用局部而非全局的反例对证明的批评

3.用局部而非全局的反例对证明的批评

老师：按证明的暗示把猜想分解，便为猜想的检验开拓了新的视野。分解开扩了猜想的多个方面，我们的批评于是就有更多的目标。我们现在至少有3个找反例的机会，而不止从前的1个了！

GAMMA：我已表示了，我不喜欢您的第三引理（即由拉伸与随后的三角形化得到网状物后，要从其上移走三角形，我们仅有两种选择：不移去一条边，便移去两条边与一个顶点）。我怀疑挪走三角形时是否会出现别的花样。

老师：怀疑不算是批评。

GAMMA：那么反例算是批评吗？

老师：当然算。猜想可以忽略不喜欢与怀疑，却不能无视反例。

THETA［旁白］：猜想明显与它们的代言人不是一个鼻孔出气。

GAMMA：我要举一个普通的反例。且看在一个立方体上施行了前两个操作所得的三角形化网状物（图2）。这时，若我自这网状物的内部移去一个三角形，正如可以从七巧板中间拿出一块一样我便在未移走任一边或一顶点的情况下移走了一个三角形。因此第三引理是错的——不但对立方体如此，对除四面体之外的所有多面体皆如此，因为四面体的平面网状结构的所有三角形都是边界三角形。这样，您的证明便只是在给四面体的欧拉定理作证明。但我们已经知道对四面体有V－E＋F＝2，又何需多此一举？

老师：你说对了。但注意，立方体虽是第三引理的反例，却并非主猜想的反例，因对于立方体有V－E＋F＝2。你已说明了论证——证明——的贫乏，但未涉及我们的猜想的错误。

ALPHA：那么您就要放弃您的证明了吗？

老师：不。批评不一定是破坏。我会改进我的证明，使其能经得起批评。

GAMMA：怎样做呢？

老师：在解释怎样做前，让我先引进以下术语。我把反驳一条引理（并不一定反驳主猜想）的例子称为“局部的反例”，而把反驳主猜想自身的例子称为“全局的反例”。这样你的反例便是局部的而非全局的。一个局部而非全局的反例只算是对证明的批评，不是对猜想的批评。

GAMMA：所以，猜想可能是真的，但您的证明尚未证明它。

老师：但我能轻易地详细阐释并改进这个证明，以略加修改的引理代替原来错误的引理，你的反例便驳不倒了。我不再争辩说移除任何三角形都会导致以上两种模式之一种，而只说，在移除操作的每一个阶段，移除任一边界三角形均会导致以上模式之一种回头来看我的思想实验，我所必须做的仅仅是在我的第三步中插入一个单词，即“我们从这三角形化的网状物中一个一个地移走边界三角形”。你该会同意，只需一次微不足道的观察，便使证明表述正确了^[8]。

图4

GAMMA：我认为您的观察并非如此微不足道；实则此举是相当精巧的。说清楚些，我要让它露出破绽。再次以立方体的平面网状物为例，以图4所示之顺序移去10个三角形之中的8个。轮到移去第八个时，此时它虽肯定是一边界三角形，我们却仅移走了两条棱边，却未移走顶点——这便使V－E＋F改变了1。留下的是两个分离的三角形9和10。

老师：唉，要是我说我所谓的边界三角形是指其移走并不分裂网状物的三角形，我便可保全面子了。但理智的诚实不允许我用“我所谓的……”式的句子起头，来对我的观点做点儿鬼鬼祟祟的修改，故我承认，现在我必须以三角形移动操作的第三个版本来替换第二个版本：我们在V－E＋F不变的条件下一个个地挪走三角形。

KAPPA：我慷慨一点儿，同意与此种操作对应的引理为真：即如果我们在V－E＋F不变的条件下一个个地挪走三角形，则V－E＋F不变。

老师：不对。此引理为：我们的网状物中的三角形可以如此编号：以编号后正确的顺序移动它们至最后一个三角形时，V－E＋F将保持不变。

KAPPA：可是，就算这个正确的顺序存在，又怎样去构造它呢^[9]？您初始的思想实验有这样的操作说明：以任意顺序移去三角形。您修改后的思想实验有这样的操作说明：以任意顺序移去边界三角形。现在您说我们应遵从一固定的顺序，却不说这顺序是哪一种，也不说它究竟是否存在。所以，这一思想实验就此破产。您改进了证明分析，即那一连串引理；但您美其名曰“证明”的思想实验破产了。

RHO：仅第三步破产了。

KAPPA：况且，您改进了引理吗？您头两种简单版本至少在驳倒前看起来是一般真实的；您的冗长、拼凑的版本甚至表面上都不像真实的。您真相信它可以逃过反驳吗？

老师：“貌似有理的”或甚至“普通真实的”命题通常几下就驳倒了：极其复杂奥妙的、似乎不真的、在批评中成熟的猜想倒可能会撞上真理。

OMEGA：那么，如果您的“极其复杂奥妙的猜想”甚至也被证伪了，并且这次您拿不出未被证伪的猜想来替代它们，那将会发生什么呢？或者，假如您进一步局部地补补缀缀也未能成功改进论证呢您仗着把被驳倒的引理替换掉，而顺利制服了一个非全局的局部反例。假使您下次没有成功又如何呢？

老师：好问题——明日再讨论吧。