复杂系统工作可靠性问题

若某种机器的工作系统由N个部件串联组成，我们知道，只要有一个部件出现故障，整个系统就不能正常工作了。为了提高系统工作的可靠性，即系统正常工作的概率，在每个部件上均装有备用件，并设计了备用元件自动投入装置。一旦原部件出现故障，备用件自动切换进入系统。显然，备用件安装的越多，整个系统正常工作的概率也就越大，即系统工作可靠性越高。但同时也会引发另一个问题，备用件安装的越多，系统的成本、重量、体积等会相应增大，甚至超出负荷。所谓系统可靠性问题，指在一定条件下，合理配置各部件的备用件使整个系统正常工作的概率达到最大。

下面一个例子虽不属于复杂系统可靠性问题，但它的结构和复杂系统可靠性问题的结构相似，进而可用相同的方法构造问题的动态规划基本方程。

例4-8政府正在组织科学家进行某项工程问题的研究。 目前，三个科研小组正在尝试三种不同的研究方法来解决这个问题。据估计，三个小组获得成功的概率分别为0.6、0.4和0.2。 为了提高该项目成功的概率，政府又分配了2名顶级科学家进入到该项目中。表4-17给出了委派0名、1名或2名科学家进入到小组后，预计各科研小组会成功的概率。请问应如何分配这2名科学家使得该项目成功的概率达到最大？

表　4-17

解：采用逆序解法，从最后一个阶段开始向前逆推计算。

表　4-18

表　4-19

表　4-20

小结与展望

本章从一个简单的最短路程问题入手，介绍了运用动态规划方法建立数学模型需要的五个基本要素，包括阶段、状态变量、决策变量、状态转移方程和指标函数，由此构造该问题的动态规划基本方程。通过本章的学习，大家可以看到任何一个多阶段决策过程问题，既可以运用动态规划方法进行求解，也可以建立静态规划模型来进行求解。与后一种方法相比较，动态规划方法是通过建立一个递归方程，将含有多个变量的问题转化为多个结构相似的、含较少变量的子问题来进行求解，并且运用该方法易于确定全局最优解。 另一方面，运用动态规划方法进行求解，可以得到一族解。这样一来，有助于对结果进行分析，更适合在实际工作中应用。但是，需要注意的是，不是所有问题都能用动态规划方法进行建模和求解，这需要进行具体问题具体分析。

虽然运用动态规划求解问题没有一个统一的标准模型可供使用，但建立数学模型的方法具有一定的相似性。本章列举的典型问题，大多是确定性问题，对于连续型、随机型问题涉及较少。在随机型问题方面，可参考中国科学院应用数学研究所董泽清老师编著的《马尔可夫决策规划》（1981年中国科学院应用数学研究所印），该书详细地叙述了这方面的基本理论和各种模型及应用。

动态规划的应用非常广泛，除了本章中介绍的几类应用之外，本章后面介绍的库存问题、调度问题等，也都可结合实际的应用背景运用动态规划的方法对此进行建模、求解。此外，在动态规划应用中，可能会遭遇“维数灾难”的问题，而日新月异的计算机技术正在使该问题得以有效解决。