常用的时均运算关系式和紊流度

5.2.1 紊流平均值

紊流中所有的物理量都是时间和空间的随机量，即Φ＝Φ（r，t），只有采用适当的方式给予平均才能进一步研究它的运动规律。实际上我们所遇到的紊流场，可以从时间和空间两个不同的角度来给予区分。在一个空间点上，按各运动参数的平均值随时间变化的不同规律，可以将紊流分为恒定的或非恒定的紊流［见图5－1（a）］。对于同一时刻，按各运动参数的平均值随空间位置变化的不同规律，可以将紊流分为均匀的或不均匀的紊流［见图5－1（b）］。在不均匀紊流中，必定存在速度梯度和切应力，所以也称剪切紊流。当用欧拉法描述紊流场时，可以采用以下三种方法来求得它的平均值。

图5－1 两种紊流分类

（1）时间平均法

若紊流运动是平稳随机的，或者是（准）恒定的，那么在同一空间点上，在相同条件下两次测量的物理量Φ（r0，t）随时间t变化的曲线虽是不同的，但在相当长的时间周期T内来看， Φ（r0，t）只是围绕相同的平均值t（r0）脉动（见图5－2所示），因而可用按时间平均法来表示随机变量。

时间平均值的定义是

（2）空间平均法

如果是一个均匀紊流场（或者说是具有空间均匀性的随机场），那么在同一时刻、同一方向的空间点上，两次测量的Φ（xi，t）随位置xi变化的曲线虽然不同，但在相当长的距离X内随机量的平均值x（t0）相同，Φ（xi，t0）只围绕着平均值而脉动（见图5－3所示），因而可按空间平均法来表示随机量。

空间平均值的定义是

图5－2 时间平均法

图5－3 空间平均法

考虑到随机量的三维性，则更严格的空间平均值的定义是

所以，空间平均法也称体积平均法。

但是，实际紊流场是不可能按上述严格的定义域为流场物理量取平均的，因此通常所用的两种平均值只是在有限的时间或有限的空间内取平均，且须满足一定的条件。例如，对时间平均值可用

所取的周期T必须满足条件：T1≪T≪T2。其中，T1是反映紊流特征的时间尺度，如紊流的脉动周期等；T2是紊流平均运动极缓慢变化的周期。

（3）综合平均法

如果紊流运动既不是平稳，又不是均匀的，那么可采用在相同初始条件和边界条件下对N次重复实验的结果作综合平均。其定义是

式中，j（ri，t）是第j次试验所得的随机量。

若引进满足正则性条件的概率分布密度f（Φ），则综合平均值可表示为

由概率论中各态历经性定理可知，一个随机量在重复多次的试验中出现的所有可能值，也会在相当长的时间内（或相当大的空间范围内）的一次试验中出现许多次，并且具有相同的概率。因而，对于在时间上平稳、在空间上均匀的紊流运动，各种物理量按上述三种平均法所得的结果必定相同。即

准恒定的均匀紊流具有上述特征，因而在统计紊流理论中普遍采用综合平均法进行理论研究，而用时间平均法来校验。

5.2.2 常用的时均运算关系式

设ｆ、ｇ为紊流物理量的瞬时值，为物理量的平均值，ｆ′、ｇ′为物量量的脉动值，则根据式（５－１），在准恒定的紊流场中具有以下的时均运算规律：

1）时均量的平均值等于原来的时均值。即

2）脉动量的平均值等于零。即

3）瞬时物理量之和（或差）的平均值，等于各个物理量平均值之和（或差）。即

4）时均物理量与脉动物理量之积的平均值等于零。即

5）时均物理量与瞬时物理量之积的平均值，等于两个时均物理量之积。即

6）两个瞬时物理量之积的平均值，等于两个平均物理量之积与两个脉动量之积的平均值之和。即

7）瞬时物理量对空间坐标各阶导数的平均值，等于时均物理量对同一坐标的各阶导数值。即

推论：脉动量对空间坐标各阶导数的平均值等于零。即

在均匀紊流场中，

8）瞬时物理量对时间导数的平均值，等于物理量平均值对时间的导数。即

在准恒定紊流场中，

时均方法是雷诺首先引入紊流理论的，上列规则也叫雷诺法则。

5.2.3 紊流度

在紊流研究中常常需要比较两种流动中紊流脉动的强弱，而实测的脉动量往往只是时间平均值。按时均值定义，已知但是因此，在比较紊流强弱时，通常采用德莱登（Dryden H L，1930）引述的紊流强度（i）定义：任一瞬时，在空间点上，紊流脉动速度的均方根值就是紊流运动在该点的强度（简称紊流度）。即

有些文献中也采用（相对紊流度）来作紊流强度的比较。

由紊流度的定义可知，在不可压缩流场中的某一空间点上，如果各方向的紊动量相同（即，那么该点附近的紊动具有各向同性。该现象也称作局部各向同性。对于一个均匀紊流场，如果各空间点上均满足上述条件，那么该流场便称为均匀各向同性紊流。