随机信号的描述

对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作xi（t）。如果随机信号的统计参数不随时间变化，则称平稳随机过程；反之，称非平稳随机过程。在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程称为各态历经随机过程。

工程上遇到的随机过程大都可以近似地当做各态历经随机过程来处理，只要能够获得足够多和足够长的样本函数，便可求得其概率意义上的统计规律，如均值、均方值、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度函数等，从而可以凭借对有限长度样本记录的分析来判断、估计被测对象的整个随机过程。需要注意的是，只有证明了随机过程是各态历经的，才能用样本函数的统计量代替随机过程的总体统计量。

（1）随机信号的数学描述

要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要有无限长时间记录，但实际上这是不可能的。通常用统计方法对以下3个方面进行数学描述：

①幅值域描述。均值、均方值、方差、概率密度函数等。

②时域描述。自相关函数、互相关函数。

③频域描述。自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。

（2）信号的幅值域分析

1）均值

对于一个各态历经过程x（t），其均值定义为

式中 T——观测时间；

E［x（t）］——变量x（t）的数学期望值。

均值反映了信号变化的中心趋势，也称为直流分量。

2）均方值

均方值表达了信号的强度；其正平方根值称为有效值（RMS），是信号平均能量的一种表达。

3）方差

方差表达了信号的波动大小，反映了x（t）偏离均值的波动情况。

图2．19（a）、（b）为两个频率相同的正弦信号，两者的均值都为零，表明信号的幅值都是围绕零变化的；图2．19（a）的均方值大于图2．19（b），说明图2．19（a）的信号强度大于图2．19（b），但是，图2．19（a）信号的方差也大于图2．19（b）信号的方差，说明图2．19（a）的信号波动较大。

均值、均方值和方差都是随机过程在各个孤立时刻的统计特性的描述。

4）概率密度函数p（x）

概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间（x，x＋Δx）内的概率对Δx比值的极限值，换句话说，它表示信号幅值落在某指定范围内的概率，它是以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。不同的随机信号，其概率密度函数的图形不同，借此可以认识和区分各种不同的信号。例如，如图2．20所示为正弦信号与正弦信号叠加随机噪声、窄带随机信号、宽带随机信号的概率密度函数的对比。

图2．19 两个频率相同的正弦信号

图2．20 各类随机信号及其概率密度函数

（3）随机信号的时域分析法——相关分析

相关性是指信号的相似和关联程度，相关分析不仅可用于确定性信号，也可用于随机信号的检测、识别和提取等。例如，动态测试中，输入信号的有用分量往往受到噪声干扰，此时可通过相关运算检测出有用的信号，有效提高信噪比，因此，相关分析在微弱信号检测、机械振动分析中得到了广泛应用。

由概率统计理论可知，相关是用来描述随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的数字特征。对于随机变量x和y之间的相关程度常用相关系数ρxy表示，即

式中 σxy——变量x、y的协方差；

μx、μy——x、y的均值；

σx、σy——x、y的标准差。

若ρxy＝1，表示x和y线性相关（精确相关）；若0＜ρxy＜1，表面x和y部分相关；若ρxy＝0表示x和y线性不相关，即x和y之间不存在确定性的关系。

除相关系数外，相关分析还常用相关函数（自相关函数和互相关函数）进行。在通信、信号处理、目标识别和生物医学中常用相关函数来度量两个信号之间的相似程度。

（4）自相关函数

1）自相关函数的概念和性质

自相关函数反映了信号在时移中的相关性（相似程度）。若x（t）时移后的样本用x（t＋）表示，则自相关函数Rx（）表示x（t）时移后得到的信号x（t＋）与原信号x（t）的相似程度，下标x表示其为信号x（t）的自相关函数，对于各态历经随机信号x（t），Rx（）定义为

需要指出的是，对不同性质的信号，Rx（）定义不同。

周期信号（功率信号）为

非周期信号（能量信号）为

由式（2．66）和式（2．67）可知，自相关函数Rx（）是时移的函数，Rx（）的值越大，表明x（t＋）与原信号x（t）越相似（重合）。

自相关函数具有如下性质：

①自相关函数为实偶函数，即

②值不同，Rx（）不同，当＝0时，Rx（）的值最大。此性质的物理意义很明显，若＝0，时移信号x（t＋）与原信号x（t）为同一信号，两者之间的相似程度肯定最大，并且由式（2．62）可知，此时Rx（）等于信号的均方值ψ2x＝μ2x＋σ2x，即

③Rx（）值的限制范围为

④对于一个非周期平稳随机信号x（t），当增大时其自相关性减弱，当→∞时，x（t＋）与原信号x（t）不存在内在联系，彼此无关，即

若μx＝0，则Rx（∞）＝0。

自相关函数的性质①～④如图2．21所示。

图2．21 自相关函数的性质

⑤周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，但是原信号的相角信息会改变。

自相关函数的性质在实际工程中具有重要作用。例如，在实际测试工作中，经常会遇到噪声干扰问题，通常噪声是一个均值为零的随机信号，由自相关函数的性质④可知，噪声信号的自相关函数在时间位移＝0时存在最大值，但是随着的增大，噪声信号的自相关函数很快由最大值衰减到零，如图2．22所示。因此，对包含随机信号和周期分量的复杂信号进行自相关处理，当时间位移足够大时，它的自相关函数中就只留下了周期信号的信息，故利用自相关函数可以提取混淆在噪声中的周期信号。例如，一个含有白噪声的正弦信号及其自相关函数如图2．23所示。

图2．22 均值为零的白噪声信号及其自相关函数曲线

图2．23 含有白噪声的正弦信号及其自相关函数曲线

2）自相关分析的工程应用实例——机械加工中的周期性回转误差提取

如图2．24所示，加工钻头在被测工件的表面移动，通过连杆机构带动差动变压器的铁芯位置发生相应变化，使得差动变压器的输出信号曲线x（t）反映了工件的表面粗糙度，从图2．24中可知，直接从表面粗糙度曲线中分析加工过程中是否存在回转误差等周期性故障是非常困难的，这时可对粗糙度曲线x（t）进行自相关运算，当时间位移足够大时，自相关函数中的噪声等非周期干扰信息迅速衰减到零，根据自相关函数的性质⑤可知，若测工件表面是否存在周期性回转误差，则自相关函数曲线Rx（）将包含相应的周期信息，从而可以判断是否存在回转误差，以及回转误差的周期及幅值。

图2．24 机械加工表面粗糙度自相关分析原理

（5）互相关函数

1）互相关函数的概念和性质

互相关函数Rxy（）反映了两个信号在时移中的相关性。两个各态历经随机信号x（t）和y（t）的互相关函数定义为

互相关函数具有如下性质：

①互相关函数是可正、可负的实函数。

②互相关函数非偶函数、也非奇函数，而是镜像对称的，即

图2．25 互相关函数镜像对称

即x（t）与y（t）互换后，其互相关函数对称于纵轴，如图2．25所示。

③Rxy（）的峰值不在＝0处，若信号y（t）时移d后与信号x（t）相似程度最大，则Rxy（）的峰值为偏离原点d处，如图2．26所示。

④均值为零的两个统计独立的随机信号x（t）和y（t），对所有的值有Rxy（）＝0。

⑤频率相同的两个周期信号的互相关函数仍是周期信号，其周期与原信号相同，且保留了原信号频率、幅值和相位差的信息；而两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零。即同频相关，不同频不相关。

2）互相关函数的工程运用

①地下输油管道漏损位置的探测，其原理如图2．27所示。输油管的泄漏处会产生噪声，在油料流动速度远远小于声音在油料中传播速度的情况下，可认为噪声向泄漏处两侧传播的速度相等，该传播速度设为v。假设泄漏处上刚好处于声音传感器1和2之间，且离两个声音传感器的距离不等，则漏油的声响传至两传感器的时间就会有差异，假设时差为t，记录下两个传感器测量到的声音信号x1（t）和x2（t），明显的，x1（t）时移t后与x2（t）相似程度最大，因此，做出x1（t）与x2（t）互相关函数曲线，在互相关函数图上的＝d处必存在最大值，这个d就是时差t。设S为两传感器的安装中心线至漏损处的距离，v为声音在管道中的传播速度，则

图2．26 互相关函数波形图

由式（2．72）可知，S与互相关函数曲线上的峰值距原点的距离d呈线性关系，此应用属于线性定位问题，其定位误差通常为几十厘米，且该方法也可用于弯曲的管道。

图2．27 使用互相关分析方法探测地下管道的泄漏位置原理

②相关测速。图2．28为利用互相关分析法在线测量子弹飞行速度的实例。在沿子弹运动的方向上相距L处的下方，安装两个光探测器A和B。当子弹以速度v移动时，在经过光探测器A和B时，分别产生两个脉冲电信号x（t）和y（t），这两个电信号的波形基本一致（非常相似），只是存在时间差，若把这两个电信号进行互相关分析得出互相关函数，则互相关函数曲线上的峰值距离原点的距离d即为x（t）和y（t）之间的时间差，因此，子弹的飞行速度v＝Ld。

图2．28 使用互相关分析方法进行测速

③利用互相关函数进行设备的不解体故障诊断。在发动机、司机座位、后桥上布置加速度传感器（图2．29），然后将输出信号放大并进行相关分析。由图2．29可知，发动机与司机座位的相关性较差，而后桥与司机座位的互相关较大，因此，可以认为司机座位的振动主要由汽车后桥的震动引起的。

图2．29 使用互相关分析车辆震动的传递途径