数字信号的逻辑编码与逻辑演算

8.7　数字信号的逻辑编码与逻辑演算

1.数字信号的逻辑编码

数字逻辑是用数字信号表示并采用数字信号处理方法实现演算的逻辑体系，它是二值的，对应于逻辑学中的命题逻辑体系。

在应用中采用由布尔(Boole)所建立的数字逻辑体系来描述数字逻辑及其演算法则。由于采用了布尔代数描述逻辑关系，所以也称之为逻辑代数或布尔代数。

下面就逻辑代数体系中所涉及到的符号体系、论域及论域中逻辑函数表达式及基本运算法则等内容作简要介绍。

(1)符号

逻辑变量:用大写英文字母(ABC…XYZ)表示。

数值:0、1表示逻辑变量的取值，0表示“假”(F)，1表示“真”(T)。

运算符:“+”、“·”分别表示逻辑“或”和逻辑“与”运算，称为逻辑“加”和逻辑“乘”;逻辑求反运算用变量上方加一横杆表示，如－A、－B等。和代数运算一样，逻辑乘运算符“·”通常可以忽略。

表8.7-1　布尔代数符号

逻辑代数符号和命题逻辑符号的对应关系表示在表8.7-1中。

(2)逻辑函数表达式

逻辑函数表达式是由逻辑变量和运算符组成，表述变量之间的逻辑关系。例如Y=A+BC、Y=A+－AB+ABC等。

逻辑函数表达式的右侧涉及到的变量(A、B、C)表示基本命题(原子命题)，这些基本命题通过运算符的连接构成复合命题，用描述变量Y表示，Y出现在逻辑函数表达式的左侧。因此，逻辑函数表达式约束了复合命题取值和构成这个复合命题的原子命题取值之间的逻辑关系。

由于逻辑变量多个，每个变量的真值是二值的，所以可以用真值表(逻辑状态表)描述各变量状态所形成的不同组合。

例如:复合命题“开关A和开关B都闭合，电路Y接通”的真值表描述如表8.7-2。

表8.7-2　“开关A和开关B都闭合，电路Y接通”的真值表

逻辑函数表达式可以借助原子命题A、B和复合命题Y间的逻辑蕴涵关系来建立。所谓逻辑蕴涵关系是逻辑命题之间的一种演绎推理关系，即自然语言中“如果(前提)则(结论)”所表述的关系。在逻辑函数表达式中，等式右边为结论，等式左边为前提。

下面以二个一位二进制数的加法为例，说明获取逻辑函数表达式的方法。

①根据命题描述，列写真值表。将“加数”(原子命题A)与“被加数”(原子命题B)作为前提，“和”(复合命题S)及“进位”(复合命题C)作为结论，根据二进制数加法原则，可得二进制数加法真值表，如表8.7-3。

表8.7-3　二进制数加法真值表

②逻辑蕴涵是充分条件下的推理，所以只考虑前提和结论都为真的状态。从真值表8.7-3不难看出:对于输出命题S只有两个状态为“1”的情况需考虑:即状态2和状态3;对输出命题C则只考虑状态4即可。

③在每个被考虑的状态中，输入命题变量取“与”组合(因为前提必须全为“真”)，构成复合前提。其中，取“真”的变量保留原命题;取“假”的变量则用其反命题加以替换，以保证前提变量都为“真”。

对状态2，有－AB

对状态3，有A－B

对状态4，有AB

④将各个被考虑状态按逻辑“或”组成逻辑函数表达式。对上述的半加运算有:

半加运算是指不考虑从低位进位的1位二进制数加法。

2.基本运算法则

逻辑函数和普通代数一样虽然用字母(A、B、C……)表示变量，但变量的取值只有逻辑0和逻辑1，它们只代表两种相反的逻辑状态。逻辑函数中只有与运算、或运算和非运算(求反运算)三种基本运算。根据这三种基本运算可以推导出逻辑运算的一些法则，这些法则表述的是一些逻辑等价关系，即相互等价的逻辑命题或表达式具有完全相同的两个真值表。

常用的基本运算法则(等价关系)如下:

反演率也称为摩根定理。

以上这些基本运算法则都可以用逻辑函数真值表来证明。表8.7-4给出摩根定律式(8.7-11)的证明。

表8.7-4　摩根定理的真值表

3.逻辑函数化简

根据真值表写出的逻辑函数表达式，以及由此画出的组合逻辑图，往往比较复杂，需要加以简化处理。简化后的逻辑表达式能清晰反映出逻辑变量内在的逻辑关系，同时减少了组合逻辑电路的组成器件，提高了电路的可靠性。

利用式(8.7-2)至式(8.7-11)逻辑代数的运算法则对逻辑函数表达式进行化简。由于比较常见的逻辑表达式是“与或”形式，因此本文所讲的逻辑函数化简是指逻辑表达式为最简的“与或”表达式，即逻辑函数“与或”表达式中所含“或”项的数目最少，每个“与”项中变量的个数最少。

【例8.7-1】运用逻辑代数运算法则化简下列逻辑函数:

(1)F=AC+－AB+－ABCD(2)F=ABC+A－BC+－ABC+AB－C

解:(1)因为

【例8.7-2】逻辑函数F=X(－X+Y)+Y(Y+Z)+Y的化简结果为(　)。

(A)F=XY+Y　　 (B)F=Y

(C)F=XY+YZ+Y　(D)F=XY+Y²+YZ+Y

解:答案为选项(B)。

逻辑运算有别于数学运算。逻辑运算中，只存在“与”、“或”、“非”等基本逻辑运算，不存在平方、减法、除法等数学运算，运算过程遵循逻辑运算法则，所以选项(D)错。

选项(A)仅是化简结果的中间步，可继续化简，即F=XY+Y=(X+1)Y=Y。

选项(C)也仅是化简结果的中间步，可继续化简，即F=XY+YZ+Y=(X+Z+1)Y= Y。

4.数字信号的逻辑演算

数字信号的逻辑运算是按位进行的。信号中的高位(5V)和低位(0V)分别表示命题的取值真(1)和假(0)。图8.7-1表示数字信号A和B之间进行“与”“或”“非”基本逻辑运算的结果。

图8.7-1　数字信号A和B之间进行“与”“或”“非”基本逻辑运算

数字信号逻辑关系以及任意复杂的逻辑函数演算可通过基本逻辑门搭建满足要求的组合逻辑电路来实现。有关具体实现参见7.5相关内容。