几何学的兴起

到了柏拉图和亚里士多德的时期，算术与几何的关系发生了变化，这期间有两件事值得一提，一是无理数的发现，二是柏拉图提出理念论或者说型相论学说。

无理数据说就是毕达哥拉斯学派发现的，相传第一个发现无理数的人被这个社团扔进水里淹死了。无论这个传说是真是假，都足以暗示这一发现的严重性。

我们刚刚还说到，巴比伦人已经把计算到百万分之一的精确度了，对于“无理数”的运用在其他文明中都不是什么大不了的事情，不能表示为两个整数之比这件事情有什么要紧的呢？除了希腊人，没有人在乎这件事情。但希腊人却如临大敌。这当然不是因为希腊人特别蠢，事实上许多我们看起来古代人很蠢的地方，往往不是他们有哪里想不到，而是因为他们“想太多”。

我们说计数的对象是“单元”，然而在正方形对角线和边长之间找不到一个“公约数”，也就是不存在同时能够计数这两条线的单元。这就意味着那种适用于万物的“纯粹单元”是找不到的，这样一来毕达哥拉斯学派“万物皆数”的基本信条就被动摇了，当然就是一件极其严重的事情了。

无理数的存在也意味着，至少有一些量的问题将无法转化为数的问题，反之，数的问题始终还是可以转化为量的问题，因为用线段表示数始终是可行的，但用数表示线段经常是不行的。所以几何开始独立出来，并被置于某种比算术更基础的位置，数的比例与量的比例虽然在形式上差不多，但往往被分为两种不同的问题分别讨论。数的问题能够被当作量的问题来处理，而量的问题不能被当作数来计算，除非所涉及的量是可以公度的。

另一方面是柏拉图的理念论。在柏拉图那里，算术的地位在一些时候仍是隐隐高于几何的，但柏拉图同时把算术与几何提升为脱离感官的知识，他认为几何学真正面对的并不是可感的现实世界中的那些物体的形状，而是在超越可感世界之外的可知世界中的理想原型，现实世界是对理念世界的摹仿，而几何学对现实世界中形状的把握只不过是让灵魂直观理念世界的诱导手段，或者说，只是一种教学方法。柏拉图区分了作图活动（依赖感官经验） 和真正的几何学知识（不依赖感官经验），数学家利用工具在沙盘上作图进行的所谓“证明”或者说演示的过程，只是教学的手段，诱导你直观到永恒不动的真知识。

我们提到过柏拉图的“学习悖论”，柏拉图认为学习只是回忆灵魂原本已经知道的知识。因此几何学的教学虽然需要诉诸感官，但这只是唤醒回忆的启发手段，回忆出来的几何知识本身与感官无关。这样一来，几何学就与属于工匠的实践技艺划清界限，成为真正的知识而不只是模仿的技艺。

几何学作为算术的基础，以及几何学作为一种教学手段，这两件事在欧几里得的《几何原本》（图11.4.1） 里都有所体现。

《几何原本》基本上是一部数学教育的入门教材，它的主旨就是教学，而不是构建一套严密的公理体系。

图11.4.1　《几何原本》残片（公元100年前后）

图11.4.2

《几何原本》也包括大量的数论内容，数被定义为“多个单元组成的有多少者”，数的问题与量的问题被严格区分开来，关于数的比例论讨论不能直接延伸到关于量的比例论领域。

欧几里得用几何学处理了许多我们现在所谓的代数问题。比如图11.4.2中假定AC=CB=a，CD=b，那么这幅图可以用来演示a2b2=(a+b)(ab)。

希腊人用几何学来处理量的问题的时候，严格遵守同类性原则，也就是说，只有同类的量才是可以加减、可以比较的。比如180厘米高的人和180千克重的猪放在一起无法加成任何“360”的什么，因为这两个“180”量度的是两种完全不同的东西。在几何学上也是类似，直线的量度不能与面积的量度相加，面积的量度也不能和体积的量度相加，甚至直线的量度和曲线的量度也不能简单地相加。4个或以上的直线的量相乘是没有意义的。我们看到巴比伦人早就能够处理的高次幂在希腊人这里又被排除了，这又是某种“想太多”的表现，这种影响一直持续到现代符号代数的兴起。