筑成几何学大厦

欧几里得写成的13卷本的《几何原本》，创立了欧氏几何学。这部数学巨著，概念清楚，论证严谨，取代了当时流行的同类著作。从问世到现在2000多年来，以各种文字手抄和印刷了1000多种版本，成为一切几何教科书的蓝本。在西方的历史上，它的广泛流传仅次于《圣经》，对人类系统地传播几何学知识起到了巨大的作用。

由于生产的需要，因此，人类很早就掌握了一些几何知识。比如，为了知道一天中的作息时间，人们在地上画一个圆，分成相等的若干份，在圆中心立一根杆。杆的影子所指的位置就是人们相应的各种活动和作息时间。在古代埃及，尼罗河水经常泛滥成灾，被淹没的地界需要重新测量，早期的几何学就伴随着土地测量而诞生了。埃及人还建造了许多著名的金字塔，规模浩大的建筑工程也推动着人们对几何学知识的探求。今天的建筑学家们在测量了这些金字塔之后，也无不对这些伟大建筑的精确程度啧啧称赞，这说明了当时埃及的几何学知识已经发展到了相当高的水平。埃及的几何学知识传到了古希腊，在那里经过一些数学家、几何学家们的研究探求，又有了一定程度的发展。希腊人不仅掌握了更多的几何学知识、定理和公式，而且注意到这些定理和公式之间彼此的联系。希腊哲学家和自然科学家亚里士多德系统地总结了关于形式逻辑的规则，为探讨几何学命题之间的联系提供了推理工具。在这种情况下，一些数学家开始进行综合整理几何学知识的工作，欧几里得就是其中之一。

欧几里得出生在古希腊首都雅典，他是当时著名的哲学家、自然科学家柏拉图的学生，后来到亚历山大城从事数学的教学和研究活动。他知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明。欧几里得经过刻苦钻研，写成了《几何原本》巨著。他独创了一种陈述方式，首先选出10个公理，作为全部数学的基础，这10个公理如下。

公理1：与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。

公理2：等量加等量，总量仍相等。

公理3：总量减等量，余量仍相等。

公理4：彼此重合的东西彼此是相等的。

公理5：整体大于部分。

公设1：从任意一个点到另外一个点作一条直线是可能的。

公设2：把有限的直线不断循直线延长是可能的。

公设3：以任一点为圆心和任一距离为半径作圆是可能的。

公设4：所有的直角都相等。

公设5：如果一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

从以上10个公理出发，然后运用逻辑推理方法，由简至繁地长满了467个最重要的数学定理，使得古代零碎的几何学知识成为一门系统而严谨的科学理论。欧几里得所创立的几何学称为欧氏几何学，他是应用公理方法的鼻祖和巨匠。欧几里得首先选出反映现实世界空间形式最基本的元素——点、线、面、体等作为原始概念，其他的几何概念都由这些概念来定义；然后，选择了上面10条最基本的命题作为公理。这些命题之所以称为公理，是因为它们都是人所共知的事实，是公认的真理，不需加以证明。而它们则是证明其他命题的依据。这样，由浅入深、循序渐进，一步一步地构筑了宏伟庄严的几何学大厦。正如爱因斯坦所说：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以至它的每一个命题绝对不容置疑——我这里说的是欧几里得几何学。推理的这种胜利是值得赞叹，它使人类理智具有充分的信心，去取得新的成就。如果欧几里得未能激起你少年时代的热情，那么你就不是一个天生的科学思想家。”

欧几里得几何的确影响了世界。在它的启迪下，无数科学家焕发出了特殊的魅力，运用逻辑思维去探求真理，取得了出色的甚至是划时代的成就。牛顿的《自然哲学的数学原理》、拉格朗日的《解析几何》、克劳修斯的《热的机械运动理论》、斯宾诺莎的《伦理学》等著作，都是在欧几里得公理化方法的影响下写成的。现代应用公理化方法取得的成就更不胜枚举。

公理化方法也不是完美无缺的。欧几里得所确定的10条公理作为推导全部几何学的前提是很不够的，以至他在证明定理时，常常不自觉地又引用公理以外的命题作为依据，这就造成了逻辑上的缺陷，违背了公理化方法的要求。欧氏几何学建立的历史告诉我们，科学史上第一个成功的公理体系是在丰富的经验材料基础上建立起来的，它是一定历史阶段人类实践经验的科学总结，而且还要不断地接受实践的检验，以便得到不断的丰富和发展。