－资产组合选择模型分析

4　Copula－CVaR资产组合选择模型分析

在金融市场中，由于金融收益序列往往呈现出偏斜厚尾，使得各类风险之间的关系往往是非线性的，传统的线性相关系数不能够正确描述变量间的非线性关系，而基于秩相关的Copula函数能较好地捕获变量间的非线性相依关系，因此当前采用Copula方法对风险之间的相依性进行描述变得越来越流行。由于Copula函数的选取、参数的估计方法等都会影响模型对数据的拟合程度，为此Patton(2006a，b)对相关问题做了有益地探讨。Kole等(2007)提出了如何选择合适的Copula函数的一些方法。但是，如何选择合适的Copula函数仍然是一个难点。

Monte Carlo方法在求解多维问题上有很大的优势，因为其收敛速度与问题维数无关。在应用过程中，多元相关随机变量的生成一直是一个不容易解决的难题，这也限制了Monte Carlo方法在多维问题上的应用。Copula理论将多元随机变量的联合分布分成了多元随机变量的边缘分布和相关性结构两个部分，从而能够很容易地使用Monte Carlo方法生成非多元正态分布的随机变量。

基于以上两个原因，本书从实际运用的角度出发，采用基于Monte Carlo数值模拟技术的Copula－CVaR风险评估模型讨论Copula函数的选择对投资决策的影响，度量资产组合的集成风险。

4. 1　Copula函数分布特征的比较分析

Copula一词最早由Sklar于1959年提出，意思是交换、连接。根据Sklar定理，n个随机变量的联合分布函数F(x1，…，xn)与它们各自的边缘分布函数F1(x1)，…，Fn(xn)之间，一定存在唯一的相关结构函数C，使得

由此我们可以看到联合分布函数F(x1，…，xn)可以分解成两部分，一部分是边缘分布函数，另一部分是n个变量间的相关结构。金融市场风险分析应用中，边缘分布Fi，i= 1，…，n代表单支股票的风险，而相关结构则代表资产间或者是市场间的风险。进一步地，(4.1)式可以表示为:

这里ui∈［0，1］，ui= Fi(x)，i= 1，…，n。可见相关结构C就是边缘分布都服从［0，1］上均匀分布的n维随机变量的联合分布函数。

根据(4.1)可以看到，对于连续的多维分布函数，一维边缘分布和多维分布函数之间可以通过Copula函数连接起来。由此得到资产组合风险度量步骤为:①计算资产组合中单个资产风险的分布;②选择风险之间的Copula函数;③运用单个资产风险分布和Copula函数刻画资产组合的联合风险分布;④使用VaR或CVaR方法度量资产组合的集成风险。其中Copula函数的选择是最为重要的一步，所以下面首先从相关性分析角度介绍几种常用的二元Copula函数:正态Copula函数、t Copula、Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula，简要分析与比较五种Copula函数的分布特征，并总结它们的特点与适用范围。

(1)二元高斯Copula相关结构，其分布函数表达式为:

其中Φ－1(·)一元标准高斯分布函数的反函数。ρ∈(－1，1)实际上是Φ－1(u)和Φ－1(v)的线性相关系数。二元高斯Copula属于椭圆Copula族，在市场波动不太大的情况下，二元高斯Copula能较好地拟合实际情况，实际应用中其计算也比较简单。但二元正态Copula的密度函数是对称的，无法捕捉到变量之间非对称的相关关系。并且在二元正态Copula分布的尾部，两变量是渐近独立的，然而极端事件发生时金融市场间的相关性会发生巨大的变化而通常趋于增强，这时再用二元正态Copula函数来计算投资组合的风险价值VaR，就会低估风险。二元高斯Copula对市场的尾部相关关系刻画不足，因此常用来描述通常情况下变量间的相关关系。

(2)二元t Copula相关结构，其分布函数表达式为:

其中ρ是线性相关性，υ是自由度，(.)表示自由度为υ的 t分布的单变量分布函数的逆，Tρ，ν(.)为联合t分布函数，a=和，其中tυ－1表示学生t累计分布函数的逆函数。t－Copula具有尾部相关，且由两个参数ρ和υ共同决定了变量在极端情况下的相关程度。由于t－Copula是对称的Copula，其上尾相与下尾相关相等，其表达式如下:

(3) Gumbel Copula相关结构，其分布函数表达式为:

这里α∈［0，1］是相关参数，α值越趋于0，表明两资产间的上尾相关程度越高。当α趋向于1时，CG(u，v;1)= uv，说明两变量相互独立。Gumbel Copula的密度函数呈现出上尾厚下尾薄的“J”字形非对称性特点，这说明Gumbel Copula函数对变量在分布上尾处的变化十分敏感，在捕捉资产间上尾相关性即牛市波动变化规律时具有较强的刻画能力。由Gumbel Copula函数来描述的相关结构意味着在分布的上尾即当收益为正的极值时，变量间具有更高的相关性。而由于在分布的下尾部变量是独立的，因此Gumbel Copula函数对资产间下尾相关性即熊市波动变化规律的刻画能力较差，难以捕捉到下尾相关的变化。另外Gumbel Copula函数的相关参数α与传统的相关性和一致性测度如Kendall的秩相关系数τ的关系为:τG= 1－α。与尾部相关系数有对应关系:

(4) Clayton Copula，其分布函数表达式为:

这里θ∈(0，∞)是相关参数，θ值越大，说明两变量间的下尾相关程度越高。Clayton Copula与Gumbel Copula恰好相反，其密度分布呈上尾低下尾高的“L”形。它能够有效捕捉资产间下尾相关性，即对熊市波动变化规律较为敏感。由Clayton Copula函数来描述的相关结构意味着在分布的下尾即当收益为负的极值时，变量间将表现出具有更高的相关性。由于在分布的上尾变量是渐近独立的，因此Clayton Copula函数对变量在分布上尾处的变化不敏感，难以捕捉到上尾相关的变化。另外Clayton Copula函数的相关参数θ与传统相关测度如秩相关系数τ的关系为:τC=θ/(θ+ 2)。与尾部相关系数有对应关系:

(5) Frank Copula，其分布函数表达式为:

其中β∈(－∞，+∞)，β≠0。当相关参数β趋于零时，表明两资产渐进独立;β大于零，表明两资产正相关;β小于零，表明两资产负相关。因此Frank Copula能够照顾到两市场两尾的相关性。Frank Copula的密度分布呈对称的“U”字形，无法捕捉到非对称的相关关系。此外Frank Copula函数分布在尾部都是渐近独立的，因此Frank Copula函数对上尾和下尾相关性的变化都不敏感，难以捕捉到尾部相关的变化。另外，Frank Copula函数的相关参数β与传统相关测度如秩相关系数τ的关系为，k= 1，2。与尾部相关系数有对应关系:

表4－1　五种常用Copula函数的特点和适用范围

上述五种Copula函数的分布特征表现出多样的形态，表4－1对五种Copula函数各自的特点和适用范围进行了总结。由于这几种Copula函数对变量间相关结构的描述各有所长，涵盖了相关结构变化的各种情形，并且Copula函数中的相关参数与常用的几种重要的一致性和相关性测度，如Kendall的τ、Spearman的ρ和Gini系数常有一一对应的关系，因此通过这些传统的一致性和相关性测度，不同的Copula函数之间具有了可比性。这些优良特性使其在金融分析中得到广泛的应用。

4. 2　最优拟合Copula函数的选择

4.2.1　边缘分布的设定

估计单个资产收益边缘分布的方法有参数估计和非参数估计。由于参数估计可以计算边缘分布函数的VaR值，因此选择参数法估计。为反映金融市场数据的波动集聚性特征，引入GARCH模型进行模拟。取GARCH模型中的p= q=1，即GARCH(1，1)模型，则股票收益rt的模型为:

式中，其中rt为t时期的收益，μ为收益的无条件期望，σ2t为t时期收益的方差，σt－1为t－1时期的标准差，εt为t时期的残差，It－1为t－1时刻的信息集，υ为自由度，μ，ω，α，γ和β均为待估参数，εt服从条件GED分布。

对误差项ε的条件分布形式，之所以采用广义误差分布(Generalized Error Distribution，GED)来描述股票回报的条件分布，是因为它比正态分布更加准确的刻画收益的尾部特征，其密度函数为

式中，c=，v＞0。参数v控制着分布的形式，参数不同，分布的形式也不同。当v=2时，GED分布是正态分布;当v＞2时，GED分布的尾部比正态分布的薄;当v＜2时，GED分布的尾部比正态分布的厚。

4.2.2　Copula模型的参数估计与选择

最常用的估计方法是两阶段法。不过，估计不同函数族的参数也可以采用不同的方法。对于椭圆Copula函数族，可用秩相关系数τ根据ρ= sin(π/2τ)估计参数ρ。对于t－Copula函数，还需要估计函数中的参数υ，本书采用极大似然估计法。对于Archimedean Copula函数族的参数，也可根据τ相关系数估计，方法参考Genest等(1993)。

通过比较判断不同族类、不同种类Copula函数与经验Copula函数之间的拟合优度，来判断最优拟合的Copula函数。对于拟合优度的判断方法，采用图像法和分析法。图像法主要是通过QQ图即分位数图来观察通过不同Copula函数得出的分布值与经验Copula函数的距离，如果两者拟合度较高，则QQ图上两者都将重合于45°直线上。分析法通过Kolmogorov－Smirnov检验(简称K－S检验)来计算估计的Copula函数与经验Copula之间的最大距离，由此计算出相应的p值，p值越大拟合效果越好。另外，还可以采用估计的LLF值或AIC值，该值越小表示方程拟合效果越好。

4.2.3　Monte Carlo模拟方法计算VaR和CVaR

确定最优Copula函数之后，即可度量资产组合收益率的风险。假设资产组合中有两种资产，资产1和资产2，令w1、w2分别为资产的权重，w1+ w2= 1。若X和Y分别代表资产1和资产2的对数收益率，P1t，P2t为t期价格，则资产组合的收益率定义为:。对应的风险价值VaR是:Pr(R＜VaR)= 1－c，其中Pr(·)为概率，c为置信度。

具体计算过程如下:①使用最优Copula函数，通过Monte Carlo模拟产生相依的二维随机样本;②通过各边缘分布函数经过逆概率变换为对数收益率X和Y;③把两者带入资产组合收益率公式中，得到资产组合收益率R的样本;④经过多次模拟，计算资产组合收益率样本的分位数，即为一定置信度下的VaR值，随之可得CVaR。

4. 3　Copula函数对资产组合选择的影响检验

4.3.1　数据的选取

为了研究相关结构对组合资产风险值的影响问题，本研究选取中国香港地区股票市场上恒生指数、国企指数作为研究对象(分别用X1，X2表示)，考虑到1997年香港股市因为亚洲金融危机出现异常的波动，以样本时间段为2001年10月4日至2008年10月30日共有1751个交易日的收盘价{Pt}为原始数据。所有数据来源于Wind数据库。收益率序列{Yt}为:Yt= ln Pt－ln Pt－1，分别以Guoqi0和Hanseng0表示。同时由于2007年4月开始的次级贷款危机对全球大部分开放型股市包括香港股市产生的剧烈的波动，所以将整个样本以2007年4月4日为界，分为危机前样本(分别以Guoqi1和Hanseng1表示)和危机后样本(分别以Guoqi2 和Hanseng2表示)。全样本指数收益Guoqi0和Hanseng0的时间序列图见图4－1，表4－2则给出了每个样本区间内各指数收益的基本描述统计量。

图4－1　全样本的收益序列图

表4－2　各指数收益的基本描述统计量

从图4－1可以看出，国企指数和恒生指数的收益率波动幅度在次贷危机爆发之后明显大于危机爆发之前的波动幅度。而从表4－2可知，两个样本收益的均值在次贷危机爆发前后由正值变为负值，同时其标准差也明显增大。通过对经验分布进行正态JB假设检验，两市的收益率都不服从正态分布，具有“尖峰后尾”特征。为了刻画厚尾特征，使用GED分布来描述收益率的分布。

假设考察的资产组合包含等权重(w1= w2= 0.5)的两种资产，并且此两种资产的收益率分别与国企指数、恒生指数的收益完全正相关，资产组合的收益率是国企指数、恒生指数两个指数收益率的联合分布函数。

4.3.2　边缘分布的估计

本书用(4.9)式来描述各指数收益率序列的分布情况，采用极大似然估计法来估计各指数收益率序列对应模型的参数，并用Kolmogorov－Smirnov法则(简记K－S法则)检验模型的拟合效果，具体的参数估计值及检验结果见表4－3。

表4－3　次贷危机爆发前后各边缘分布模型的参数估计值

续表

表4－3显示，各指数收益率序列都具有明显的非对称性(β≠0.5)和尖峰厚尾性;两个样本在次贷危机爆发前后经过EGARCH(1，1)－GED模型拟合后，对其标准化后的残差进行检验，结果显示均不存在自相关，且经过模型拟合后的数据均通过了LM检验和K－S检验，说明所设定的边缘分布模型是合适的。表4－3中可以看出，各指数回报的条件分布GED的自由度都小于2，具有比正态分布更厚的尾部分布，用GED分布的GARCH模型能够更有效地反映尾部风险。

4.3.3　Copula模型的参数估计与选择

将观测样本(r1t，r2t)，t=1，2，…T和表4－3的估计结果代入μi.t= F(xi，t)，即可得到一组数据(u1t，u2t)，t= 1，2，…T;将所得数据代入给定的各多元Copula函数，利用两阶段法即可估计出各Copula函数的参数。然后，采用分析法即使用K－S检验选择最优Copula，同时使用估计的LLF值或AIC值进行选择，参数估计结果和拟合检验见表4－4。

LLF表示极大对数似然函数值，AIC为赤池信息准则(Akaike information criterion)，用于比较模型拟合的优劣，该值越小表明模型拟合效果越好。

表4－4　五种Copula的参数估计结果和拟合检验

从表4－4可知，无论是通过极大对数似然函数值(LLF)还是通过K－S检验的p值比较可知，在各个样本阶段由各种方法判断得到的最优Copula基本相同，但是在不同样本阶段选择得到的最优Copula是不同的。例如危机爆发之前最优Copula是t Copula，而危机爆发之后最优Copula是Clayton Copula。这是因为次贷危机爆发之后，两个指数都发生了不同程度的暴涨暴跌，指数之间的相关模式也发生了改变。

4.3.4　资产组合VaR和CVaR值的计算

为进一步比较各Copula函数在集成风险度量中的准确度，本书利用各二元Copula函数的估计参数，运用相应的程序Monte Carlo模拟，生成了10000个未来半年内的指数价值的情景，可以模拟出服从不同相关结构函数的随机向量(v1，v2);结合表4－3中各股票资产收益率序列边缘分布函数的参数估计值，可以模拟出不同相关结构下的收益率序列(r1，r2)，由此可计算出不同相关结构下组合收益在未来半年内的风险度量VaR和CVaR值及其对应的收益，结果见表4－5。

表4－5　不同相关结构下的收益及风险值

表4－5显示，CVaR始终明显比相同置信水平下的VaR大，这也说明了CVaR作为一种更严格的风险度量方法，相对于VaR只是损失分布的一个下分位数，CVaR可以综合考虑损失超过VaR的情形，对于需要稳健配置资产的投资者，CVaR是一种比较合适的度量风险的方法。为了评价相关结构对组合资产风险值的影响，引入准夏普指数来反映资产组合的绩效。在无风险资产收益rf=0.001时，不同置信水平下的准夏普指数见表4－6。

表4－6　不同相关结构对应的准夏普指数

表4－5和表4－6表明，在95%置信水平下，基于不同风险测度的准夏普指数都表明对于危机爆发之前的两个指数相关关系的拟合，基于t Copula函数的资产组合绩效最好。究其原因是由于该Copula函数能够较好地捕捉金融资产间的上下尾部相关结构。而Clayton Copula由于过分强调金融资产间的下尾相关结构，存在高估风险的可能，因此绩效表现最差。这说明在研究投资组合的风险管理问题时，要充分考虑组合资产间的尾部相关结构。另外，对于危机爆发之后的两个指数相关关系的拟合，在95%置信水平下，结果却是基于Clayton Copula函数的资产组合绩效最好，而原因恰恰是Clayton Copula在描述金融资产间的下尾相关结构有优越性，这也说明危机时期各指数之间的相关模式会发生改变，对所研究的样本进行模式变化点的判断是一项非常必要的工作;也说明基于Monte Carlo数值模拟技术的Copula－CVaR风险评估模型能更准确地度量资产组合的整体风险，有效地进行不同Copula相关模式的选择，有助于投资者做出正确的决策。

4. 4　本章小结

本书采用基于Monte Carlo数值模拟技术的Copula－CVaR风险评估模型讨论Copula函数的选择对投资决策的影响，度量资产组合的集成风险，总结出了资产组合风险度量的一般步骤:①估计资产组合中单个资产风险的边缘分布;②估计备选Copula函数的参数;③采用多种方法比较并选择最优拟合的Copula函数;④通过Monte Carlo模拟，计算资产组合的VaR和CVaR值以评估组合资产的风险。通过对中国香港地区国企指数、恒生指数的经验数据的实证检验可以看出，在不同的时间段内，具有较高的拟合度Copula函数并不相同，指数之间的相关模式是会发生变化的。通过计算资产组合的VaR和CVaR值，Clayton Copula由于能更好的刻画尾部特征，从而在危机时期准确度更高。总体来说，可以得到如下的结论:

1)边缘分布的拟合优劣对后续Copula的相关模式会产生很大的影响，虽然单变量分布的建模已经比较成熟，但是要准确的对每一个研究对象进行边缘分布的拟合仍然是一项复杂的工作，因此必须对数据进行一些经验判断和事前分析。

2)目前Copula函数的形式仍然比较有限，而各个随机变量之间的相关模式可能千变万化。为寻求更加准确的度量方法，需要开发更多的Copula函数以扩大Copula函数的选取范围;而另一方面同时采用多种适当的分析方法在现有的Copula函数中进行择优选择显得可行而又必要。

3)由于CVaR考虑了损失超过VaR部分的风险，较VaR可以更综合的考虑各种风险，同时Copula能够比较准确地刻画组合资产中不同资产间的非线性、非对称相关结构，将Copula和CVaR结合起来对投资组合的风险进行判断是一个比较好的选择。基于Monte Carlo数值模拟技术的Copula－CVaR风险评估模型进行资产选择，可以使投资者的资产选择更加稳健，对研究风险管理和投资组合有重要意义。