怎样设计相关的开放题与题组题_长方形面积计算教

怎样设计相关的开放题与题组题_长方形面积计算教

8.3　怎样设计相关的开放题与题组题？

上文所给出的习题评价指标也可以作为习题设计的思路参考。也就是说，在设计习题时除考虑科学性外还要注意问题情境的现实性、趣味性、开放度和一定的思维水平。

比如，按照上面的评价角度，我们发现人教版教材的习题现实性、趣味性比较强的占了90%，但习题的开放度不足，只有4题。因此，教师可以适当增加一些开放题，让学生多角度地思考。从能力水平的角度来看，新课练习题都是水平1和水平2的习题，可以补充1道水平3的习题，让学有余力的学生充分发展，并且通过对水平3的习题思考，更能促进学生对长方形面积计算方法的掌握。在其后的《练习19》中，11道练习题中水平1～3的习题比例大致为3∶4∶4，安排得比较恰当，教师可以根据本班学生的实际水平，适当增减相应的习题。

事实上，对于一道题来说，上述的几个方面是一个整体。因此，笔者不打算分开讨论，而就教学中常用的“开放题”和“题组题”谈些实践体会。

（1）开放题设计(www.guayunfan.com)

一般来说条件不充分或者结论不确定的习题是开放题（戴再平）。但也有学者认为“具有多种不同的解法，或者有多种可能的解答”也可称之为“开放性”问题（郑毓信）。苏联学者奥加涅相提出的“要素分析法”认为，数学习题是一个系统：｛Y，O，P，Z｝，其中Y表示习题的条件，O表示解题的依据，P表示解题的方法，Z表示习题的结论。上述系统的四个要素中有三个是未知的习题称为问题性题；有二个是未知的习题为探索性题。数学开放题大多数属于问题性题，也有一部分属于探索性题。

开放题不是一个已经审定的规范数学名词，在概念上有多种解释，但其学习价值却得到一致肯定。学生在解答数学开放题的过程中，能克服思维定势，强化发散思维，从而有利于领悟数学本质。因此，开放题越来越受到师生的关注，现在的中考、高考题中，已经把开放题作为一种常见的题型了。

开放题是相对于封闭题而言的，因此，设计开放题时可将封闭题逆向，开放封闭题的条件、结论、解题策略等。

①封闭题逆向

将原本封闭题的结果变为条件，原来的条件变成问题是常用的开放题设计方法。

原题：一个长方形的长是5dm，宽是8dm，它的面积是多少？

8×5＝40dm2

开放题：一个长方形的面积是40dm2，它的长和宽可能是多少呢？

【分析】

面积是40dm2的长方形有无数多个，如果取整分米数，根据面积的计算公式将40分解，有4组长和宽：40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8。

②封闭题去条件

原题：用一根24厘米长的铁丝围成一个长是8厘米的长方形，这个长方形的面积是多少？

开放题：用一根24厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的面积是多少？（去掉“长是8厘米”这个条件）

【分析】

用24厘米的铁丝围成的长方形，它的周长是24厘米，长和宽的和是24!2＝12厘米。将12分拆后（小学三年级时默认为自然数范围）可以表示为1＋11，2＋10，3＋9，4＋8，5＋7，6＋6，所以，用24厘米围成的长方形可以有以下六种，它们的面积分别是：

（1）11×1＝11（平方厘米）；

（2）10×2＝20（平方厘米）；

（3）9×3＝27（平方厘米）；

（4）8×4＝32（平方厘米）；

（5）7×5＝35（平方厘米）；

（6）6×6＝36（平方厘米）。

所以，用24厘米的铁丝可以围成六个不同的长方形，它们的面积分别是11平方厘米、20平方厘米、27平方厘米、32平方厘米、35平方厘米和36平方厘米。

③设置开放的解题策略

原题：小明家买了新房子，想给长6米，宽4米的客厅铺地砖，要买多少平方米的地砖？

开放题：小明家买了新房子（房型图如下所示），想给其中一些房间铺地砖，另外的房间铺地板。分别要买地砖和地板多少平方米？

【分析】

本题融合了生活常识和个人喜好。厨房和卫生间一般是铺地砖，其他房间的地面铺地板还是铺地砖则是个人喜好不同。因此，本题的解题策略多样。如客厅和厨房、卫生间一样铺地砖，也可以客厅和卧室、书房一样铺地板。

同时，本题的算法策略也可以多样。如，将客厅与卧室铺地板，可以分开计算：

4×（4＋2）＝24平方米；4×3＝12平方米；2×3＝6平方米；24＋12＋6＝42平方米。

也可以把这三个图形看成一个更大的长方形：

（3＋4）×（3＋3）＝42平方米。

同样，厨房、卫生间、书房铺地砖的面积也有多种算法选择。

开放题的设计国内已经有不少学者作过专门的研究，现在已经有不少成果。从笔者有限的开放题的设计和使用经验来看，[4]大多数封闭题都可以通过增减条件、取消限定词、模糊问题等方法设计。开放题的使用也应该与封闭题配合使用。

（2）题组题设计

把一些相关的练习题编成一组形成一个整体，这就是题组。以题组形式编排习题是一种常用的教学方法。根据瑞典教育家马登的“学习就是鉴别”的理论，题组的练习有利于学生在类比或对比中体会数学本质，在循序渐进中掌握方法。在实践中，题组题的应用也很广泛，不论是对概念学习还是方法学习，都是一种行之有效的好题型。

在设计题组时，我们可以把一个核心知识分解成系列的知识点，编成一组；或把同一题材的几道题目作结构上的变换，编成一组；也可以把同一结构的题目作情节上的变换，编成一组；也可以按一题发展到多题的要求，编成题组；还可以按互逆或转化的关系，编成题组，等等。

①按核心知识的分层递进编成链式题组

例：长方形面积和周长的关系

1）估计：下面两图的周长哪个更长？面积哪个更大？（每一方格的边长是1cm）

2）计算：上面两个长方形的周长和面积分别是多少？比一比。

3）请你在方格中继续画2个周长是16cm的长方形或正方形，算一算它的面积。

4）下面四个图形的周长相等吗？面积呢？你发现了什么？

【分析】

这一组题思维水平起点不高，分层递进，从数形结合到逐渐抽象，围绕核心知识链式循序渐进最终引出核心知识。通过上面系列解答，学生可以逐渐发现在矩形中，如果周长相等，则正方形的面积最大。

②按同一题材作结构性变换编成变式题组

例如：面积的估算与计算。

在教室中：

1）哪一个面的面积最大？估计一下，这个面的面积是多少？

2）找一找，哪一个面的面积大约是30平方分米？

3）测量并计算教室地面一块瓷砖的面积，估计整个教室地面的面积。

4）如果要给教室的墙面粉刷一遍，面积大约是多少？

5）小明和小红分别给教室和包干区拖地（图略），小红拖的面积比较大。他们分别拖的是哪一块地？

【分析】略。

③按同一结构作情景性变换编成同构题组

例：长方形周长和面积计算公式的巩固。

1）填表：

2）量一量，算一算，下面的长方形周长和面积分别是多少？

3）公园有一个正方形花坛，小明想知道这个花坛的面积。他知道自己走路时每一步大约是20厘米，他想了一个办法：绕着花坛走了100步。很快他就知道了这个花坛的面积。你知道小明是怎样想的吗，这个花坛的面积大约是多少呢？

【分析】略。

④按邻近知识域作相近或互逆变换编成对比题组

例：长方形面积公式的巩固。

1）把一张长是12cm宽是8cm的长方形纸折成一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？

2）把2个边长是5cm的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长和面积分别是多少？

3）把一张长方形的纸对折，正好折成2个边长是3cm的正方形。这张长方形纸的周长和面积分别是多少？

4）有两个完全相同的长方形，如果把它们的长边拼在一起，拼成的新长方形的周长比原来的长方形周长多10cm；如果把它们的宽边拼在一起，拼成的新长方形的周长比原来的长方形周长多16cm。原来一个长方形的面积是多少？

【分析】略。

设计题组的方法有很多，国内学者有的按题组功能编制，有的按课型编制，都给我们很大的启发。笔者上述的几种编制方法仅仅是抛砖引玉而已。总之，设计练习题组是获得教学整体效益的一种重要途径。这种整体呈现、整体比较、整体掌握的练习方式能够促使学生系统地掌握知识结构，全面、灵活地进行数学思考，克服一课一例、一题一练的单调的教学模式。题组题不是简单的练习题的堆积，而是教师根据学生的学习经验、学习能力和学习需求，选取有层次，有代表意义，集知识性与趣味性，基础性与启发性于一体的练习题，通过合理组合，使学生易于掌握数学知识，形成技能技巧，并对学生形成和发展数学认知结构起到至关重要的作用。

附件：各版本教材习题。

人教版教材

北师大版教材

浙教版教材