订货批量模型

订多少货的问题常常通过订货批量模型得以解决。经常使用的订货批量模型有经济订货批量模型、经济生产批量模型和折扣批量模型。这里介绍基本经济订货批量模型和经济生产批量模型。

1.经济订货批量模型

经济订货批量（Economic Order Quantity，EOQ）适用于按批量或订单补充库存，而不是连续地生产出来或送达的物品。前面分析了与库存有关的各种成本，但在基本的EOQ模型中只考虑两类成本，即库存持有成本与订货成本。因为在EOQ模型中，我们假定需求是恒定的，故不会发生缺货与产出能力变化，从而不会涉及缺货成本与机会成本。货物成本被假定是固定的，因而不会影响关于“何时订购”以及“订购多少”的决策。

年库存总成本由年订货总成本和年库存持有成本构成，即年库存总成本＝年订货总成本＋年库存持有成本

【例6-3】考虑一家瓶装水分销商，其货物来自福建闽西山区的泉水。该分销商每个月（30天）将20千克装的1 000瓶水卖给东南沿海的居民。假设对于瓶装水的全年需求是恒定的，该分销商每次订购2 000瓶，收到订货的提前期是6天。成本核算部门分析了库存成本，确定发出一份订单的成本为60元，每瓶20千克瓶装水库存的年持有成本为10元。

在当前的订货策略下，该瓶装水分销商的年度总库存成本为多少？其库存模式如图6-5所示。设总需求量（年）为D；订货批量为Q；发出一份订单的费用为S；单位物品年持有成本为H。

图6-5　瓶装水分销商的库存模式

为了确定在当前的订货策略下该分销商的年度库存总成本，我们必须确定两类独立的年度成本：年度库存总持有成本与年度总订货成本。

订货成本取决于发出一份订单的成本（60元）S及每年发出订单次数。由于该分销商每年卖掉12 000瓶20千克装瓶装水，每份订单为2 000瓶，所以每年必须发出6份订单（即12 000／2 000），总订货成本为360元（6份／年×60元／份）。可以用以下公式表达年订购成本

年持有成本取决于每年持有一瓶20公斤瓶装水的成本（10元）H，以及作为“周转存货”持有的瓶数。这里要注意的是，库存水平是在不断变化的，没有哪瓶水在整个一年中都作为库存存在。分销商的库存变化是这样的：在周期开始时库存水平为2 000瓶（一批订货入库，使库存达到最大），在下一批订货入库前降至0个单位，新的订货入库又使库存水平达到最大。分销商全年的库存是周而复始地在0～2 000变化。平均库存为0与2 000的算术平均数：（2 000＋0）／2＝1 000。那么，年库存持有成本就是10 000元（1 000瓶×10元／瓶）。用通用的公式表示为

将年订货成本与年持有成本相加便得到年度库存总成本TC的如下公式

对于该分销商来说，年度总成本为10 360元（360＋10 000）。因此，按照每份订单2 000瓶订货量的库存策略，每年的花费为10 360元。这是不是最好的做法？还能改进吗？

所谓经济订货批量（EOQ）是使总成本TC最小时的Q值，则

对于该分销商，可以计算出其EOQ为

显然，瓶装水的单位不能为小数，故订货量可取整数为380个单位，即380瓶。这种订货策略的年度库存总成本为

还可以建立年持有成本及年订货成本随订货量变化的关系图，如图6-6所示。年持有成本为（Q／2）H，也可以写成（H／2）Q，由此可以看出持有成本是线性的，随Q的增加而增加。年订货成本为（D／Q）S，也可以写成（DS）／Q，可以看出订货成本与Q为非线性关系，且随Q的增加而减少。

从图6-6中可以看出，TC首先随着订货成本的减少而减少，然后开始迅速增加。TC值最小的点就是最佳的订货批量；也就是说，这个批量对应着最小的年度总库存成本。这一点称为经济订货批量（EOQ），在图中它恰好对应着订货成本曲线与持有成本曲线的交点处。

图6-6　经济订购批量模型

对于订货量为2 000瓶的做法，经济订货批量的库存策略意味着6 565.26元的费用节省。在现实的库存实践中，TC对于在EOQ附近的库存量变化常常表现出相对的“不敏感性”。这意味着库存经理在订货数量选择上有一定的灵活性。例如，如果当订货量为500单位时（比如这类物品是以250单位装的货盘来运输）运输与搬运更方便或更经济，则每次订货所增加的120个单位每年只是使企业多花费了145.26元。

有时，库存策略是基于两次补充订货的间隔时间，而不是批量的大小。一个特定批次的订货间隔时间（TimeBetweenOrders，TBO）是收到（或发出）Q单位补充订货之间的平均间隔时间。当以一年为单位用分数形式表示时，TBO可以直接用Q除以年需求量得出。当使用EOQ并以月为单位来表示时间时，TBO可以下式计算

【例6-4】利用例6-3中的数据，如果使用EOQ的批量标准，求多长时间订货一次？

解：在运用EOQ时，同一时期的订货间隔时间（TBO）可以用多种形式表示。

2.经济生产批量（EconomicProductionQuantity，EPQ）模型

经济生产批量模型用于当补充货物不是在库存正好降至零时到货的情况。在这种场合下，产品由内部生产，库存水平是逐渐建立起来的。EOQ模型建立在瞬时补货的假设上，更适用于产品外购时的情况，而EPQ模型更适合于产品内部制造时的情况。对于内部生产的产品而言，库存水平是随着一件件产品的完成而逐渐增加的。另外，与前述的订货成本相对应，内部生产产品会产生一个设备调整成本（Cs）。其库存模式如图6-7所示。

图6-7　内部生产的产品库存模式

在图6-7的EPQ模型中，最大库存水平（Imax ）小于生产批量EPQ，因为产品一边在生产一边用于满足需求。在基本的EOQ模型中，Imax等于EOQ，因为正当库存水平降至零时，所订货物全部瞬时到货。

在EPQ模型中，一个库存周期由两部分时间构成：制造产品的期间（即由时刻0到时刻t1）和时刻t1到t1＋t2的期间，即t2持续的时间，在这一期间中产品的生产已经停止而库存用于满足需求。t1 和t2的长度取决于生产率（p）和使用率（d）。在下面的公式中，使用QEPQ来将EPQ与经济订购批量Q相区分。

简言之，t1是在生产率为p的情况下生产QEPQ件产品所需要的时间，t2是在使用率为d的情况下用完累积库存所需的时间。节拍（t1＋t2）则是用完QEPQ件产品所用的时间。

在图6-7中，最大库存水平为

库存持有成本为

设备调整（或订货）成本为

年度库存总成本为

所谓经济生产批量EPQ是使总成本最小时的QEPQ值，由年度库存总成本对QEPQ求导得

【例6-5】某公司产品的市场年需求量为1万台，该公司年工作日按250天计算，生产率为100台／天，生产提前期为7天。单位产品的生产成本为7元，单位产品的存储成本为0.50元，设备调整的准备费用为50元／次。求：经济生产批量；每年生产次数；最大库存水平；一个周期内的生产时间和纯使用时间；再订货点。

解：由EPQ模型得

每年生产次数为

最大库存水平为

生产时间和纯使用时间为

再订货点为