王才红（执教） 陈庆宪（评析）
◎课前思考
“一个数除以小数”是在“除数是整数的小数除法”的学习基础上进行教学的。这一内容人教版课程义务教育教材编排在五年级上册，教材为本课编排了两个例题，其中一个例题是每编一个中国结要用0.85m丝绳，那7.65m长的丝绳，可以编几个中国结。写出算式“7.65÷0.85”，再思考如何把除数转化成整数进行计算，使学生初步学会转化的方法。教材接下来的例题是针对“12.6÷0.26”的算式，学习在除数转化为整数时，被除数也同时扩大相同倍数（先要在末尾添加“0”的情况）。教材对这两个例题，分成两课时来进行教学。我们觉得，因为有了前一例题的把除数转化为整数的算理支撑，掌握第二个例题算式的计算应该不是很难，所以我们把这两个例题整合在一节课进行教学。
本课的主要问题是学生在列出第一个例题的算式“7.65÷0.85”后，怎么会自己想到利用商的不变规律，把除数转化成整数进行计算呢？如果教师先给学生提示：你怎样把除数转化为整数，要使商不变又应该怎样转化呢？学生才有可能想到商的不变规律，也就是把除数和被除数同时扩大到它的100倍。但这样的教学，学生经历的思考过程显然比较平淡，处于被动接受状态。出于这样的思考，我们对本课的学习素材做了补充，在教学环节上也做了适当调整。试教后，收到较好的教学效果，现整理如下，供大家教学时参考。
◎实录与评析
1.题组迁移，引发自主解读。
（1）从口算题组的联想中解读算理。
教师在屏幕上先后呈现两个算式：24÷6= ，2.4÷6= ，学生很快地回答出它们的商分别是“4”和“0.4”。
接着教师又呈现出“2.4÷0.6=”，这时有一部分学生回答出：商是“4”，教师问：对吗？学生说出了商还是“4”。
师：这个算式与前两个算式哪里不同？
生：除数是小数。
师：是呀！今天我们就要学习除数是小数的除法。（同时揭示课题）
师：那“2.4÷0.6”的商为什么是“4“呢？（学生再次独立思考，小组交流）
生1：我发现“2.4÷6”与“24÷6”比较，被除数缩小了它的
，商也缩小了它的
；而“2.4÷0.6”与“2.4÷6”比较，除数缩小了它的
，商反而要扩大到它的10倍，所以“2.4÷0.6”的商是“4”。
生2：我把算式“2.4÷0.6”与“24÷6”进行比较，发现“2.4÷0.6”的被除数与除数同时乘10，就和算式“24÷6”一样了。因为被除数和除数同时乘一个数商是不变的，所以“2.4÷0.6”的商也是“4”。
师：真好！其他同学是否也都观察到了呢？（学生都表示同意）
教师接着提出：除了与前两个算式比较，利用商的变化规律能得出第三个算式的结果，那你们还能直接针对算式“2.4÷0.6”来说明它的商是“4”吗？
学生思考片刻后，教师提示：“2.4”里面有几个“0.1”？
生：2.4里面有24个0.1。
师：那0.6呢？
生：因为2.4里面有24个0.1，而0.6里面有6个0.1；这样24个0.1里面就是4个0.6了，所以“2.4÷0.6”的商是“4”。
教师根据学生的回答，在屏幕上逐步演示出部分数位顺序表和直观图（如图1），帮助学生理解结果。
接着教师又提出：你们是否还可以添上实际计量单位来说明呢？
这时有学生提出了添上“m”作单位，这样就有2.4m=24dm，0.6m=6dm，也就是24 dm里面有4个6 dm。
也有学生提出了添上“元”作单位，这样就有2.4元=24角，0.6元=6角，同样24角里面有4个6角。
师：大家都能从不同角度说明了“2.4÷0.6”的商是“4”，那你们能把它写成竖式进行计算吗？
学生独立写竖式计算，教师在巡视中发现学生有两种写法，就选两位学生分别把自己的竖式写在了黑板上（如下面两种竖式）。
图1
师：你们仔细观察，能看懂这两位同学的竖式吗？
生1：第二个竖式原来被除数是2.4，除数是0.6，为什么可以改成24除以6呢？
师：是呀！你把题目的数改了人家看不懂，你能解释一下吗？
生2：因为被除数和除数同时扩大到它的10倍，商是不变的，所以直接写成24除以6了。
师：第一个竖式大家一定看懂了，他是直接商“4”，用4乘0.6得2.4。可见这两种竖式都有道理。如果在写竖式时，先不改变原来的被除数和除数，结合第二个竖式的方法，那又该怎样思考呢？
教师在学生再次尝试竖式后，在黑板上通过板书把转化的过程在竖式中逐步呈现出来：先把除数转化为整数，要扩大到它的10倍，小数点向右移动一位，接着被除数也要扩大到它的10倍，小数点也要向右移动一位。然后按除数是整数的除法进行计算。
黑板上呈现的竖式是
【评析】 教师没有把原教材的第一个例题的“两位小数除以两位小数”作为新课的开始，而是重新创设了数据简单的“一位小数除以一位小数”，这样就为学生降低了探究难度。同时让除数是一位小数的算式以题组的形式出现，前两个算式学生用原有技能就能很快回答出结果，并且这两个算式与今天要学的第三个算式“除数是小数的除法”联系密切。学生在思考第三个算式时，自然主动地联系到前两个算式，通过观察被除数、除数的变化，自主解读了商为什么是“4”。此外，在这一环节，教师还引发学生用被除数和除数都有几个“0.1”，或对被除数和除数添加计量单位的方法来分析为什么商是“4”，可见这样的设计给学生创设了更大的思维空间。接着让学生用竖式尝试计算。教师先呈现了学生的两个合情竖式，在引导学生自主解读竖式后，又提出在写竖式时原来的被除数和除数先不变，把两种竖式结合起来，进而再次引发学生对算理的思考。教师根据学生的思考，通过竖式的板书，帮助学生逐步掌握运用商的不变规律，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，同时指导学生怎样书写竖式。
（2）在继续尝试中再次解读算理。
教师把课本中例4（本课的第一例题）的问题背景打在屏幕上（如图2），并提出：请根据题意列出算式，写出竖式计算。
图2
学生独立列式并尝试竖式计算后，教师在屏幕上逐一呈现以下问题：
问题①：自学课本例4，你的竖式计算与书上的一样吗？
问题②：你还能看懂书中两个方框（如图3）表示的意思吗？请针对你自己的竖式说一说。
图3
让学生对照自己的竖式，说出以上方框中的转化过程，如右边的竖式。
问题③：题中的数量都以“m”为单位，在计算时除数转化为整数，被除数和除数实际上可以看成都转化成了以什么为单位？
学生根据计量单位的转化说出：把除数转化成整数，就相当于把0.85m转化成了85cm，被除数7.65转化为765，也就是相当于把7.65m转化成了765cm。
师：这样就转化成了“765÷85”，就相当于计算“765cm里面有几个85cm？”
【评析】 以上环节，把书上的例题当成练习题来处理，先让学生针对问题列出算式，并尝试竖式计算。由于学生在上一环节中初步掌握的方法是一位小数的转化法，所以自然地能把除数是两位小数转化成除数是整数来进行计算。接着，教师并没有直接拿学生的竖式进行评讲，而是让学生自己去阅读例题，除了对照课本检查自己竖式计算过程与书上的是不是一样外，还要求学生针对课本中所呈现的转化过程做进一步解读。这样，在再次解读过程中，学生加深了对算理的理解。
（3）在巩固练习中引入被除数末尾需要添“0”的解读。
题组①用竖式计算： 62.4÷2.6 0.544÷0.16
学生计算后，及时做了反馈评讲（过程略）。
题组②用竖式计算： 1.26÷0.28 12.6÷0.28
在学生计算前，教师提出：观察这两个算式，你们能估一估它们的商哪个大吗？
生：第二个算式的商大。
师：那你们还能看出它们的商有怎样的关系吗？
生：第二个算式的商是前一个算式的10倍。
师：为什么？
生：因为这两个除法算式的除数都是0.28，而第二个算式的被除数是前一个算式中的被除数的10倍，所以商就是前一算式商的10倍。
学生独立尝试竖式计算，让学生把竖式板书写到黑板上（如右边两个算式）。
师：第一个竖式的被除数末尾添“0”是在什么时候添的？而第二个竖式被除数末尾添“0”又是在什么时候添的？
生：第一个竖式是在商“5”前添的，而第二个竖式一开始就添了。
师：为什么第二个竖式一开始就要添“0”呢？
学生分小组交流后，再组织集体交流。
生：因为除数的小数点要向右移两位，被除数的小数点也要向右移两位，原来被除数只是一位小数，所以还要添上一个“0”。
师：是呀！因为除数是两位小数，要将除数扩大100倍转化为整数，小数点就要向右移两位，而被除数只有一位小数，也要扩大100倍，也要向右移两位，位数不够先要添上“0”。
【评析】 这一环节中教师设计两组练习，第一组两个算式是让学生巩固以上刚学会的转化法。第二组的两个算式是除数不变，而被除数又有10倍关系。教师在学生竖式计算前，先让学生根据商的变化规律进行了估算，然后尝试竖式。接着教师抓住这两个算式的转化过程中被除数末尾添“0”的前后不同，让学生自主解读被除数在转化时为什么要先添“0”。教学中充分体现了让学生在练习中自主解读算理的过程。
（4）在整体观察思考中提炼计算方法。
师：到现在我们已经计算了6个除数是小数的除法，现在你们把计算方法总结一下好吗？（投影呈现下面的要求，让学生先独立思考，再小组互相交流）
观察黑板上的和自己写的竖式的计算过程，在计算除数是小数的除法时：先_______；接着_______；然后_______。
学生根据以上要求继续观察思考，小组交流后，再集体交流。接着教师又让学生把书上方框内的计算方法填写完整。
再接着教师又提出：这个计算方法是将除数是小数的转化成除数是整数的除法计算，这种转化是根据什么来转化的？
生：根据商不变的规律来转化的。
师：现在表述计算方法的文字比较长，你们能不能把它缩短一些，便于我们记忆呢？
学生思考了片刻后，在教师的引导下总结出：
一看：看清除数是几位小数。
二移：被除数和除数小数点向右移动相同位数。
三算：按除数是整数的除法来计算。
【评析】 概括计算方法的过程，也是学生对算理进一步梳理和理解的过程，培养了学生的概括能力。最后，教师又和学生一起把计算方法概括成“一看、二移、三算”，这样的概括对学生掌握除数是小数的除法的计算技能很有帮助。
2.题组对比，增强算理解读。
题组一：先比一比每一组算式，估一估它们的商有什么关系，再写出竖式算一算：
题组二：先估一估每一组题，再写出竖式算一算：
①下面“2.4÷0.12”的商哪一个是正确的
A. 2.4÷0.12=0.2 B. 2.4÷0.12=2
C. 2.4÷0.12=20 D. 2.4÷0.12=200
②下面“3.72÷0.24”的商哪一个是正确的
A. 3.72÷0.24=1.55 B. 3.72÷0.24=16
C. 3.72÷0.24=15.5 D. 3.72÷0.24=28
以上各组题先后呈现，每组题都让学生先估算说理、后计算评价。（过程略）
【评析】 以上练习可以看出，王老师对题组做了精心设计。如题组一的①组设计了除数都是“0.49”，被除数从“5.88”变成了“58.8”，让学生估出商也扩大了它的10倍。在算一算中，要注意被除数随着除数转化时，被除数的末尾在什么时候添“0”。题组二的②组，用同一个算式有意设计了四个结果，要学生判断哪一个“商”是正确的。对A与C这两个结果进行分析，需要引导学生判断，除数转化为整数时，被除数应转化成“37.2”还是“372”，进而判断商是“1.8”还是“18”；对B与D这两个结果进行分析，虽然它们都是错的，但要让学生说出理由。B的算式除数和商相乘的末尾数字是“4”，与被除数末尾数字“2”不相符，所以是错的；D的算式“商”的首位不可能是“2”。由此可见，通过对以上几组算式的估算、分析和计算，既能更好地培养学生的数感和运算能力，又能加深对算理的理解。
纵观全课，我们可以看到在整个教学过程中充分发挥了题组的作用。课始的题组起到了复习原有的计算技能的作用，也使学生想到了要把除数转化为整数。由教材第一个例题的算式延伸到除数是两位小数的算式计算，并提供了练习题组，使学生在及时巩固计算技能的同时，自然地知道了被除数末尾要添加“0”的计算。在最后的练习中，又提供了多个题组进行深化训练。此外，本课对原教材的例题教学和计算方法的概括，采用了“导学”的方式，把原来两个例题科学地设计在题组的探究之中，把计算方法的概括放在学生整体观察中，达到动态生成的教学效果。
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