方点阵，这是一种最密排的结构，其（111）面为密排面；Zn，Mg，Be，α-Ti等为密排六方点阵，也是一种最密排的结构。

图8-3 14种布拉菲点阵（旧点阵符号）

8.1.1.3 晶向与晶面

晶向和晶面是晶体几何学中的重要概念，分别用晶向指数和晶面指数来表达，是描述晶体结构的最基本参数。

图8-4 晶向与晶向指数

1）晶向及晶向指数

在点阵空间中，从坐标原点指向某节点的矢量，定义为晶向，该结点的坐标［uvw］定义为晶向指数，如图8-4所示。当晶向垂直于某坐标轴时，用0来表示该轴对应的指数。为了区分正反方向的晶向，分别用［uvw］和来记作正与反方向。在处理晶体学问题时，某些晶向是互为等价的，例如［100］，［010］和［001］等，称它们为同一晶向族，用＜uvw＞表示。

2）晶面及晶面指数

部分结点可以放在一组互相平行的等间距平面上，这组平面称为晶面。若离坐标原点最近的晶面在晶轴上的截距分别为a／h，b／k，c／l时，则用（hkl）表示这组晶面，称为晶面指数或密勒指数，如图8-5所示。当晶面平行于某坐标轴时，用0来表示该轴对应的晶面指数。为了区分正反方向的晶面，分别用（hkl）和来记作正和反方向。把互为等价的某些晶面，称为同一晶面族，用{hkl}表示。在一个晶胞中同属于某一晶面族的等效晶面数目，称为多重性因子。在立方晶体中，与晶面（hkl）相同指数的晶向［hkl］，此方向即为该晶面的法线方向。

图8-5 晶面及晶面指数

3）晶面间距

一组指数为（hkl）的晶面是以等间距排列的，称这个间距为晶面间距，用dhkl或简写成d来表示，d和（hkl）的关系式由晶系决定。各晶系的晶面间距公式如下：

1／d2=（h2+k2+l2）／a2（立方晶系）

1／d2=（h2+k2）／a2+l2／c2（四方晶系）

1／d2=h2／a2+k2／b2+l2／c2（正交晶系）

1／d2=4（h2+hk+k2）／（3a2）+l2／c2（六方晶系）

1／d2={（h／a）2+（k／b）2sin2β+（l／c）2-［2hl／（ac）］cosβ}sin2β（单斜晶系）

（8-2）

8.1.1.4 晶带

在晶体中，可将平行于同一晶向［uvw］的所有晶面（hkl）定义为一个晶带，此晶向定义为晶带轴。组成晶带的各晶面又称为共带面。例如，正交晶系的（100），（010），（110），（120），…，等晶面构成一晶带，［001］就是它们的晶带轴。

根据晶带的定义，方向［uvw］与平面（hkl）平行，而方向［hkl］又是平面（hkl）的法线（对于立方晶体），因此方向［uvw］与方向［hkl］互相垂直，由此可得到晶带定律的表达式，即

hu+kv+lw=0（8-3）

8.1.2 晶体投影

将三维空间的实际晶体结构，用二维几何图形来表达，这就是几何投影方法。主要包括极射投影、吴氏网与标准投影图等。

8.1.2.1 极射投影

为了能够清楚地表达出晶体中晶向、晶面及晶带等对称元素的角关系，曾经引入过多种描述方法，比较典型的方法就是球面投影和极射投影。球面投影法，就是将晶体中一些角关系表示在一个球面上，这样虽然比在晶胞内表达得清晰，但由于它是三维图形，不便于绘制和操作。于是人们在此基础上，将球面转化为平面图形，这就是极射投影法，它是目前使用方便且用途广泛的一种描述晶体的方法。

图8-6 极射投影的形成

极射投影的形成如图8-6所示，图中S及N分别代表南北极。为获得球面极射投影图，须把投影光源放在参考球面S处，并使投影幕与过S的直径垂直。图中平面（I）和（Ⅱ）为投影幕的两个特殊位置，其中平面（I）为过参考球心的投影幕，平面（Ⅱ）为与参考球相切的投影幕。为确定球面上P1和P2极射投影点，分别连接直线SP1和SP2并向上延伸，它们与投影面（I）交点为P′s1及P′s2，与投影面（Ⅱ）交点为Ps1及Ps2，这样就得到P1和P2在两平面上的极射投影影点。图中表明，以不同位置的投影幕做极射投影时，所获得的极射投影点之间的距离有所不同，例如Ps2与Ps1之间的距离明显大于P′s1与P′s2之间的距离。因此规定，在极射投影中必须包含有与投影幕平行的大圆投影，以规范各极点之间的关系，称此大圆投影为极射投影图中的基圆。图中所示大圆ABCD，就是取投影幕为平面（I）时的极射投影的基圆。应该注意的是，为确保极射投影中各极点清晰地与球面上各点相对应，习惯上规定逆着投影光线去观察极射投影图。

8.1.2.2 吴氏网与标准投影图

如果利用极射投影图来解决晶体学取向问题，必须事先准备相应的工具，从而对极射投影图进行解释或测量，这就是下面将要介绍的吴氏网和晶体标准投影图。

1）吴氏网与极网

如果把投影光源放在球面经纬线网的赤道上做极射投影，则形成如图8-7所示的图形，称为吴氏网。而把投影光源放在球的南北极处时，则形成如图8-8所示的图形，称为极网。吴氏网的应用比极网广泛得多。吴氏网是测量极射投影的工具，为书写方便，以后用S，N、E，W分别表示极射投影的南、北、东、西。

图8-7 吴 氏 网

图8-8 极 网

让我们考虑如何利用吴氏网测量极射投影上任意两极点之间的夹角。例如，要测量图8-9（a）所示的极射投影中极点P1、P2之间的夹角，则须把该极射投影蒙在基圆相同的吴氏网上，钉住两者中心，转动极射投影，使这两个极点落在吴氏网的同一条经线上，如图8-9（b）所示。这时两极点之间的纬度差就是它们之间的夹角，这个夹角为30°。

图8-9 极射投影上的极点（a）和它们之间的角度测量（b）

2）标准投影

在解决某些实际问题时，晶体中主要晶面的极射投影特别有用，因为它以图解的形式给出了这些面之间的角关系。标准投影是以低指数晶面平行于投影面时的晶体中主要晶面或晶向的极射投影，并以平行于投影面的晶面或垂直于投影面的方向来确定标准投影的名称。对于立方系，晶面与晶向的标准投影是一致的，所以在名称上不加以区别。在标准投影图上，最高的晶面（或晶向）指数一般为7。必须指出的是，立方系标准投影图对于所有的立方系晶体都是通用的，而非立方系的标准投影图则不然。图8-10分别给出了立方晶系（001），（011）及（111）标准投影极图，分别规定［001］，［011］及［111］为南北S N方向进行投影，凡具有完全对称性质的极点，均采用同一符号如（）或（）来表示。一般X光实验室都备有立方系的标准投影，需要自己绘制时，可以参考上述方法动手绘制或利用计算机程序自动绘制所需的标准投影。

图8-10 立方晶系标准投影

（a）投影（001）面；（b）标准（001）投影极图；（c）标准（011）投影极图；（d）标准（111）投影极图

8.1.3 倒易点阵

倒易点阵与实际晶体点阵互为倒易关系。倒易点阵矢量代表实际点阵中的晶面。倒易点阵晶面代表实际点阵中的晶带，反之也成立。

1）倒易点阵

倒易点阵是晶体学中极为重要的概念之一，它不仅可以简化晶体学中的某些计算问题，并且可以形象地解释晶体的衍射现象，同时也是固体物理中的重要概念。从数学上讲，所谓倒易点阵就是由正点阵派生的一种几何图像。一般地讲，正点阵是直接从晶体结构中抽象出来的，而倒易点阵则是由正点阵演算出来的。从物理上讲，正点阵与晶体结构相关，正点阵描述的是晶体中原子的分布规律，是实际物质空间，称为正空间。倒易点阵则与晶体衍射现象有关，它描述衍射方向等问题，称倒易点阵所在的空间为倒易空间。

如果一个正点阵的基矢为a，b和c，由此可定义一个倒易点阵与之对应，倒易点阵的基矢为a*、b*和c*，它们与正点阵基矢的关系是

a*=（b×c）／V，b*=（c×a）／V，c*=（a×b）／V（8-4）

式中，V=a·（b×c）为正点阵晶胞的体积。

正点阵基矢与倒点阵基矢是互为倒易的，即

a=（b*×c*）／V*，b=（c*×a*）／V*，c=（a*×b*）／V* （8-5）

式中，V*=1／V=a*·（b*×c*）为倒易点阵晶胞的体积。

倒易点阵也是几何点在三维空间中的有规律排列，排列方式与正点阵有倒易关系，倒易点阵中的点称为倒易结点或倒易阵点，可以用倒易晶胞来描述倒易点阵的外貌。

倒易点阵参数a*，b*，c*，α*，β*，γ*与正点阵参数a，b，c，α，β，γ之间关系为

对于任何晶系，正点阵与倒点阵中的单位是互为倒易的，即正空间中长度单位为Å及体积单位为Å3，倒易空间中长度单位为Å-1而体积单位为Å-3。正点阵与倒点阵中的晶胞形状也是互为倒易的，即长轴变短轴，锐角变钝角。

对于立方晶系，其倒易晶胞仍属立方晶系，倒易晶胞参数为

a*=1／a，b*=1／b，c*=1／c

α*=β*=γ*=90°

（8-7）

2）倒易点阵矢量与正点阵晶面

倒易点阵矢量为ghkl=ha*+kb*+lc*，用倒易点阵晶向指数［hkl］*来表示，可以证明，它与正点阵中同名晶面（hkl）垂直，即

ghkl⊥（hkl），［hkl］*⊥（hkl）（8-8）

正点阵矢量为rhkl=ua+vb+wc，用正点阵晶向指数［uvw］来表示，它与倒易点阵中同名晶面（uvw）*垂直，即

ruvw⊥（uvw）*，［uvw］⊥（uvw）* （8-9）

还可证明，正点阵中（hkl）晶面间距dhkl与倒易点阵中矢长度ghkl成倒数关系，即

dhkl=1／ghkl（8-10）

倒易点阵中（uvw）*晶面间距duvw与正点阵中矢长度ruvw成倒数关系，即

关系式（8-8）～（8 11）进一步说明了正点阵与倒点阵的倒易关系。倒易点阵中一个结点hkl代表着正点阵中一个面列（hkl），指向该点的倒易矢方向即为正点阵面列（hkl）的方位，倒易矢长度等于这些面的面间距的倒数。由于倒易阵点（倒易结点）的分布代表着正点阵中晶面列的分布，利用倒易点阵解释衍射问题要比利用正点阵方便得多。

3）倒易点阵晶面与正点阵晶带

在正点阵中，平行于某特定方向的晶面构成一个晶带，此特定方向为晶带轴。图8-11 （a）给出了［uvw］晶带中的三个面，即（h1k1l1）、（h2k2l2）和（h3k3l3），这是正点阵的图像。下面考虑一个晶带在倒易点阵中的图像。

由正点阵与倒点阵的关系得知（hkl）⊥［hkl］*，如果以（hikili）表示［uvw］晶带中各个面，倒易点阵中则有一系列倒易矢［hikili］*与它们对应，同时存在关系（hikili）⊥［hikili］*，根据晶带的定义（hikili）∥［uvw］，所以［hikili］*⊥［uvw］。不难理解，垂直于某方向的一系列倒易矢量，它们自然处在一个过倒易原点的平面上。说明正点阵同一晶带中各个晶面对应的倒易矢量（或者说倒易结点），均处在倒易点阵中一个过倒易原点的平面上。同时，由于该倒易面垂直于正点阵中的方向［uvw］，所以此倒易面定义为（uvw）*面。于是图8-11（a）中的晶带，可由倒易点阵中过倒易原点的（uvw）*面上结点h1k1l1、h2k2l2和h3k3l3来描述，如图8-11（b）所示。

图8-11 正空间中的晶带（a）及其在倒易点阵中的位置（b）

由于晶带轴［uvw］与晶带面（hkl）倒易矢之间存在［uvw］⊥［hkl］*关系，即ruvw·ghkl=0，展开有（ua+vb+wc）·（ha*+kb*+lc*）=0，因此得到uh+vk+wl=0，于是前面的晶带定律得以证明，这是正点阵中某晶面（hkl）是否属于晶带［uvw］的判据。在推导晶带定律的过程中，只涉及晶带定义以及正倒点阵之间的关系，而没有涉及晶系，所以对于任何晶系都适用。

如果已知两个晶面（h1k1l1）和（h2k2l2），可以利用晶带定律求出它们的交线指数，即晶带轴的方向为［uvw］。具体做法是求解方程组h1u1+k1v1+l1w1=0及h2u2+k2v2+l2w1=0，得到

u∶v∶w=（k1l2-k2l1）∶（l1h2-l2h1）∶（h1k2-h2k1）（8-12）

总之，倒易点阵不但可以解释有关的衍射现象，而且还可以使晶体学中一些基本关系的证明变得极其简单，如晶带定律晶面间距离和晶面间夹角公式等。