思考推理的人

我曾经在一座小村庄里见过一个理发店，店外的广告标语是这样写的：我仅仅为村子里所有不给自己理发的男人理发^［197］。乍一听起来非常有道理，是吧？很明显，一个男人如果能给自己理发的话，那么他就不需要理发师的服务，理发师理所当然应该为所有其他的男人理发。但是，这里有一个问题：谁来为理发师理发？如果他自己理发的话，根据标语来看，他应该算作那些他不能为之提供服务的人员中的一员（给自己理发）。另一方面，如果他不给自己理发，还是根据这则标语，他应该算作他要为之服务的人员中的一分子（不给自己理发）。他是理呢还是不理？历史上比这更显次要的问题曾引发严重的家庭世仇。这种悖论是由伯特兰·罗素（Bertrand Russell，1872—1970）提出的。罗素是20世纪最杰出的逻辑学家和哲学家，他引入这个问题只是为了说明人类的逻辑直觉难免犯错。悖论或二律背反反映了那种表面可以被接受的前提，实际上却导致了不可接受的结论，在上面所举的理发店的例子中，那位理发师既为他自己，但同时又不为他自己理发。这个悖论能解开吗？严格按照上述说法，可能有一种非常简单的解释：这名理发师是一位女性！可是，假设之前我们已经被告知这位理发师就是个男人，那么，首先接受那个前提就只能推导出荒谬的结论。换句话说，这样的理发师根本不可能存在。但这与数学有什么关系呢？事实证明，数学和逻辑是紧密相联的。这里就是罗素本人对这种联系的描述^［198］：

传统观念一直认为，数学和逻辑是完全独立的，数学与科学相关联，而逻辑则与古希腊联系在一起。但数学和逻辑在现代都得到了极大发展：逻辑变得更数学化，而与此同时数学也更富有逻辑性。其结果是在今天（1919年）想在逻辑和数学之间划一条清晰的界线根本是不可能的，因为它们实际已经合二为一了。它们的区别犹如儿童和成人之间的差别：逻辑是数学的年轻形态，数学则是逻辑的成熟形式。

在这里，罗素实际上是认为在很大程度上数学可以简化为逻辑。换句话说，数学的基本概念，甚至是数字这类基本元素，事实上都可以用推理的基本法则来定义。而且，罗素在后期还更进一步地提出了人类可以用这种定义以及逻辑概念共同促使新的数学定理的诞生。

起初，那些认为数学不过是人类的发明或者是经过精心设计的游戏（这是形式主义论的看法）的人，以及困惑的柏拉图主义者，都认可并接受这种关于数学本质的观点（即大家所知的逻辑主义）。前者很高兴地看到那些表面上并无关系的“游戏”汇总成了“所有游戏之母”；而后者也从中发现，“整个数学体系可能是从一个明确无疑的起源推导而出的”这种思想有可能是成立的，在柏拉图主义者眼中，这使得存在唯一的、形而上的哲学根源的可能性大大增加了。不用说，至少在原则上，存在唯一的数学根源也有助于我们理解数学的力量。

为了完整起见，我必须指出还存在一种学院派的观点——直觉主义[21]，这种观点与逻辑主义和经验主义完全相反^［199］。这一经院式思想的领军人物是颇为狂热的荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LuitzenE.J.Brouwer，1881—1966），他相信数字来源于人类对时间的直觉和人类经验中那些不连贯的时间片断的感觉。对他来说，数学毫无疑问是人类思考的结果，并且罗素提出的那种想象中的、广泛的逻辑法则根本没有存在的必要。布劳威尔还进一步声称，唯一有意义的数学实体是那些以自然数为基础，在经历有限的步骤之后就能被清晰构建的独立实体。因此，不接受那些无法用构造性证明来证实的数学实体，而这占据了数学体系的一大部分。同时，他还对另一个逻辑概念持否定态度，那就是排中律——这一思想认为任何表述要么是正确的，要么就是错误的（不存在部分正确、部分错误的命题）。事实上，布劳威尔认为存在一种中间的第三类情形，在这种状态下，事物都是“悬而未决”的。这些思想，以及其他一些直觉主义者提出的限制，在某种程度上使这种学院派思想逐步边缘化了。尽管如此，直觉主义的某些思想的确预测到了部分认知科学家关于人类如何获取数学知识的研究成果（这是本书第9章将要重点讨论的主题），除此之外，这些思想还启发了现代数学哲学家们的思考，并且由此引发了一系列讨论，例如迈克尔·达米特对此就提出了一些他自己的看法。不过达米特的方法本质上还是一种文字游戏，他强有力地说：“数学表达式的意义决定了它的作用，并且反过来又完全由它的作用决定。”^［200］

但是数学和逻辑间这种紧密的合作关系是如何发展起来的？逻辑步骤、还有逻辑程序是可见的吗？这里，让我们先简要回顾一下最近 4个世纪以来逻辑和数学发展历史的几个重要阶段，从中我们可以得到一些有益的启示。