单自由度系统的振动

时间：2022-11-10 百科知识版权反馈

【摘要】：物体在其平衡位置附近所作的周期性的往复运动称为振动。由干扰力引起的振动，称为强迫振动。①在恢复力、干扰力和阻尼力作用下，系统的振动由衰减振动和强迫振动两部分组成。实际上，由于阻尼的影响，衰减振动将迅速消失，而强迫振动始终存在。求物体的强迫振动方程。

4.3.6　单自由度系统的振动

物体在其平衡位置附近所作的周期性的往复运动称为振动。这里仅研究单自由度系统在恢复力(或恢复力矩)、线性阻尼和谐扰力作用下的线性振动，主要包括自由振动、衰减振动和强迫振动。

1.自由振动

仅受恢复力(或恢复力矩)作用而产生的振动称为自由振动。

(1)振动方程振动特性

图4.3-14为一悬挂质量弹簧系统，物体(视为质点)重W=mg，弹簧原长为l₀，其刚性系数为k，静变形为δ_st。现取系统静平衡位置为坐标原点O，建立坐标轴x，则以x为独立参数的振体自由振动的运动微分方程、振动方程、特性参数等列于表4.3-9中。

自由振动特性小结如下。

①由振动方程x=Asin(pt+α)可见，系统在恢复力作用下的自由振动是简谐振动，振动中心在平衡位置。对于图4.3-14所示系统，其圆频率

②振幅A和初位相α由运动的初始条件(x_O、v_O)来决定。

③振动周期T、固有频率f(或频率)、固有圆频率p(或圆频率)只决定于系统的惯性和弹性，而与运动的初始条件无关。

图4.3-14

表4.3-9

(2)振动系统固有圆频率的计算

①直接法:质量—弹簧系统，设已知质量m和弹簧刚性系数k，直接代入公式p即可求得。

②平衡法:质量—弹簧系统，在平衡时kδ_st=W=mg，即k=，故

③列出系统的运动微分方程，化为标准形式，如

即可得到

式中:m_eq为等效质量，表示系统的惯性;k_eq为等效刚性系数，表示系统的弹性;q为系统的广义

坐标。

④能量法:一单自由度振动系统，当不计阻尼时，该系统在振动过程中机械能保持不变。如取平衡位置为零势能点，则系统在平衡位置的最大动能值T_max将等于系统在极端位置时的最大势能值V_max，即

T+V=C或T_max=V_max

应用上式，即可求得系统的固有圆频率p。

(3)并联或串联弹簧的当量刚性系数(等效刚度)

由以上两式可知，并联后的当量刚性系数加大了，串联后的当量刚性系数是降低了。

图4.3-15

2.衰减振动

除受恢复力(或恢复力矩)外，尚受到阻尼作用而产生的振动称为衰减振动，也称为有阻尼的自由振动。这里，仅限于受线性阻尼R=－βv的情况，式中β称为阻力系数。

图4.3-15所示的振动系统，在任一瞬时物体受有重力W、弹性力F和线性阻尼力R=－βv。现取静平衡位置O为坐标原点，建立坐标轴x如图4.3-15所示，则可得有阻尼自由振动的运动微分方程为

式中2n=，n称为阻尼系数。

现分n＜p、n＞p和n=p三种情况来讨论衰减振动。

(1)n＜p，即小阻尼情况

当n＜p时，衰减振动的运动微分方程、振动方程和特性参数等列于表4.3-9中。

衰减振动特性小结如下。

①阻尼对周期的影响。

衰减振动的周期

其中T=为无阻尼自由振动的周期，γ=称为阻尼比。由此可见T₁＞T。但是在小阻尼情况下，阻尼对周期的影响很小，可近似地认为

②阻尼对振幅的影响。

由振动方程x=Ae^－ntsin(－n²t+α)，画出振动的运动图线(图4.3-16)。

图示表明，系统在其平衡位置附近作往复运动，但振幅随时间的增加而迅速减小。其衰减快慢可用减幅系数η来表示，即

图4.3-16

式中:A_i为瞬时t_i的振幅，A_i+1为t_i+1=t_i+T₁瞬时的振幅。可见，衰减振动的振幅是按几何级数迅速衰减的。

图4.3-17

(2)n＞p与n=p(即大阻尼与临界阻尼)情况

由这两种情况的运动图线(图4.3-17)可知，运动已无振动的特性了，且随着时间的增大，系统逐渐趋近于平衡位置。

3.强迫振动

由干扰力引起的振动，称为强迫振动。若干扰力随时间而简谐变化，则称为谐扰力，其可表为S= Hsinωt。

现以系统的平衡位置为坐标原点，以坐标x为独立参数，将受谐扰力作用下的强迫振动的主要内容列于表4.3-10。

其中h=，B₀表示系统在干扰力的最大幅值H静止作用下所产生的偏移;z称为频率比;n称为阻尼系数，γ=称为阻尼比，λ_n=称为放大系数。

表4.3-10

续表

强迫振动特性小结如下。

①在恢复力、干扰力和阻尼力作用下，系统的振动由衰减振动和强迫振动两部分组成。实际上，由于阻尼的影响，衰减振动将迅速消失，而强迫振动始终存在。

②强迫振动是等幅的简谐振动，与运动的初始条件无关，其振动圆频率与干扰力的圆频率相等，而与系统的固有圆频率p无关。

③振幅频率特性曲线。现以频率比z为横轴，振幅放大系数λ_n为纵轴，画出在不同阻尼情况下的振幅频率特性曲线(图4.3-18)。这曲线表示在B₀不变的情况下，振幅随着γ与z而变化的关系。

图4.3-18

a当z=0(即ω=0)时，λ_n=1，即B=B₀。

b当z＜＜1(即ω＜＜p)时，λ_n≈1，即B≈=B₀。

当z＞＞1(即ω＞＞p)时，λ_n≈0，即B≈=0。

c当z=1(即ω=p)时，若系统的γ=0(即无阻尼情况)，则振幅B无限增大，这种现象称为共振。一般将0.75＜z＜1.25的区域称为共振区，并称ω=p为系统的共振频率。若谐扰力是机器的转子引起的，通常将共振时转子的转速称为临界转速。

事实上，当系统发生共振时，由于阻尼的存在，振幅不会无限地增大，而仍是有限值，且共振时的振幅并不是最大振幅。另外，图示还表明，放大系数λ_n随阻尼增大而减小，当γ＞0.707时，放大系数的最大值就不存在，共振现象也就完全消失。

d由上分析可知，在远离共振区域(即z＜＜1或z＞＞1)，阻尼对振幅的影响十分微小，可忽略不计。也就是说，当ω远离p时，在计算有阻尼强迫振动的振幅时，可以不计阻尼的影响。

【例4.3-12】图4.3-19所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重P的物体。设在力P作用下弹簧的静伸长为δ_st，梁的自由端的静挠度为f_st。如给重物一初速度v₀，试求重物的自由振动方程。梁和弹簧的质量均忽略不计。

解:悬臂梁对物体的作用相当于一弹簧，根据悬臂梁端点的静挠度f_st可算出此梁在端点沿铅垂方向的刚性系数为

图4.3-19

类似地，可算出悬挂弹簧的刚性系数为

于是，图4.3-19(a)所示振动系统可以抽象为图4.3-19(b)所示的串联弹簧系统。又因串联弹簧可用一等效弹簧来替代，其当量刚性系数为

最终该系统可简化为图4.3-19(c)所示的质量弹簧系统。现以此力学模型进行求解。

(1)对象:取重物为研究对象。

(2)运动分析:重物由于初始干扰，沿铅垂方向作自由振动。为了简便，选取重物的静平衡位置O为坐标原点，x轴向下为正。t=0时x₀=0，‥x₀=v₀。

(3)受力分析。通常，将重物放在x轴正向的任一位置上进行受力分析。作用其上的力有重力P和弹性力F，力F在x轴上的投影为

F=－k(f_st+δ_st+x)

(4)列运动微分方程，并求解振动规律由F=ma得

因重物处于静平衡位置时，重力P与静变形引起的弹性力F₀平衡，即有P－k(f_st+δ_st)= 0，故上式可简化为

由表4.3-9所示的公式，可知式(3)的通解为

x=Asin(pt+α)

根据初始条件x₀=0=v₀，可分别求得振幅A及初位相α为

此重物的自由振动方程可表示为

【例4.3-13】图4.3-20(a)为一种振动仪的简图。已知振子M重Q;曲杠杆AOB重P，对O的转动惯量为J;弹簧1及2的刚性系数分别为k₁及k₂。试求系统的固有频率f。弹簧的质量不计。

图4.3-20

解:以整个系统为分析对象，作受力图如图4.3-20(b)。设系统平衡时OA处于水平位置，取在任一瞬时t，OA与水平线的夹角为φ，因为是微振，各力作用线到O点的距离的改变是高阶微量，可以不计。而F₁=k₁(aφ－δ_st1)，F₂=k₂(bφ－δ_st2)，其中δ_st1及δ_st2是两弹簧的静压缩。

根据受力情况及运动情况分析，本题用动量矩定理建立运动微分方程较为方便。系统对O的动量矩为