阻尼自由振动

2．1．2　阻尼自由振动

然而，当我们仔细观察图2－1所示的弹簧—小球的实验时会发现，小球的振动并不是严格地按方程（2－5）所描述的正弦曲线运动．随着时间的推移，小球的振幅会越来越小，最终停止在平衡位置上．看来，实际的情况要比模型复杂得多．实际上，由于空气阻力和弹簧变形消耗能量，小球在运动中还会受到一个阻力．假设这个阻力f_c的大小与运动速度υ成正比，其方向与速度相反，不妨设

这里，β称为阻力系数或阻尼．这样方程（2－2）中的力多了一项f_c，代入方程（2－3）可得到有阻尼情况下的自由振动方程：

这个方程解比方程（2－3）稍微复杂，它分3种情况：

（1）当β＞ωN时，称为过阻尼状态．这时，方程（2－8）的解为

其中ω²₁＝ω²_N－β²．在这种状态下系统不发生振动而直接以指数规律衰减到平衡位置，如图2－4中的曲线①所示．

（2）当β＝ωN时，称为临界阻尼状态．这时，方程（2－8）的解为

其中A₁和A₂为与初始条件有关的常数．在这种状态下系统也不发生振动，直接衰减到平衡位置，如图2－4中的曲线②所示．

（3）当β＜ωN时，称为欠阻尼状态．这时，方程（2－8）的解为

在这种状态下系统将发生振动，但振幅随着时间以指数规律衰减，振动频率也较无阻力时小，直到停止在平衡位置，如图2－4中的曲线③所示，这和图2－1的实验结果比较接近．

图2－4　有阻尼自由振动时的3种不同振动曲线

由于阻尼可以使振动衰减，并且恰当的阻尼还可以使振动几乎消失，这为我们消除有害振动提供了有效途径．

例如，我们家里使用的电冰箱压缩机和洗衣机的电动机都不是直接用螺丝紧紧地固定在主机上的，在连接部位往往垫有弹簧和橡皮，以起到隔振的作用．

在交响乐演奏中，急促的大鼓声或铿锵的锣声往往给人以奋进的感觉．为了让鼓或锣发出与主旋律相应的急促声，鼓手或锣手在敲击鼓面或锣面后，会马上用手捂住鼓（锣）面．这就是让鼓（锣）在受到激励发出第一声响后迅速增加阻尼，将随后的余音迅速衰减掉，使音乐更加清纯，以增加艺术感染力．

工程上许多机械设备，如精密机床，往往被固定在较重的混凝土基础之上，在基础与地面之间铺设一层弹性阻尼衬垫，以隔绝外界振动的干扰，如图2－5所示．

图2－5　精密机械的阻尼隔振