亲属关系域

8.3.2 亲属关系域

我们考虑的第一个实例是关于家庭关系或称亲属关系的域。这个域包括诸如“Elizabeth是Charles的母亲”和“Charles是William的父亲”的事实，以及诸如“某个人的祖母是其父亲（或母亲）的母亲”的规则。

显然，在我们的域里对象是人。我们将有两个一元谓词：Male（男性）和 Female（女性）。亲属关系——亲子关系、兄弟关系、婚姻关系等——将用二元谓词表示：Parent（双亲）、Sibling（同胞）、Brother（兄弟）、Sister（姐妹）、Child（孩子）、Daughter（女儿）、Son（儿子）、Spouse（配偶）、Wife （妻子）、Husband（丈夫）、Grandparent（祖父母）、Grandchild（孙子女）、Cousin（堂/表兄弟姊妹）、Aunt（姑/姨）、Uncle（叔/舅）。我们将用函数来表示Mother（母亲）和Father（父亲），因为每个人只能有一个父亲/母亲（至少按照自然规律是这样的）。

我们可以遍历每个函数和谓词，按照其它符号写出我们所知道的知识。例如，某人的母亲是此人的女性双亲：

∀ m, c Mother(c) = m ⇔ Female(m) ∧ Parent(m, c)

某人的丈夫是此人的男性配偶：

∀ w, h Husband(h, w) ⇔ Male(h) ∧ Spouse(h, w)

女性和男性是不相交范畴：

∀ x Male(x) ⇔ ¬Female(x)

双亲和孩子是逆关系：

∀ p, c Parent(p, c) ⇔ Child(c, p)

一个祖父母是某人的父或母的双亲之一：

∀ g, c Grandparent(g, c) ⇔ ∃p Parent(g, p) ∧ Parent(p, c)

同胞是某人的双亲的另一个孩子：

∀ x, y Sibling(x, y) ⇔ x ≠ y ∧ ∃p Parent(p, x) ∧ Parent(p, y)

我们可以列出好几页这样的内容，习题8.11将要求你完成这项工作。

这些语句中的每一个都可以看作亲属关系域中的一条公理。公理通常和纯数学域联系在一起——我们将简要地了解数域的一些公理——但是在所有域中都需要它们。它们提供基本的事实信息，根据这些信息可以推导出有用的结论。我们的亲属公理也是定义；它们具有∀ x, y P(x, y) ⇔ … 的形式。公理根据其它谓词，定义了Mother函数以及Husband、Male、Parent、Grandparent和Sibling谓词。我们的定义从一个基本的谓词集合（Child, Spouse, Female）发展而来，其它谓词基本上都可以根据这个基本集合进行定义。这是构造域表示的一种非常自然的方法，这一过程与通过来自原始库函数的相继子程序构造软件包的过程类似。需要注意的是，原始谓词的集合不必是唯一的；用 Parent、Spouse和Male也同样可以实现。正如我们以后会看到的一样，在某些域中，不存在可明确区别的基集。

不是所有关于域的逻辑语句都是公理。有些是定理——也就是说，它们是通过公理发展出来的。例如，考虑对称的同胞关系的断言：

∀ x, y Sibling(x, y) ⇔ Sibling(y, x)

它是一个公理还是定理？实际上，它是根据定义同胞关系的公理得出的一个定理。如果我们向知识库ASK这个语句，它应该返回true。

从纯逻辑的观点来看，知识库只需包括公理，而无需任何定理，因为定理没有增加根据知识库得出的结论集。从实用观点来看，定理对降低生成新语句的计算成本极为重要。如果没有它们，推理系统只好每次都从基本原理开始，这很像物理学家对于每个新问题都不得不重新推导微积分规则。

不是所有的公理都是定义。有些公理提供关于某些谓词的更一般信息，而没有构成定义。实际上，某些谓词没有完整的定义，是因为我们了解的知识还不足以完全刻画它们。例如，不存在显而易见的方法来完成以下语句：

∀ x Person(x) ⇔ …

幸运的是，一阶逻辑允许我们利用Person谓词而无需完整地定义它。替代地，我们可以写出每个人都具有的属性以及使得某个东西成为一个人的属性所对应的部分规范：

公理还可以是“普通事实”，诸如Male(Jim)和Spouse(Jim, Laura)。这样的事实形成特定问题实例的描述，使得特定问题能够得到回答。那么对于这些问题的答案就成为由公理推导出的定理。通常，人们发现期望的答案并不是现成的——例如，从Male(George)和Spouse(George, Laura)，希望能够推导出Female(Laura)，但是无法由先前已知的公理推导得到。这表明还缺少一个公理。习题8.8要求你提出这一公理。